用向量表示三角形的五心

用向量表示二角形的五心

如图， ABC 中，E 是AC 上一点，F 是AB 上一点，且 一

FB 数化为同分母分数)•连接BE 、CF 交于点D ，确定点D 的位置.

解:设 AB a, AC b. BD DE, CD DF

⑶若BE 、CF 是 ABC 两边上的高，交点D 是三角形的垂心.

AD AB AE 1 1 1

1 ■ a n

(1 )(l 1 AC AF 1 由定比分点的向量表达式，得

AD AB 1 1 1 —b n)

(1 a )(l m) -(—AC)

1 l n

m

-( AB) 1 l m

m : AC 1

(1

)(1 m) 1

1 m 1 (1 ~~)(1 m)

n 1 (1 ~~)(1 n) 1

解得

— m ~ n _

代入得：AD m 一 a n 一

b

l m n l m n 设o 是平面上任意一点，则有AD OD OA, a 上式可化为：0D ----- OA m 一 OB

l m n l m n

由()式出发，可得三角形五心的向量表达式

(1).若 BE 、CF 是 EE 1, C

OB OA, b OC 0A ABC 两边的中线，交点D 是三角形的重心

m AF .

1

l FB OD ^(OA OB OC) 3

ABC AB c (2)若 BE 、CF 是

冲n AE 则_ l EC BC a 代入(*)式得：

— a — OD OA a b c 两内角的平分线，交点D 是三角形的内心. m AF l FB AC b

BC a

b — OB

a b c c

—

OC. a b c m ，伴 n

(通分总可以把异分母分 l EC l

(1)重心 O: OA OB OC 0 ⑵ 内心 O: aOA bOB cOC 0

a —*

b —

c ■ ■

⑶ 垂心 O:- OA OB OC 0

cos A cos B cosC

■ ■ ->

⑷ 外心 O: sin2A OA sin2B OB si n2C OC 0

A 对的旁心O: aOA bO

B cO

C 0 ; B 对的旁心 O:aOA bOB cOC 0

C 对的旁心 O ：aOA bOB cOC 0.

则- AE c cosA cosC 同理- AF cosB

EC a cosC J a FB a

l l cosA cosA

a b c

OD cosA OA

cosB OB cosC

OC a b c a b c a b c cosA cosB cosC cosA cosB cosC cosA cosB cosC ⑷若BE 、 CF 的交点D 是 ABC 的外心，即三边中垂线的交，贝U 有:DA=DB=DC.

c b

根据正弦定理有

n AE EC 同理 OD sin EBA sin A sin CBE si nC AF sin 2B FB sin 2A

sin 2A

1

sinC sin ( _______ 2_

1 sin A sin ( 2

ADB) BDC) sin2B

sinC cosC sin A cosA sin2C

sin2A

OA sin 2A sin 2B sin2C sin2A sin2B sin 2C (5)若BE 、CF 是 ABC 外角平分线，D 是三角形的旁心. b

sin 2C

OC sin 2A sin2B sin 2C

则：n AE l EC OD AB BC a OA b c a m AF l FB b b c OB a AC

BC c b c 同理若D 是顶点B 所对的旁心则有：

— a — b —

OD ------------ OA ------------- OB a c b a c b 若D 是顶点C 所对的旁心，则

有: OD 一a OA 一b OB

OC.

a c

b 一

c OC F a b c

若将点 O 与上述五心重合，则有以下简单结论：

OB a

C

B D

OC a