四川成都市2020高二数学10月月考理

2017-2018学年度高二上期十月月考

数学试题(理科)

注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两个部分。 2. 本堂考试120分钟，满分150分。

3．答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、考号、座位号填写在答题卷的密封

线内。

4．考试结束后，将所有答题卷和机读卡交回。

第Ⅰ卷（60分）

一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中只

有一项是符合题目要求的）。 1.圆 2

2(2)5++=x y 关于原点对称的圆的方程是(

A )

A. 2

2(2)5-+=x y B. 22(-2)5+=x y C. 2

2(2)

(2)5+++=x y D. 22(2)5++=x y

2.设,、∈x y R 则“2≥x 且2≥y ”是“2

2

4+≥x y ”的( A ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件

3．椭圆

22

1167

+=x y 的左右焦点分别为12,F F ,一直线过1F 交椭圆于A ，B 两点， 则 2?ABF 的周长为 （ B ）

A.32

B.16

C. 8

D. 4

4. 已知命题:0,ln(1)0p x x ?>+>；命题 22

:,q a b a b >>若则 ， 下列命题为

真命题的是（ B ）

A 、p ∧q

B 、p ∧￢q

C 、￢p ∧q

D 、￢p ∧￢q

5．已知点M （a,b ）（ab ≠0），是圆222

+=x y r

内一点，直线m 是以M 为中点的弦所在的

直线，直线l 的方程是2

+=ax by r ，则（ C ） A. l ∥m 且l 与圆相交 B. l ⊥m 且l 与圆相切

C. l ∥m 且l 与圆相离

D. l ⊥m 且l 与圆相离

6. 已知椭圆C ：22

221x y a b

+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为

直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ A ）

A ．

6 B ．

3 C ．

2 D ．13

7．已知P 为椭圆

22

=12516x y +上的一点，M N 、分别为圆2231()x y ＋＋＝和圆2()3x －＋24y ＝上的点，则PM PN ＋的最小值为（ B ）

A ．5

B ．7

C ．13

D ．15

8．平面内到点（1，1）的距离为1且到点（1，4）的距离为2的直线有（ C ）条。 A. 1 B . 2 C.3 D.4

9．若关于x 的方程2

4320x kx k ---+=有且只有两个不同的实数根，则实数k 的 取值范围是 ( D ) A.5，+12??∞??

?? B. 5，112?? ??? C. 50，12??

???

D. 53，124?? ??? 10.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直

线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（ B ） A.1 B.2 C.3 D.2

11．已知椭圆 2

2:12

+=x C y ，点 125M ,M M 为其长轴 AB 的 6 等分点，分别过这五

点作斜率为 (0)k k ≠ 的一组平行线，交椭圆 C 于 12

10,P P P ，则10条直线

12

10,AP AP AP 的斜率乘积为（ D ）

A.

1

4 B.

116

C. 18

-

D. 132

-

【解析】设其中的任一等分点为

，过

的直线交椭圆于点 、

，不妨设直线

的方程为

，则与椭圆方程联立可得：

整理后可得 ．

从中可以得到 所以 ．

当 分别取 、 、 、 、 时，算出斜率的乘积为 ．

12．关于下列命题,假命题的个数是（ C ）

（1）若点(2,1)在圆0152222=-++++k y kx y x 外，则2k >或4k <-. （假）

（2）已知圆1)sin ()cos (:2

2

=-++θθy x M 与直线kx y =，对于R ?θ∈，总k R ?∈ 使

直线与圆恒相切. （假）

（3）已知点P 是直线240x y ++=上一动点，PA 、PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，

A 、

B 是切点，则四边形PACB 的最小面积是为2 . （真）

（4）设直线系:cos sin 22cos M x y θθθ+=+，M 中的直线所能围成的正三角形

面积等于312.（假）

A ．1 B.2 C.3 D ．4

第Ⅱ卷（90分） 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷上的相应位置）. 13.若()21，-P 为圆()22125-+=x y 的弦AB 的中点,

则直线AB 的方程是 ▲ .

.

14．若命题“?∈x R ,使得()2

110+-+

则实数a 的取值范围是 ▲ .

15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A(-3,0)和C(3,0)，顶点B 在椭圆

2212516+=x y 上，则sin sin 2sin +=A C B ▲ . 5

6

16．已知以4T =为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3]x x f x x x ?-∈-?=?--∈??，其中0m >。若方程

3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为 ▲ .

15

(

7)3

三、解答题：(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)。

17．（本小题满分10分）已知 ()()0,:1-50,:1-1>+≤≤≤+m p x x q m x m .

（1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；

（2）若m=5，“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数x 的取值范围． 解：（1） 由题知 ：

．

因为 是 的充分条件，所以

是

的子集，

所以 解得 ．所以实数 的取值范围是 ．

（2） 当 时，：，依题意得， 与 一真一假．

当 真 假时，有 无解；

当 假 真时，有 解得 或 ．

所以实数 的取值范围为 ．

18.（本小题满12分）已知 ?ABC 的顶点()

5，1A ，AB 边上的中线 CM 所在直线方程为

250--=x y ，AC 边上的高 BH 所在直线方程为 250--=x y ．求：

（1）顶点C 的坐标； （2）直线BC 的方程． 解： （1）

，

，

直线 的方程为 ，整理得 ．

由 解得 顶点 的坐标为 ．

（2） 设顶点 的坐标为 ，点 在直线 上，

线段 的中点 的坐标为 ，点 在中线 上，

，整理得

由 联立，解方程组得 ，，即点 的坐标为 ．

又 ， 直线 的方程为

，整理得 ．

19．（本小题满分12分）椭圆2

2

1+=ax by 与直线10+-=x y 相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB|＝22，OC 的斜率为

2

2

，求椭圆的方程． 解析 方法一：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 代入椭圆方程并作差，得

a(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝2

2，

代入上式可得b ＝2a.

再由|AB|＝1＋k 2

|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22， 其中x 1，x 2是方程(a ＋b)x 2

－2bx ＋b －1＝0的两根．

故(2b a ＋b )2－4·b －1a ＋b ＝4.将b ＝2a 代入，得a ＝13，∴b ＝2

3. ∴所求椭圆的方程是x 2

3＋2y 23

＝1.

方法二：由?

????ax 2

＋by 2

＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b)x 2

－2bx ＋b －1＝0.

设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB|＝（k 2＋1）（x 1－x 2）

2

＝

2·

4b 2

－4（a ＋b ）（b －1）

（a ＋b ）

2

. ∵|AB|＝22，∴

a ＋

b －ab

a ＋b

＝1.①

设C(x ，y)，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝a

a ＋

b .

∵OC 的斜率为

22，∴a b ＝22. 代入①，得a ＝13，b ＝23

. ∴椭圆方程为x 2

3＋23y 2

＝1.

方法三：利用中点弦的斜率求解

20.（本小题满分12分）平面上两点)0,1(),0,1(B A -，在圆4)4()3(:2

2

=-+-y x C 上取一点P ，求:①0≥+-c y x 恒成立，求c 的范围 ②求2

2

PB PA +的最值及此时点P 的坐标。

解析：①由0≥+-c y x ，得x y c -≥，由圆的参数方程的

θθcos 23sin 24--+≥c ，所以122+≥c

②

设

),(b a P ，则

22

22222

PA PB a b +=++，此为圆

4)4()3(:22=-+-y x C

上的点到原点的距离平方，所以最小值为20，)512

,

59(P ；

最大值为100，)5

28

,521(

P 。 21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22

22=1x y a b

+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），

P 3（–1

，

2），P 4（1

，2

）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；

（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，

求证：l 过定点.

试题解析：（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点. 又由

2222

1113

4a b a b +>+

知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上. 因此2

221

11314b a

b ?=????+=??，解得2241a b ?=??=??.

故C 的方程为2

214

x y +=.

（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，

如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t

，

（t

，）.

则121k k +=

=-，得2t =，不符合题设. 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2

214

x y +=得

由题设可知22=16(41)0k m ?-+>.

设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841

km

k -+，x 1x 2=224441m k -+.

而121212

11

y y k k x x --+=+

121212

2(1)()

kx x m x x x x +-+=

.

由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.

即222448(21)(1)04141m km

k m k k --+?+-?=++.

解得1

2

m k +=-.

当且仅当1m >-时，0?>，欲使l ：12m y x m +=-+，即1

1(2)2

m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）

22．（本小题满分12分）平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的离

12,F F ，以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设椭圆22

22:144x y E a b

+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+

交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .

( i )求

OQ OP

的值； （ii ）求ABQ ?面积的最大值.

试题解析：（I ）由题意知24a = ，则2a = ,

又

22

2c a c b a =-= 可得1b = , 所以椭圆C 的标准方程为2

214x y +=. （II ）由（I ）知椭圆E 的方程为

22

1164

x y +=, (1) 设()00,P x y ，OQ OP

λ= ，由题意知()00,Q x y λλ-- 因为2

2

00

14x y +=,

又

()()2

2

00116

4

x y λλ--+

= ，即

2

220

0144x y λ??+= ?

??

,所以2λ= ，即2OQ OP = . （ii ）设()()1122,,,A x y B x y 将y kx m =+代入椭圆E 的方程，

可得()

2221484160k x kmx m +++-=由0?> ，可得22416m k <+ …

则有2121222

8416

,1414km m x x x x k k -+=-=++

所以12x x -=

因为直线y kx m =+与轴交点的坐标为()0,m

所以OAB ?的面积221

2S m x x =?-= 令22

14m t k

=+ ,将y kx m =+ 代入椭圆C 的方程可得()222

148440k x kmx m +++-= 由0?≥ ，可得2214m k ≤+ …………………………………………② 由①②可知01t <≤

因此S ==故S ≤

当且仅当1t = ，即2214m k =+ 时取得最大值

由（i ）知，ABQ ? 面积为3S ,所以ABQ ?面积的最大值为