《椭圆的简单几何性质》知识点总结
(完整版)椭圆知识点归纳总结
(完整版)椭圆知识点归纳总结1. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。
椭圆的形状由焦点之间的距离决定，离心率的大小则决定了椭圆的扁平程度。
2. 椭圆的基本性质- 椭圆的长轴是焦点之间的距离，短轴是长轴的垂直中垂线。
- 椭圆的离心率介于0和1之间，且离心率为0时为圆。
- 椭圆有两个对称轴，分别是长轴和短轴的中垂线。
- 椭圆的焦点和任意一点的距离和等于离心率与该点到椭圆两个焦点的距离之和。
- 椭圆的面积为π * a * b，其中a和b分别是长轴和短轴的一半。
3. 椭圆的方程普通椭圆的方程为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。
4. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = h + a * cos(t)y = k + b * sin(t)其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半，t是参数。
5. 椭圆的焦点与直径- 焦点到定点的距离等于椭圆的常数离心率。
- 椭圆的两个焦点与椭圆的直径的交点相同。
6. 椭圆与其他几何图形关系- 椭圆与直线的关系：给定一条直线，椭圆上离直线距离之和最小的点在直线的垂直线上。
- 椭圆与双曲线的关系：双曲线可以看作是离心率大于1的椭圆。
- 椭圆与抛物线的关系：抛物线可以看作是离心率等于1的椭圆。
7. 椭圆的应用椭圆在现实生活中有广泛的应用，例如：- 天体运动：行星、卫星等的轨道可以近似看作是椭圆。
- 椭圆滤波器：在信号处理中用于清除噪音。
- 光学器件：如折射球面镜、椭圆镜等。
以上是关于椭圆的常见知识点的归纳总结，希望能对你有所帮助。
高二椭圆知识点总结
高二椭圆知识点总结一、椭圆的基本概念1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
具体来说，设两点为F₁和F₂，距离之和为常数2a，那么椭圆E的定义：E = {P∈R² | |PF₁| + |PF₂| = 2a}其中，P为椭圆上的点，F₁和F₂为两个固定点，a为椭圆的半长轴。
1.2 椭圆的几何性质椭圆有如下几何性质：（1）椭圆的离心率：椭圆的形状由离心率e来表征。
（2）椭圆的焦点：椭圆的两个焦点分别为F₁和F₂。
（3）椭圆的半长轴和半短轴：半长轴为椭圆的长轴的一半，半短轴为椭圆的短轴的一半。
1.3 椭圆和圆的关系可以看到，当两个焦点重合时，椭圆变成了圆。
这也说明圆是椭圆的一种特殊情况，也就是说圆是椭圆的特例。
二、椭圆的方程和性质2.1 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。
2.2 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，θ为参数，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
2.3 椭圆的性质椭圆有许多重要的性质，如焦点、离心率、长轴、短轴等。
椭圆的性质对于解析几何的学习非常重要。
在实际应用中，我们可以利用这些性质进行问题的求解和分析。
2.4 椭圆的参数方程与标准方程的转化椭圆的参数方程与标准方程可以相互转化，通过参数方程与三角函数之间的关系，我们可以得到椭圆的标准方程。
三、椭圆的相关计算3.1 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的面积公式为：S = πab其中，a和b为椭圆的半长轴和半短轴。
3.2 椭圆的周长椭圆的周长也可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的周长公式为：L = 4aE(e)其中，a为椭圆的半长轴，E(e)为椭圆的第二类椭圆积分，e为椭圆的离心率。
3.3 椭圆方程的化简对于一些复杂的椭圆方程，我们可以通过一些方法对椭圆方程进行化简，使得问题的求解变得更加简单。
椭圆的性质及知识点总结
椭圆的性质及知识点总结一、椭圆的定义和基本性质1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
设d1和d2分别表示P到F1和F2的距离，则椭圆的定义可以用数学表达式表示为|d1 + d2| = 2a 。
1.2 椭圆的基本性质（1）椭圆对称轴：椭圆有两个对称轴，分别称为长轴和短轴。
长轴的端点是两个焦点F1和F2，短轴与长轴垂直并通过椭圆的中心点。
（2）椭圆的焦点和离心率：椭圆的焦点是定义椭圆的两个定点F1和F2，离心率e是一个表示椭圆形状的参数，e的取值范围是0<e<1。
（3）椭圆的三大定律：椭圆有三个基本定律，分别是:（a）椭圆内到两个焦点的距离之和等于长轴的长度；（b）椭圆内到两个焦点的距离之差等于长轴的长度；（c）椭圆的面积等于πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
1.3 椭圆的方程椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是长轴和短轴的长度，椭圆的中心点位于原点(0,0)。
二、椭圆的相关知识点2.1 椭圆的离心率椭圆的离心率e的定义是e=c/a，其中c为焦距，a为长半轴的一半。
离心率越接近于0，椭圆形状越圆；离心率越接近于1，椭圆形状越扁。
2.2 椭圆的参数方程椭圆也可以用参数方程表示，参数方程为：x = a * cosθy = b * sinθ其中θ为参数，a和b分别是长轴和短轴的长度。
2.3 椭圆的焦半径椭圆的焦半径是指从椭圆的焦点到该椭圆上的任意一点P的距离，椭圆上各点的焦半径之和等于椭圆的周长。
2.4 椭圆的切线椭圆上的切线有一个特点：与椭圆相切的切线在切点处与切线的法线垂直。
根据这个特点可以求出椭圆上任意一点处的切线方程。
2.5 椭圆的焦点坐标椭圆的焦点坐标可以通过椭圆的离心率和焦距来求解。
焦点坐标为（±ae, 0），a为长轴的一半，e为椭圆的离心率。
2.6 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数法求解，面积为πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
最新椭圆知识点总结(1)
椭圆知识点知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的简单几何性质标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±轴长长轴长=a 2，短轴长=b 2 长半轴长=a ，短半轴长=b （注意看清题目）离心率)10(<<=e ace c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1；(p是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等知识点三：椭圆相关计算1．椭圆标准方程中的三个量cba,,的几何意义222cba+=2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长ab22焦点弦：椭圆过焦点的弦。
3.最大角:p是椭圆上一点，当p是椭圆的短轴端点时，21PFF∠为最大角。
椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)
（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面与两个定点F i 、F 2的距离之和等于定长（大于 IRF 2I ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点 F i 、F 2叫做椭圆的 焦点，两焦点的距离 厅汀2|叫做椭圆的 焦距。
对椭圆定义的几点说明：（1） “在平面”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2） “两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点” ，学习时注意区分；（3） 作为到这两个定点的距离的和的 “常数”，必须满足大于| F i F 2|这个条件。
若不然， 当这个“常数”等于| F i F 2|时，我们得到的是线段 F 1F 2；当这个“常数”小于| F i F 2|时，无 轨迹。
这两种特殊情况，同学们必须注意。
（4） 下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个 对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为 A i , A 2, B i , B 2，于是我们易得| A i A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F i |、|B i F 2|+|B i F i |也等于那个“常数”。
同学们想一想 其中的道理。
（5）中心在原点、焦点分别在 x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：2 2 2 2i （a b 0）,77i （a b 0）,a ba b2 2 2相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0， a c b 。
不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同， 它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的 焦点坐标为（一c , 0）和（c , 0）,第二个椭圆的焦点坐标为（0,— c ）和（0, c ）。
椭圆的 焦点在x 轴上 标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上标准方程中y 2项的分母较大。
（二）椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标； 一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质，只2 2要X 2 每 i （a b 0）的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出 a b2 2^2 —2 i （a b 0）的有关性质。
椭圆知识点总结(精.选)
椭圆知识点知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的简单几何性质标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±轴长长轴长=a 2，短轴长=b 2 长半轴长=a ，短半轴长=b （注意看清题目）离心率)10(<<=e ace c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1；(p 是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等知识点三：椭圆相关计算1．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义222c b a +=2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长ab 22焦点弦：椭圆过焦点的弦。
3.最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠为最大角。
《椭圆的简单几何性质》知识点总结
椭圆的简单几何性质知识点总结椭圆是一种重要的几何图形，具有一些特殊的性质。
在本篇文档中，我们将总结椭圆的一些简单几何性质。
1. 椭圆的定义椭圆可以通过以下定义来描述：对于给定的两个焦点F1和F2，及其到两个焦点的总距离的一半定为常量2a（长轴），椭圆上每一点到两个焦点的距离之和等于常量2a。
椭圆的另一个参数e（离心率）定义为焦点之间的距离与长轴的比值：e = c/a，其中c是焦点之间的距离。
2. 椭圆的焦点和准线椭圆的焦点F1和F2对称分布在长轴上，并且与椭圆的中心O相等。
准线是通过焦点F1和F2垂直于长轴的直线，交于椭圆的中心O。
准线的长度定为2b（短轴）。
椭圆的离心率e= c/a = √(a^2 - b^2)/a。
3. 椭圆的主轴和副轴椭圆的主轴是长轴，长度为2a。
副轴是短轴，长度为2b。
长轴和短轴是椭圆上的两个对称轴。
4. 椭圆的焦准距椭圆上的任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于2a，即PF1+PF2=2a。
我们把这个距离之和称为焦准距。
对于同一条主轴上的两个点P1和P2，它们到焦点的距离之和相等。
5. 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个反映椭圆形状的重要参数。
离心率e定义为焦点之间的距离与长轴的比值：e = c/a。
当离心率小于1时，椭圆是真椭圆；当离心率等于1时，椭圆是半圆；当离心率大于1时，椭圆是伪椭圆。
离心率越接近于0，椭圆形状越扁。
6. 椭圆的方程椭圆的方程可以通过不同的形式来表示，其中最常用的是标准形式和一般形式。
标准形式的椭圆方程为：x2/a2 + y2/b2 = 1，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度。
一般形式的椭圆方程为：Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D和E为常数。
7. 椭圆的焦距定理椭圆的焦距定理说明了椭圆上的任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于椭圆的主轴长度。
即PF1+PF2=2a。
8. 椭圆的切线椭圆上任意一点P的切线是通过点P且与椭圆仅相交于点P的直线。
椭圆 几何性质
椭圆的简单几何性质【知识点】知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标【问题1】观察椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？(1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．【问题2】在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b)．椭圆的简单几何性质(±c,0)(0，±c)知识点二椭圆的离心率思考如何刻画椭圆的扁圆程度？用离心率刻画扁圆程度，e 越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁．(1)椭圆的焦距与长轴长的比____ca____称为椭圆的离心率．(2)对于x 2a 2＋y 2b 2＝1，b 越小，对应的椭圆越____扁____，反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x 2＋y 2＝a 2.(如图)类型一 由椭圆方程研究其简单几何性质【例1】求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 已知方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1，于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝74，又知焦点在x 轴上，∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)． 引申探究本例中若把椭圆方程改为“9x 2＋16y 2＝1”求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 由已知得椭圆标准方程为 x 219＋y 2116＝1， 于是a ＝13，b ＝14，c ＝19－116＝712. ∴长轴长2a ＝23，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝74.焦点坐标(－712，0)和(712，0)，顶点坐标(±13，0)，(0，±14)．反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．【变式1】求椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解 椭圆的标准方程为x 29＋y 281＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝62，长轴长2a ＝18; 短轴长2b ＝6；焦点坐标(0,62)，(0，－62)；顶点坐标(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)． 离心率e ＝c a ＝223.类型二 椭圆的几何性质简单应用命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程例2 如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点F 与短轴两个端点B 1，B 2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为10－5，求这个椭圆的方程． 解 依题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由椭圆的对称性知|B 1F |＝|B 2F |， 又B 1F ⊥B 2F ，∴△B 1FB 2为等腰直角三角形， ∴|OB 2|＝|OF |，即b ＝c ， |F A |＝10－5，即a －c ＝10－5，且a 2＝b 2＋c 2，将上面三式联立，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，a －c ＝10－5，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝10，b ＝ 5.∴所求椭圆方程为x 210＋y 25＝1.反思与感悟 此类问题应由所给的几何性质充分找出a ，b ，c 所应满足的关系式，进而求出a ，b ，在求解时，需注意椭圆的焦点位置．【变式2】根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6. 解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝237，b ＝37，∴椭圆方程为x 2148＋y 237＝1.同样地可求出当焦点在y 轴上时， 椭圆方程为x 213＋y 252＝1.故所求的椭圆方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1. (2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，c ＝6，∴b ＝c ＝6，∴a 2＝b 2＋c 2＝72， ∴所求的椭圆方程为x 272＋y 236＝1.命题角度2 对称性问题例3 讨论方程x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1所表示的曲线关于x 轴，y 轴，原点的对称性．解 用“－y ”代替方程x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1中的“y ”，得－x 3y ＋x 2y 2－xy 3＝1，它改变了原方程，因此方程x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1所表示的曲线不关于x 轴对称．同理，方程x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1所表示的曲线也不关于y 轴对称．而用“－x ”代替原方程中的“x ”，用“－y ”代替原方程中的“y ”，得(－x )3(－y )＋(－x )2(－y )2＋(－x )(－y )3＝1，即x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1，故方程x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1所表示的曲线关于原点对称．反思与感悟 研究曲线关于x 轴，y 轴，原点的对称性，只需用“－y ”代替方程中“y ”，用“－x ”代替方程中的“x ”，同时代替，若方程不变，则得到相应的对称性． 跟踪训练3 曲线x 2－2y ＋1＝0的对称轴为( B ) A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y ＝x D ．无法确定【变式3】最值问题例4 椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P (0，32)到椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程．解 设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵b a ＝ a 2－c 2a 2＝1－e 2＝12， ∴a ＝2b .∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.设椭圆上点M (x ，y )到点P (0，32)的距离为d ，则d 2＝x 2＋(y －32)2＝4b 2(1－y 2b 2)＋y 2－3y ＋94＝－3(y ＋12)2＋4b 2＋3.(*)(1)当－b ≤－12，即b ≥12时，d 2max ＝f (－12)＝4b 2＋3＝7， 解得b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)当－12<－b ，即b <12时，d 2max ＝f (－b )＝7，解得b ＝7－32>12，与b <12矛盾．综上所述，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.反思与感悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等． 【变式4】已知椭圆x 2m 2－2m ＋y 2m 2－2m －1＝1(3≤m ≤5)，过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右依次为A ，B ，C ，D ，记f (m )＝||AB |－|CD ||. (1)求f (m )的解析式；(2)求f (m )的最大值和最小值．解 (1)设点A ，B ，C ，D 在x 轴上的射影分别为A ′(x 1,0)，B ′(x 2,0)，C ′(x 3,0)，D ′(x 4,0)， 则|AB |＝2|x 2－x 1|， |CD |＝2|x 4－x 3|. 又∵x 1＋x 4＝0， 且x 1<x 2<x 3<x 4， ∴||AB |－|CD || ＝2||x 2－x 1|－|x 4－x 3|| ＝2|(x 2－x 1)－(x 4－x 3)| ＝2|x 2＋x 3|.将直线y ＝x ＋1代入椭圆方程，整理得[2(m 2－2m )－1]·x 2＋2(m 2－2m )x ＋2(m 2－2m )－(m 2－2m )2＝0， ∴x 2＋x 3＝－2(m 2－2m )2(m 2－2m )－1，∴f (m )＝22(m 2－2m )2(m 2－2m )－1＝2＋22(m －1)2－3，m ∈[3,5]．(2)∵f (m )在[3,5]上是减函数，∴f (m )的最大值为f (3)＝625，最小值为f (5)＝30229.类型三 椭圆的离心率的求解例5 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且与椭圆的交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，且B 为线段CF 1的中点，若|k |≤142，求椭圆离心率e 的取值范围． 解 依题意得F 1(－c,0)，直线l ：y ＝k (x ＋c )，则C (0，kc )． 因为点B 为CF 1的中点， 所以B (－c 2，kc2)．因为点B 在椭圆上， 所以(－c 2)2a 2＋(kc 2)2b 2＝1，即c 24a 2＋k 2c 24(a 2－c 2)＝1. 所以e 24＋k 2e 24(1－e 2)＝1，所以k 2＝(4－e 2)(1－e 2)e 2.由|k |≤142，得k 2≤72，即(4－e 2)(1－e 2)e 2≤72，所以2e 4－17e 2＋8≤0. 解得12≤e 2≤8.因为0<e <1，所以12≤e 2<1，即22≤e <1.反思与感悟 求e 的取值范围有以下几个步骤：(1)切入点：已知|k |≤142，求e 的取值范围，需建立关于e 的不等式．(2)思考点：①e 与k 有什么关系？②建立e 与k 的等量关系式；③利用B 在椭圆上且为CF 1的中点，构建关于e 与k 的等式；④如何求e 的范围？先用e 表示k ，再利用|k |≤142，求e 的取值范围．(3)解题流程：先写出l 的方程，求出B 点的坐标，由点B 在椭圆上，建立e 与k 的关系式，再求e 的范围．【变式5】已知点P (m,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的内切圆的半径为32，则此椭圆的离心率为____35____．知识点一 点与椭圆的位置关系思考1 判断点P (1,2)与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．当x ＝1时，得y 2＝34，故y ＝±32，而2>32，故点在椭圆外．思考2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系的判定吗？当P 在椭圆外时，x 20a 2＋y 20b 2>1；当P 在椭圆上时，x 20a 2＋y 20b 2＝1；当P 在椭圆内时，x 20a 2＋y 20b 2<1.梳理 设P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则点P 与椭圆的位置关系如下表所示：知识点二 直线与椭圆的位置关系 思考1 直线与椭圆有几种位置关系？ 有三种位置关系，分别有相交、相切、相离．思考2 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系？联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程梳理 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离． (2)根与系数的关系及弦长公式设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m 为常数)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交，两个交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则线段AB 叫做直线l 截椭圆所得的弦，线段AB 的长度叫做弦长．下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，将y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m 代入上式，得|AB |＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2＝(x 1－x 2)2＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|，而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中x 1＋x 2与x 1x 2均可由根与系数的关系得到．(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ>0.例如，直线l ：y ＝k (x －2)＋1和椭圆x 216＋y 29＝1.无论k 取何值，直线l 恒过定点(2,1)，而定点(2,1)在椭圆内部，所以直线l 必与椭圆相交．类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断 命题角度1 点与椭圆位置关系的判断例1 已知点P (k,1)，椭圆x 29＋y 24＝1，点在椭圆外，则实数k 的取值范围为____________．(－∞，－332)∪(332，＋∞)解析 据题知k 29＋14>1，解得k <－332或k >332.反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性．【变式1】已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，则( C )A ．点(－3，－2)不在椭圆上B ．点(3，－2)不在椭圆上C ．点(－3,2)在椭圆上D ．以上都不正确命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断【例2】(1)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 22＋y 23＝1的位置关系是( A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定(2)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .求k 的取值范围．解 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1.整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22. 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞.反思与感悟 直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点．(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点．(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．【变式2】(1)已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 236＝1，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为(C )A ．1B ．1或2C ．2D ．0(2)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( C ) A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33类型二 弦长及中点问题【例3】已知椭圆x 216＋y 24＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程．解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法由椭圆的对称性，知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2)．将其代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两根，于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为线段AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解得k ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.方法二 点差法设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2.∵M (2,1)为线段AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16，两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－44×2＝－12，即k AB ＝－12. 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.方法三 对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ，y )，由于点M (2,1)为线段AB 的中点，则另一个交点为B (4－x,2－y )．∵A ，B 两点都在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16， ①(4－x )2＋4(2－y )2＝16. ② ①－②，得x ＋2y －4＝0.即点A 的坐标满足这个方程，根据对称性，点B 的坐标也满足这个方程，而过A ，B 两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.引申探究在本例中求弦AB 的长．解 由上例得直线AB 方程为x ＋2y －4＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，消去y 并整理，得x (x －4)＝0，得x ＝0或x ＝4， 得两交点坐标A (0,2)，B (4,0)，故|AB |＝(0－4)2＋(2－0)2＝2 5.反思与感悟 直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式．而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程．【变式3】已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点． (1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度； (2)当点P 恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)， 即y ＝12x .由⎩⎨⎧ y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18.于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2 ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧ x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0， 整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9(x 2＋x 1)36(y 2＋y 1)，由于P (4,2)是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，于是k AB ＝－9×836×4＝－12， 于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.类型三 椭圆中的最值(或范围)问题例4 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m 得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2. 所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x .反思与感悟 求最值问题的基本策略(1)求解形如|P A |＋|PB |的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|P A |＋|PB |取得最值．(2)求解形如|P A |的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．(3)求解形如ax ＋by 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决．(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．【变式4】 已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，求|PM →|的最小值．解 由|AM →|＝1，A (3,0)，知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，∵PM →·AM →＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，即PM 为⊙A 的切线，连接P A (如图)，则|PM →|＝|P A →|2－|AM →|2 ＝|P A →|2－1， ∴当|P A →|min ＝a －c ＝5－3＝2时，|PM →|min ＝ 3.。
椭圆知识点归纳总结
椭圆知识点归纳总结椭圆的定义可以用数学表达式表示为：\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]其中a和b分别表示椭圆的主轴长度和次轴长度，椭圆的标准方程为椭圆定点到F1、F2的距离之和等于常数2a的定点轨迹的数学描述。
椭圆是一种非常基本的几何图形，具有许多独特的性质和特点。
本文将对椭圆的性质、参数方程、焦点、直径、离心率、焦距、渐近线、面积等方面进行归纳总结。
第一部分：椭圆的基本性质1.1 椭圆的定义和参数1.2 椭圆的性质1.3 椭圆的对称性1.4 椭圆的离心率和焦点第二部分：椭圆的参数方程和一般方程2.1 参数方程和一般方程的含义2.2 椭圆的参数方程2.3 椭圆的一般方程第三部分：椭圆的焦点、直径和离心率3.1 椭圆的焦点特点3.2 椭圆的直径特点3.3 椭圆的离心率特点第四部分：椭圆的焦距和渐近线4.1 椭圆的焦距含义4.2 椭圆的渐近线含义4.3 椭圆的焦距和渐近线的性质第五部分：椭圆的面积和周长5.1 椭圆的面积公式5.2 椭圆的周长公式5.3 椭圆的面积和周长的计算方法第六部分：椭圆的相关定理和实例分析6.1 椭圆的凸性定理和实例分析6.2 椭圆的垂直切线定理和实例分析6.3 椭圆的切线与法线定理和实例分析结论部分：椭圆的应用和拓展7.1 椭圆在日常生活中的应用7.2 椭圆的拓展和推广第一部分：椭圆的基本性质1.1 椭圆的定义和参数椭圆是平面上到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为焦点，常数2a称为椭圆的主轴长度。
椭圆的主轴长度决定了椭圆的大小和形状。
椭圆的参数包括主轴长度a、次轴长度b、焦距2c、离心率e等。
其中焦距2c和主轴长度a之间有关系：c^2 = a^2 - b^2。
离心率e的计算公式为：e = c/a。
主轴长度a和次轴长度b决定了椭圆的形状，焦距2c和离心率e描述了椭圆与焦点之间的距离关系。
1.2 椭圆的性质椭圆具有许多特殊的性质，如平行轴定理、离心角定理、矩形椭圆定理等。
椭圆知识点总结附例题
知识点- •椭圆及其标准方程1 •椭圆的定义：平面内与两定点F i , F 2距离的和等于常数2a ■ F1F 2的点的轨迹叫做椭 圆，即点集 M={P| |PF i |+|PF 2|=2a ，2a > |F i F 2|=2c};这里两个定点F i , F 2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。
(2a TF1F 2时为线段F 1F 2, 2a c F 1F 2无轨迹) 2.标准方程： c = a - b2 2②两种标准方程可用一般形式表示：——=1或者mx 2+ny 2=1m n椭圆的简单几何性质： 1•范围横坐标-b <x W b,纵坐标-a <x <a2. 对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称 中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心2 2(2) 椭圆笃冷=1 (a >b >0)a b圆锥曲线与方程椭 圆(1)2 2椭圆廿右=1 (a > b > 0) 横坐标-a mwa ,纵坐标-b <x<b① 焦点在x 轴上:② 焦点在y 轴上:2 2x_ y_ 二b 2(a > b > 0)b 2(a > b > 0)焦点 F (土c , 0)注意：①在两种标准方程中 ，总有a >b >0,并且椭圆的焦点总在长轴上3. 顶点(1) 椭圆的顶点：A i (-a , 0), A2 (a, 0), B i (0, -b ), B2 (0, b)(2) 线段A1A2, B1B2分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b, a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4. 离心率(1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比2c,即-称为椭圆的离心率，2a a2 c b 2记作e ( 0 ：e ： 1) , e 2 = 1 一(—)・ a ae = 0是圆;e越接近于0 (e越小)，椭圆就越接近于圆；e越接近于1 (e越大)，椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
《椭圆的简单几何性质》知识点总结
《椭圆的简单几何性质》知识点总结椭圆的简单几何性质中的考查点:
（一）、对性质的考查：
1、范围：要注意方程与函数的区别与联系；与椭圆有关的求最值是变量的取值范围；作椭圆的草图。
2、对称性：椭圆的中心及其对称性；判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据；如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种，那么它也具有另一种对称性；注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。
3、顶点：椭圆的顶点坐标；一般二次曲线的顶点即是曲线与对称轴的交点；椭圆中a、b、c的几何意义（椭圆的特征三角形及离心率的三角函数表示）。
4、离心率：离心率的定义；椭圆离心率的取值范围：（0，1）；椭圆的离心率的变化对椭圆的影响：当e趋向于1时：c趋向于a，此时，椭圆越扁平；当e趋向于0时：c趋向于0，此时，椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，椭圆变成圆。
（二）、课本例题的变形考查：
1、近日点、远日点的概念：椭圆上任意一点p（x，y）到椭圆一焦1
————来源网络整理，仅供供参考
点距离的最大值：a+c与最小值：a-c及取最值时点p的坐标；
2、椭圆的第二定义及其应用；椭圆的准线方程及两准线间的距离、焦准距：焦半径公式。
3、已知椭圆内一点m，在椭圆上求一点p，使点p到点m与到椭圆准线的距离的和最小的求法。
4、椭圆的参数方程及椭圆的离心角：椭圆的参数方程的简单应用：
5、直线与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交时的弦长及弦中点问题。
————来源网络整理，仅供供参考 2。
高二椭圆知识点总结
椭圆一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a ，2a ＞|F1F2|=2c}；这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。
（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
2．标准方程：222c a b =-①焦点在x 轴上：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0）②焦点在y 轴上：12222=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ）注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n += 或者 mx2+ny2=1二．椭圆的简单几何性质： 1.范围（1）椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b（2）椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a2.对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点（1）椭圆的顶点：A1（-a ，0），A2（a ，0），B1（0，-b ），B2（0，b ）（2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4．离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22c a ，即a c称为椭圆的离心率，记作e （10<<e ），22221()b e a a ==-ce 0=是圆；e 越接近于0 （e 越小），椭圆就越接近于圆; e 越接近于1 （e 越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
(完整版)椭圆基本知识点总结
椭圆知识点知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的简单几何性质标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+b x a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)0,(b ±轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2离心率)10(<<=e ace c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1； (p 是椭圆上一点)1．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义222c b a +=2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长ab 223.最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠ 为最大角。
4.焦点三角形的面积2tan221θb S F PF =∆，其中21PF F ∠=θ5. 用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设方程：①依据上述判断设方程为2222by a x +=1)0(>>b a 或2222a y b x +=1)0(>>b a②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． (3)找关系，根据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求． 6.点与椭圆的位置关系: 2222b y a x +<1,点在椭圆内，2222b y a x +=1，点在椭圆上，2222b y a x +>1, 点在椭圆外。
椭圆几何性质知识点总结
椭圆几何性质知识点总结1. 椭圆的定义椭圆的定义是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
即PF1+PF2=2a。
其中F1和F2称为焦点，2a称为长轴长度。
椭圆的对称轴是通过两个焦点的连接线，称为长轴。
椭圆的短轴是垂直于长轴，并且过椭圆中心的直线。
2. 椭圆的焦点和离心率椭圆的焦点是椭圆的特殊点，它决定了椭圆的形状和大小。
椭圆的离心率e定义为焦点到椭圆中心的距离与长轴长度a的比值。
离心率的取值范围是0<e<1，当e=0时，椭圆退化为一个圆，当e=1时，椭圆退化为一条直线。
3. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以通过参数t来表示椭圆上的点的坐标。
一般来说，椭圆的参数方程可以写成x=acos(t)，y=bsin(t)。
其中(a,b)是椭圆的长短轴长度，t是参数。
4. 椭圆的直角坐标方程椭圆的直角坐标方程可以表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)是椭圆的中心点坐标。
5. 椭圆的几何性质椭圆具有许多重要的几何性质，例如：a. 椭圆的焦点性质：任意点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
b. 椭圆的直径定理：椭圆的任意直径的长度都等于椭圆的长轴长度。
c. 椭圆的对称性：椭圆具有关于两个坐标轴的对称性。
d. 椭圆的切线性质：椭圆上的任意一点处的切线与两个焦点到该点的连线的夹角相等。
6. 椭圆的面积和周长椭圆的面积可以表示为S=πab，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
椭圆的周长可以表示为C=4aE(e)，其中E(e)是椭圆的第二类完全椭圆积分。
7. 椭圆的方程类型椭圆的方程可以分为标准方程和一般方程两种类型。
标准方程是指椭圆的中心点在坐标原点的方程形式，一般方程是指椭圆的中心点不在坐标原点的方程形式。
8. 椭圆的相关问题在实际问题中，椭圆经常出现在各种应用中，例如天体运动、工程设计等。
因此，研究椭圆的相关问题对于理论研究和应用都具有重要意义。
312 椭圆的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)
3.1.2椭圆的简单几何性质（基础知识+基本题型）知识点一椭圆的范围以椭圆22221(0)x y a b a b +=>>为例．由标准方程可知，椭圆上点的坐标(,)x y 都适合不等式22221,1x y a b≤≤，即2222,x a y b ≤≤，所以||,||x a y b ≤≤．这说明椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框内（如图2．2-8）．拓展（1）确定了曲线的范围后，用描点法作图时，就可以不取范围之外的点了，在解析几何中，讨论曲线的范围就是确定方程中变量的取值范围．（2）如果将椭圆的标准方程22221(0)x y a b a b+=>>变形为y =，那么这个椭圆的方程可以分成y =，y =两个函数式，研究椭圆的范围，就是讨论这两个函数的定义域和值域，这也是讨论椭圆范围的一种方法．知识点二椭圆的对称性以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例．1．椭圆的对称轴：坐标轴．2．椭圆的对称中心：原点(0,0)O ，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．通过观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．提示：（1）在方程22221(0)x y a b a b+=>>中，将x 换成x -，方程显然不变，这就是说椭圆上的点(,)x y 关于y 轴的对称点(,)x y -也在椭圆上，故椭圆关于y 轴对称；将方程中的y 换成y -，方程也不变，故椭圆关于x 轴对称；同理，将,x y 分别换成,x y --时，方程也不变，故椭圆关于原点对称．（2）椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点的连线及它的垂直平分线．（3）椭圆关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称，原点为椭圆的中心．知识点三椭圆的顶点与长轴、短轴以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例．1．椭圆的顶点令0x =，得y b =±，令0y =，得x a =±．这说明12(,0),(,0)A a A a -是椭圆与x 轴的两个交点，1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 的两个交点，因为x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点．这四个交点叫做椭圆的顶点．2．椭圆的长轴、短轴线段12A A 叫做椭圆的长轴，它的长为2a ，a 叫做椭圆的长半轴长．线段12B B 叫做椭圆的短轴，它的长为2b ，b 叫做椭圆的短半轴长．提示明确,a b 的几何意义，a 是长半轴长，b 是短半轴长，由222c a b =-，得“已知椭圆的四个顶点求焦点”的几何作法，只要以短轴的端点1B （或2B ）为圆心，以a 为半径作弧，交长轴于两点，这两点就是焦点．知识点四椭圆的离心率1．定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记作22c c e a a==．2．范围：因为0a c >>，所以01ca<<，即(0,1)e ∈．拓展对椭圆离心率的理解（1）01e <<，越趋近于1，椭圆越扁；越趋近于0，椭圆越接近于圆．（2）当趋近于0时，c 趋近于0，椭圆变圆，直至成为圆，此时也可认为圆在椭圆在0e =时的特例．（3）当趋近于1时，c 趋近于a ，椭圆变扁，直至成为线段12F F ，此时也可认为12F F 为椭圆在1e =时的特例．（4）2221b e a=-．知识点五直线与椭圆的位置关系1．直线与椭圆的三种位置关系：（1）相交；（2）相切；（3）相离．2．直线与椭圆的位置关系的判断；直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常用消元后的关于x （或y ）的一元二次方程的判别式∆来判定；0∆>⇔直线与椭圆相交；0∆=⇔直线与椭圆相切；0∆<⇔直线与椭圆相离．3．弦长公式一条直线被椭圆所截得的线段叫做椭圆的弦，若直线y kx b =+与椭圆相交于不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线被椭圆所截得的弦长公式为12|||AB x x =-或12|||AB y y =-．考点一由方程求椭圆的几何性质例1．求椭圆22925225x y +=的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．解：将椭圆的方程化为标准形式为221259x y +=，得5,3a b ==，则4c ==因此，长轴长210a =，短轴长26b =，离心率40.85c e a ===．焦点坐标为1(4,0)F -和2(4,0)F ，顶点坐标为1212(5,0),(5,0),(0,3),(0,3)A A B B --．将方程变形为55)y x =-≤≤，根据5)y x =≤≤可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标(,)x y ，列表如下：x 012345y32．942．752．41．8先描点画出第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆．将椭圆的方程化成标准方程易得5,3a b ==，则椭圆位于四条直线5x =±，3y =±所围成的矩形框内，又因为椭圆以两坐标轴为对称轴，所以只要画出椭圆在第一象限内的图形，就可以利用对称性画出整个椭圆．考点二由椭圆的几何性质求方程例2．已知椭圆C 以坐标轴为对轴称、长轴长是短轴长的5倍，且经过点(5,0)A ，求此椭圆的标准方程．解：方法1：若椭圆的焦点在x 轴上，设其标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>由题意，得22252,2501,a b a b =⨯⎧⎪⎨+=⎪⎩解得5,1.a b =⎧⎨=⎩故所求椭圆的标准方程为22125x y +=，若椭圆的焦点在y 轴上，设其标准方程为22221(0)y x a b a b +=>>，由题意，得22252,0251,a b a b =⨯⎧⎪⎨+=⎪⎩解得25,5.a b =⎧⎨=⎩故所求椭圆的标准方程为22162525y x +=．综上所述，所求椭圆的标准方程为22125x y +=或22162525y x +=．方法2：设椭圆方程为221(0,0,)x y m n m n m n +=>>≠．由题意，得2501,5m n ⎧+=⎪⎨⎪=⨯⎩或2501,5m n⎧+=⎪⎨⎪=⨯⎩解得25,1m n =⎧⎨=⎩或25,625.m n =⎧⎨=⎩故所求椭圆的标准方程为22125x y +=或22162525y x +=．（1）利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程，通常利用待定系数法．（2）根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，其一般步骤：①确定焦点所在的坐标轴；②求出22,a b 的值；③写出标准方程．考点三求椭圆的离心率例3．若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率．分析：解答本题的关键是先由椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列，列出,,a b c 的关系式，再转化成,a c 间的关系式，从而求出．解：因为椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，所以2b a c =+，①所以224()b a c =+，即22242b a ac c =++．②又因为222a b c =+，所以22224()2a c a ac c -=++，③即225230c ac a +-=．两边同除以2a ，得25230e e +-=．④解得35e =或1e =-（舍去）．故该椭圆的离心率为35．求椭圆的离心率，关键是寻找a 与c 的关系，一般地，（1）若已知,a c ，则直接代入ce a=求解；（2）若已知,a b，则由e =（3）若已知,,a b c 的关系，则可先转化为,a c 的齐次式，再转化为含的方程，求解即可．例4．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在一点M ，使1290F MF ∠=︒（12,F F 为椭圆的两焦点），求椭圆的离心率的取值范围．解：设点M 的坐标是00(,)x y ，则220022222001,.x y a b x y c ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩消去0y ，得222202()a cb xc -=．因为2200x a ≤≤②所以222222222()0,().a c b c a c b a c ⎧-≥⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩①②由①，得22c b ≥，即222c a c ≥+，所以222a c ≤，所以22212c e a =≥．又因为01e <<，所以2[2e ∈，由②，得222c b c -≤，此式恒成立．综上所述，所求椭圆的离心率的取值范围是2[2．（1）解析几何中求参数的取值范围是一类常见而又较困难的题型，其基本的解题思路有：①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解．（2）本题在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后，借助椭圆的范围(||,||)x a y b ≤≤建立了一个关于基本量的不等式组．考点四点与椭圆的位置关系例5．直线1()y kx k R =+∈与焦点在x 轴上的椭圆2215x y m+=总有公共点，求m 的取值范围．解：方法1，直线1y kx =+恒过定点(0,1)，直线与椭圆总有公共点等价于点(0,1)在椭圆内或椭圆上，所以20115m+≤，即1m ≥．又由于5m <，故[1,5)m ∈，方法2：由221,15y kx x y m=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(5)105(1)0m k x kx m +++-=，则2210020(1)(5)0k m m k ∆=--+≥对k R ∈恒成立，即2250mk m m +-≥对k R ∈恒成立．因为0m >，所以251k m ≥-对k R ∈恒成立，故10m -≤，即1m ≥．又因为5m <，所以[1,5)m ∈．点与椭圆的位置关系（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上2200221x y a b ⇔+=；（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外⇔2200221x y a b +>；（3）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>内2200221x y a b⇔+<．考点五直线与椭圆的位置关系例6．已知椭圆2241x y +=及直线y x m =+．（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；（2）求直线被椭圆截得的最长弦的长度．解：由方程组2241,x y y x m⎧+=⎨=+⎩消去y 并整理，得225210x mx m ++-=．（1）因为直线与椭圆有公共点，所以222420(1)20160m m m ∆=--=-≥．解得m ≤故实数m 的取值范围是55[]22．（2）由根与系数的关系，得1225m x x +=-，21215m x x -⋅=，则弦长12||d x x =-===故当0m =时，d．（1）利用方程讨论直线与椭圆的位置关系设直线方程为y kx m =+，椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，联立方程，得2222,1.y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去方程组中的一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程，写出判别式∆，则0∆>⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点；0∆=⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点；0∆<⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．（2）弦长问题设直线：y kx m =+交椭圆22221(0)x y a b a b+=>>于111(,)P x y ，222(,)P x y 两点，则1212||||PP x x =-=或1212||||PP y y =-=考点六椭圆中弦的中点问题例7焦点分别为和的椭圆截直线32y x =-所得椭圆的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆方程．分析：设椭圆的方程→联立椭圆的方程与直线的方程→利用根与系数的关系设而不求→由中点列出方程→已知焦点→求出方程．解析：设22221(0)y x a b a b+=>>依题意，有22250a b -==．①由22221,32y x a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 并整理，得2222222(9)1240a b x b x b a b +-+-=．因为12122x x +=，所以2226192b a b =+．所以223a b =．②由①②，得275a =，225b =．经检验，此时0∆>．所以椭圆方程为2217525y x +=．弦的中点问题的解决方法关于中点的问题，我们一般可以采用两种方法解决：(1)联立方程、消元，利用根与系数进行设而不求，从而简化运算过程；(2)利用“点差法”，求出与中点、斜率有关的式子，进而求解．不管应用何种方法，我们都必须要注意判别式∆的限制．考点七椭圆中的最值问题例8设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e =3(0,2P 到这个椭圆P的点的坐标．分析:本题是解析几何与代数中的最大值的综合题．解题关键是怎样运用“最远距离是”这个条件，可尝试用两点间的距离公式，转化为函数的最大值问题来解．解析:设所求椭圆方程为22221x y a b +=(a >b >0)．由c e a ==，得a =2b ．①设椭圆上任一点M 的坐标为(x ，y )，点M 到点P 的距离为d ，则22222a y x a b =-，且2222222233()()22a d x y a y yb =+-=-+-2222913343()4342y y b y b =--++=-+++，其中b y b -≤≤．若12b <，则当y =-b 时，2d 取得最大值223()2b =+．解得3122b =>，与12b <矛盾．若12b ≥，则当12y =-时，2d 取得最大值2243b =+．②由①②，得b =1，a =2．故所求椭圆方程为2214x y +=．由12y =-，得椭圆上到点P 的点为1()2-，12-．本题是一道考查椭圆知识和函数最值的综合性问题，需要全面的掌握基础知识和基本方法，在建立二次函数求最值时，要特别注意通过椭圆的范围来确定自变量的取值范围．考点八与椭圆相关的实际问题例9在大西北的荒漠上，A ，B 两地相距2km ，正在准备在荒漠上围成一片以AB 为一条对角线的平行四边形区域，建立农艺园．按照规划，围墙总长度为8km ．(1)农艺园的最大面积能达到多少?(2)该荒漠上有一条直线型水沟刚好过点A ，且与AB 成45︒角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园内的水沟要重新设计改造，因此该水沟可能被农艺园围住的部分暂不加固，那么暂不加固的部分有多长?分析:(1)如图2．2-12所示，求农艺园的最大面积，实际就是求平行四边形ADBC 的面积的最大值．结合图形和椭圆的几何性质，易知当点C 位于短轴端点时，ACB ∆的面积最大，即平行四边形ADBC 的面积最大；(2)实质就是求弦长．解析:(1)如图2．2-12所示，由题意，知平行四边形相邻两边长之和为4km ，另两个端点C ，D 在以A ，B 为焦点的椭圆上．以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则椭圆方程为22143x y +=(0y ≠)．因为max ()ABC S ∆=(点C 在短轴端点)，所以农艺园的最大面积为2km ．(2)由题可知，直线型水沟的方程是y =x +1，暂时不加固的部分的长度即直线被椭圆所截得的弦长．把直线方程代入椭圆方程，得27880x x +-=．1224|7x x -=．所以暂时不加固的部分长为247km ．椭圆是天文学和日常生产、生活中常见的一个模型，因此，我们必须熟练掌握利用代数方法解决与椭圆有关的问题的技巧．。
椭圆的简单几何性质最全
结论：椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成
的矩形里． 即 -a≤x≤a -b ≤y≤b
.
5
二、椭圆的对称性
Y
x2 a2
by22
1(ab0)
关于y轴对称
P2（-x，y）
P（x，y）
关于原点对称
P3（-x，-y）
.
O
X
P1（x，-y）
关于x轴对称
6
二、椭圆的对称性
y
F1 O F2 x 结论：椭圆既是轴对称图形， 又是中心对称图形
y2 a2
x2 b2
1
a b0
F1(0，c) F2(0，-c) .
y
F1 o
M
F2 x
a2 b2c2
y
. F1
o
x
. F2
a2 b2c2 3
椭圆的一般方程
Ax2＋By2＝1（A＞0，B＞0，A≠B）
.
4
一、椭圆的范围
y
b
-a
a
o
x
-b
由 x2y2 1 x2 1 和 y2 1
a2 b2
a2
b2
即 ： xa和yb
.
8
练习：1.已知点P(3，6)在
x2 y2 a2 b2
1
上,则(
)
(A) 点(-3,-6)不在椭圆上
(B) 点(3,-6)不在椭圆上
C
(C) 点(-3,6)在椭圆上 (D) 无法判断点(-3,-6), (3,-6), (-3,6)是否在椭圆上
.
9
三、椭圆的顶点
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭
x2 y2 1
36 20
(B)
x2 y2 1
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《椭圆的简单几何性质》知识点总结
椭圆的简单几何性质中的考查点:
对性质的考查：
范围：要注意方程与函数的区别与联系；与椭圆有关的求最值是变量的取值范围；作椭圆的草图。
对称性：椭圆的中心及其对称性；判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据；如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种，那么它也具有另一种对称性；注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。
顶点：椭圆的顶点坐标；一般二次曲线的顶点即是曲线与对称轴的交点；椭圆中a、b、c的几何意义。
离心率：离心率的定义；椭圆离心率的取值范围：；椭圆的离心率的变化对椭圆的影响：当e趋向于1时：c趋向于a，此时，椭圆越扁平；当e趋向于0时：c趋向于0，此时，椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，椭圆变成圆。
课本例题的变形考查：
近日点、远日点的概念：椭圆上任意一点P到椭圆一焦点距离的最大值：a+c与最小值：a-c及取最值时点P的坐标；
椭圆的第二定义及其应用；椭圆的准线方程及两准线间
的距离、焦准距：焦半径公式。
已知椭圆内一点，在椭圆上求一点P，使点P到点与到椭圆准线的距离的和最小的求法。
椭圆的参数方程及椭圆的离心角：椭圆的参数方程的简单应用：
直线与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交时的弦长及弦中点问题。