人教中考数学压轴题专题复习—旋转的综合含答案解析

一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF，设CE＝a，CF＝b．

（1）如图1，当a＝42时，求b的值；

（2）当a＝4时，在图2中画出相应的图形并求出b的值；

（3）如图3，请直接写出∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式．

【答案】（1）422）b＝8；（3）ab＝32．

【解析】

试题分析：（1）由正方形ABCD的边长为4，可得AC＝2，∠ACB＝45°．

再CE＝a＝2∠CAE＝∠AEC，从而可得∠CAF的度数，既而可得 b=AC；

（2）通过证明△ACF∽△ECA，即可得；

（3）通过证明△ACF∽△ECA，即可得.

试题解析：（1）∵正方形ABCD的边长为4，∴AC＝2，∠ACB＝45°．

∵CE＝a＝2∴∠CAE＝∠AEC＝45

2︒

＝22.5°，∴∠CAF＝∠EAF－∠CAE＝22.5°，

∴∠AFC＝∠ACD－∠CAF＝22.5°，∴∠CAF＝∠AFC，∴b=AC＝CF＝42

（2）∵∠FAE＝45°，∠ACB＝45°，∴∠FAC＋∠CAE＝45°，∠CAE＋∠AEC＝45°，∴∠FAC ＝∠AEC．

又∵∠ACF＝∠ECA＝135°，∴△ACF∽△ECA，∴AC CF

EC CA

=，∴

42

442

=∴CF＝

8，即b＝8．（3）ab＝32．

提示：由（2）知可证△ACF∽△ECA，∴∴AC CF

EC CA

=，∴

42

42

a

=，∴ab＝32．

2．平面上，Rt△ABC与直径为CE的半圆O如图1摆放，∠B＝90°，AC＝2CE＝m，BC＝n，半圆O交BC边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转且∠ECD始终等于∠ACB，旋转角记为α（0°≤α≤180°）

（1）当α＝0°时，连接DE ，则∠CDE ＝ °，CD ＝ ；

（2）试判断：旋转过程中

BD

AE

的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）若m ＝10，n ＝8，当α＝∠ACB 时，求线段BD 的长；

（4）若m ＝6，n ＝2，当半圆O 旋转至与△ABC 的边相切时，直接写出线段BD 的长．

【答案】（1）90°，2n ；（2）无变化；（3）55

；（4）BD=101143． 【解析】

试题分析：（1）①根据直径的性质，由DE ∥AB 得CD CE

CB CA

=即可解决问题．②求出BD 、AE 即可解决问题．

（2）只要证明△ACE ∽△BCD 即可．

（3）求出AB 、AE ，利用△ACE ∽△BCD 即可解决问题．

（4）分类讨论：①如图5中，当α=90°时，半圆与AC 相切，②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，分别求出BD 即可． 试题解析：（1）解：①如图1中，当α=0时，连接DE ，则∠CDE =90°．∵∠CDE =∠B =90°，∴DE ∥AB ，∴CE CD AC CB ==12．∵BC =n ，∴CD =1

2

n ．故答案为90°，

1

2

n ． ②如图2中，当α=180°时，BD =BC +CD =

32n ，AE =AC +CE =32m ，∴BD AE =n m

．故答案为n

m

． （2）如图3中，∵∠ACB =∠DCE ，∴∠ACE =∠BCD ．∵CD BC n

CE AC m

==，∴△ACE ∽△BCD ，∴

BD BC n

AE AC m

==．

（3）如图4中，当α=∠ACB 时．在Rt △ABC 中，∵AC =10，BC =8，∴AB =22AC BC -=6．在Rt △ABE 中，∵AB =6，BE =BC ﹣CE =3，

∴AE =22AB BE +=2263+=35，由（2）可知△ACE ∽△BCD ，∴

BD BC

AE AC

=，∴

35=810，∴BD =125．故答案为125

． （4）∵m =6，n =42，∴CE =3，CD =22，AB =22CA BC -=2，①如图5中，当α=90°

时，半圆与AC 相切．在Rt △DBC 中，BD =22BC CD +=224222+（）（）

=210． ②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，作EM ⊥AB 于

M ．∵∠M =∠CBM =∠BCE =90°，∴四边形BCEM 是矩形，∴342BM EC ME ===，，∴AM =5，AE =

22AM ME +=57，由（2）可知

DB AE =223

，∴BD =2114

． 故答案为210或

2114

．

点睛：本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题．

3．已知：△ABC 和△ADE 均为等边三角形，连接BE ，CD ，点F ，G ，H 分别为DE ，BE ，CD 中点．

（1）当△ADE 绕点A 旋转时，如图1，则△FGH 的形状为 ，说明理由；

（2）在△ADE 旋转的过程中，当B ，D ，E 三点共线时，如图2，若AB =3，AD =2，求线段FH 的长；