第2章 误差理论与误差分析

n(n −1)
极差法 最大误差法
σ = xmax − xmin
dn
σ = δ i max Kn
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随机误差：测量的极限误差
测量的极限误差是极端误差，测量结果（单次测量或测量列
的算术平均值）的误差不超过该极端误差的概率为P ，并使 差值（1-P ）可予忽略。
单次测量 δ lim x = ±tσ
t = 3 P = 99.73%
引用误差=示值误差/测量范围上限
如：测量范围为5MPaG的压力表，在标定示值为3.8MPaG处的实际压力是 3.85MPaG，则该刻度点的引用误差为：
(3.8MPaG-3.85MPaG)/5MPaG=-1%
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测量误差来源
测量装置误差
标准量具误差：如氪86灯管、标准线纹尺、标准电阻、标准砝码 等，它们本身体现的量值，不可避免地含有误差。 仪器误差：凡用来直接或间接将被测量和已知量进行比较的器具 设备，本身都具有误差。 附件误差：仪器的附件及附属工具引起的测量误差。
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测量精度
测
量 不精密（随机误差大）
精
准确（系统误差小）
度
举
例
不精密（随机误差大） 不准确（系统误差大）
精密（随机误差小）
不准确（系统误差大）
精密（随机误差小） 准确（系统误差ห้องสมุดไป่ตู้） 11
有效数字与数据运算
有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位 数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字， 称为第一位有效数字。
误差，或称为“寄生误差” 性质：偶然出现，误差很大，异常数据，与有用数据混在一起 原因：装置误差、使用误差 处理：判断、剔除
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测量精度
精度： 测量结果与真值吻合程度 定性概念
准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度；平均值与真值 的偏差
精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度；随机误差的标 准差
精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程
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随机误差：标准差
测量的标准偏差简称为标准差，也称之为方均根误差
标准差 σ 的数值小，该测量列相应小的误
差就占优势，任一单次测得值对算术平均 值的分散度就小，测量的可靠性就大，即 测量精度高。
标准差 σ 不是测量列中任何一个具
体测得值的随机误差，标准差的大 小只说明在一定条件下等精度测量 列随机误差的概率分布情况。
数据运算规则
在近似运算时，为了保证最后结果有尽可能高的精度，所有参与运算的 数据，在有效数字后可多保留一位数字作为参考数字，或称为安全数字。
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误差的基本性质与处理
随机误差
对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列不同的 测量值，每个测量值都含有误差，这些误差的出现没有确定的规 定，即前一个误差不能预定下一个误差的大小和方向，但就误差 的总体而言，却具有统计规律性。
数据处理方法及应用
误差理论与误差分析 ¾ 误差的基本概念
¾ 误差的基本性质与处理 ¾ 误差的合成与分配 ¾ 测量不确定度
参考资料： 费业泰 主编. 误差理论与数据处理（第6版），机械工业出版社, 2010 吴石林, 张玘 编著. 误差分析与数据处理，清华大学出版社，2010
讲课：钟伟民，研究生楼912，64251250-811，wmzhong@ecust.edu.cn
度；其定量特征可用测量的不确定度（或极限误差）来表示
如相对误差为0.01%，可笼统说其精度为10-4；若纯属随机误差 引起，则说其精密度为10-4 ；若是由系统误差与随机误差共同 引起，则说其精确度为10-4。 精密度高的准确度不一定高，准确度高的精密度也不一定 高；但精确度高，则精密度和准确度都高。
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测量误差分类
系统误差(system error) ：在同一条件下，多次测量同一
量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规 律变化的误差
性质：有规律，可再现，可以预测 原因：原理误差、方法误差、环境误差、使用误差 处理：理论分析、实验验证→ 修正
粗大误差(abnormal error) ：超出在规定条件下预期的
实际上测量过程中往往存在系统误差，由于系统误差和随机误差同 时存在测量数据之中，而且不易被发现，多次重复测量又不能减小它对 测量结果的影响，这种潜伏使得系统误差比随机误差具有更大的危险性 ，因此研究系统误差的特征与规律性，用一定的方法发现和减小或消除 系统误差，就显得十分重要。
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系统误差
系统误差的特征是在同一条件下，多次测量同一测量值时，误差的绝 对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。由 系统误差的特征可知，在多次重复测量同一值时，系统误差不具有抵偿 性，它是固定的或服从一定函数规律的误差。从广义上讲，系统误差是 指服从某一确定规律变化的误差。
−∞
5
∫∞ f (δ )dδ = 1
−∞
2
或然误差
ρ = 0.6745σ ≈ 2 σ
3
17
随机误差：算术平均值
算术平均值
n
∑ x = l1 + l2
+L+ ln
=
li
i =1
n
n
算术平均值与被测量的真值最为接近，由概率论的大数定律可知，若
测量次数无限性增加，则算术平均值必然趋近于真值
n
n
∑ ∑ δ i = li − nL0
（奇数样本）
A 为算术平均值末位数的一个单位
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随机误差：算术平均值的计算校核
xi − x
剩余误差 vi ≠ 偶然误差 δ i
[ ] 性质：（1）剩余误差的代数和等于零，即 v = 0
算术平均值法可以滤除或减小偶然误差
[ ] （2）剩余误差的平方和为最小 v2 → min
最小二乘法基础
xi − 真值
i =1
i =1
n→∞
n
n
∑ ∑ li
δi
L0
=
i =1
n
− i=1 n
n
∑δi
i=1 → 0 n
n
∑li
x = i=1 n
→ L0
无限多次测量，可得到不受随机误 差影响（或影响甚微）的测量值
一般情况下，可用算术平均值代替真值
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随机误差：算术平均值
残余误差
vi = li − x
简便计算：任选一个接近所有测量值的数 l0作为参考值， 计算得到每个测量值与其的差值
在该条件下，任一单次测得值的随机误差 δ ，一般都不等于 σ ，但却 认为这一系列测量中所得测得值都属同样一个标准差 σ 的概率分布。
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随机误差：单次测量的标准差
用偶然误差表示: σ =
n
∑δ
2 i
i =1
n
n 充分大
用残余误差表示: σ =
n
∑v
2 i
i =1
n −1
Bessel公式
或然误差
ρ≈2
3
n
∑ vi2
i =1
n −1
平均误差
θ≈4
5
n
∑ vi2
i =1
n −1
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随机误差：算术平均值的标准差
测量列算术平均值的标准差:
σx = σ
n
测量过程应选取适当的测量次数
或然误差 R = ρ
n
平均误差 T = θ
n
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随机误差：标准差的其他计算法
别捷尔斯法( Peters)
n
∑ vi
σ = 1.253× i=1
若测量列中不包含系统误差和粗大误差，则随机误差一般具有： 对称性 单峰性 有界性 抵偿性
服从正态分布
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随机误差：正态分布
设被测量的真值为 L0，一系列测量值为 l0，则测列中的随机误
差 δi为
δ i = li − L0
正态分布的分布密度 f (δ )与分布函数 F(δ )
f (δ ) = 1 e −δ 2 /(2σ 2 ) σ 2π
相对真值： 利用高一等级精度的仪器或装置的测量结果作为近似真值 仪表检定
5
误差的基本概念
绝对误差：
绝对误差=测得值-真值 相对误差：
相对误差=绝对误差/真值 ≈绝对误差/测得值
作业
引用误差：一种简化和实用方便的仪器仪表示值的相对误差， 采用仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限 值或全量程为分母；绝对值最大的引用误差为仪器仪表的最大 引用误差。
1
误差理论与误差分析
阐述测量误差的基本概念、误差的表达形式、误 差分类、误差来源；给出描述误差大小的精度概念及 其与误差类型之间的关系；给出测量中的有效数字概 念及其在数据处理中的基本方法；给出了误差的合成 以及测量不确定度的概念等。
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误差的基本概念
研究误差的意义
z 实验方法和实验设备的不完善 z 周围环境的影响 z 人的认知能力的受限 使得测量和实验所得数据和被测量的真值之间，不可避免产生差异，在数值 上表现为误差。
如：0.0027，2位有效数字；0.00270，3位有效数字 2.4×103， 2位有效数字；2.40×103，3位有效数字
在测量结果中，最末一位有效数字取位由测量精度决定，即最末 一位有效数字应与测量精度是同一量级的，是不可靠的，而前一 个数字是可靠的。
如：千分尺测量，精度只能达到0.01mm，若测出长度为L=18.231mm， 则小数点后第2位数字已不可靠了，此时可取L=18.23mm，则此次测量 可以表示为L=(18.23±0.01)mm
研究误差的意义： z 正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差。 z 正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更 接近于真值的数据。 z 正确组织实验过程，合理设计实验方法和选用测量仪器等，以便在最经济 的条件下，得到理想的结果。
4
误差的基本概念
修正值≈ -误差
校核算术平均值及其残余误差的计算的正确性
当算术平均值为经过凑整的非准确数时，存在舍入误差
满足
n
∑li
Δ = x − i=1 n
n
n
n
∑li
∑ ∑ i=1
vi
=
i =1
li
− n(
i =1
n
+ Δ) = −nΔ
∑ ∑ n vi
i =1
≤nA 2
（偶数样本）
n
vi
i =1
≤ ( n − 0.5) A 2
Δli = li − l0
n
∑li
因
x = i=1
n
n
∑ Δli
Δx0
=
i =1
n
则
x = l0 + Δx0
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随机误差：算术平均值
举例
任选参考值 l0 = 1879.65
20
随机误差：算术平均值的计算校核
残差代数和
n
n
∑ ∑ vi = li − nx
i =1
i =1
n
∑ 当算术平均值为未经凑整的准确数时，有 vi = 0 i =1
一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差
性质：
正态分布
对称性 单峰性 有界性 抵偿性
原因：装置误差、环境误差、使用误差 处理：统计分析、计算处理→ 减小
绝对值相等的正负误差出现的次数相等
绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多
偶然误差绝对值不会超过一定程度 当测量次数足够多时，偶然误差的算术平均值趋于0
定义：测量结果与其真值的差异
Δx = x − x0
定性概念，定量表示
Δx – 测量误差 x – 测量结果 x0 – 真值
真值：被测量的客观真实值，是指在观测一个量时，该量本身所具有 的真实大小
理论真值：理论上存在、计算推导出来 如：一个整圆周角为360°
约定真值： 国际上公认的最高基准值
如：按定义规定的国际千克基准的值可认为真值是1kg
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有效数字与数据运算
数字舍入规则
1）若舍弃部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位，则末位加1 2）若舍弃部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位，则末位不变 3）若舍弃部分的数值，等于保留部分的末位的半个单位，则末位凑成偶 数 由于数字舍入而引起的误差称为舍入误差，其舍入误差不超过保留数 字最末位的半个单位。舍入规则第3条规定，使舍入误差成为随机误 差，在大量运算时，其舍入误差的均值趋于0，从而避免以往的四舍 五入规则时，由于舍入误差的累计而产生系统误差。
∫ F(δ ) = 1
∞ e −δ 2 /(2σ 2 ) dδ
σ 2π −∞
σ 为标准差（或称方均根误差）
e 为自然对数的底，2.7182…
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随机误差：正态分布
数学期望 方差 平均误差
∞
∫ E = δf (δ )dδ = 0 −∞
∫ σ 2 = ∞ δ 2 f (δ )dδ −∞
∫ θ = ∞ δ f (δ )dδ = 0.7979σ ≈ 4 σ
测量列算术平均值
δ lim x = ±tα σ x
tα 置信系数 P = 1−α 置信概率
正态分布或t 分布等
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随机误差的其他分布形式
均匀分布 反正弦分布 三角形（Simpson）分布 直角分布 椭圆分布 双三角分布
χ 2分布
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系统误差
系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素造成的，是 可以掌握的。
环境误差
由于各种环境因素与规定的标准状态不一致而引起的测量装置和 被测量本身的变化所造成的误差，如温度、湿度、气压、振动、 电磁场等引起的误差。
方法误差
由于测量方法不完善所引起的误差，比如采用近似的测量方法所 造成的误差。
人员误差
由于测量人员因习惯等引起的读数误差等。
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测量误差分类
随机误差(random error)：在同一测量条件下，多次测量同