《简单线性规划问题》导学案

高一数学必修5 3.3-02

《简单的线性规划问题》导学案 湖北洪湖贺龙中学 崔先湖

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【学习目标】1、了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题； 2、从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力 【学习重点】利用图解法求得线性规划问题的最优解

【学习难点】把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已

知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解

【知识链接】

1. 线性规划的有关概念：

①约束条件：由变量x 、y 组成的 ；

线性约束条件：由变量x 、y 的 不等式(或方程)组成的不等式组． ②目标函数：欲达到最大值或最小值的关于x 、y 的 ； 线性目标函数：欲达到最大值或最小值的关于x 、y 的 .

③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的 或 的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ，y ）叫 ；由所有可行解组成的集合叫做 ；使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的 ． 2．用图解法解决线性规划问题的一般步骤： （1）审题，分析数据，选取变量； （2）列出线性约束条件，线性目标函数； （3）画出可行域；

（4）在可行域内求目标函数的最优解（实际问题需要求整数解时，应适当调整，以确定最优解）．

阅读教材P80到P85，完成尝试完成下面练习

1．设集合y x y x y x A --=1,,|),{(是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域是（ ）

2.若不等式组0

3434

x x y x y ≥⎧⎪

+≥⎨⎪+≤⎩

所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值

是 ，

3．若y x ,满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≥+≤≤222y x y x ，则y x z 2+=的取值范围是（ ）

A. [2，6]

B. [2，5]

C. [3，6]

D. （3，5）

【学习过程】

知识点一：目标函数的最值

例1、求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x

变式1 (1).求y x z -=大值、最小值，使x 、y 满足条件⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥≤+00

2y x y x

(2)

在如图所示的可行域内，目标函数z x ay =+取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是（ ）.

A. 3-

B. 3

C. 1-

D.1

知识点二：线性规划问题

例1产品安排问题 某工厂生产甲、乙两种产品。已知生产甲种产品1t ，需耗A 种矿石10t 、B 种矿石5t 、煤4t ；生产乙种产品需耗A 种矿石4t 、B 种矿石4t 、煤9t 。每1t 甲种产品的利润是600元，每1t 乙种产品的利润是1000元。工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300t 、B 种矿石不超过200t 、煤不超过360t ，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t ），能使利润总额达到最大？

变式2物资调运问题 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地。东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨。煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?

知识点三、最优整数解问题

例3.某人有楼房一幢，室内面积共1802

m ，现分隔成两类房间作为旅游客房。大房间每间面积为182

m ，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为152

m ，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元.装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？

【基础达标】

1在△ABC 中，三顶点坐标为A （2，4），B （－1，2），C （1，0），点),(y x P 在ABC ∆内部及边界运动，则y x z -=的最大、最小值是（ ）

A. 3，1

B. －1，－3

C. 1，－3

D. 3，－1

2某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项

目乙投资的

3

2

倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为（ ）

A 、36万元

B 、31.2万元

C 、30.4万元

D 、24万元

3．下料问题 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：

规格类型

钢板类型 A 规格 B 规格 C 规格

第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3

今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？

【当堂检测】

1 x 、y 满足条件10,10,01x y x y y +-≤⎧⎪-+>⎨⎪≥-⎩

且22

448u x y x y =+--+，则u 的最小值为（ ）

A.

32

2

B.

92

C.

2

2

D.

12

2．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元。在满足需要的条件下，最少要花费 。

3如图所示的坐标平面的可行域（阴影部分且包括边界）内，目标函数

ay x z -=2 取得最小值的最优解有无数个，则a 为（ ）同前图

A 、2-

B 、2

C 、6-

D 、6