初中数学题目改编

初中数学题目改编

惠阳区良井中学

编者：张立鹏

一、原题是九年级下册（人教版）P23探究1。

原题考查目标：会运用二次函数解决实际问题，根据问题找等量关系求出函数解析式，再求出二次函数最值时的自变量的值

新题：某件衣服现在的售价为每件60元，每个月可卖出300件。市场调查放映；如调整价格，每涨价1元，每月要少卖10；每降价1元，每月可多卖出20件，已知这种衣服的进价为每件40元，当衣服的售价为x元，每月的销售量为y件，

（1）写出y与x的函数关系式及x的取值范围

（2）要使利润最大应该涨价还是降价？如果涨价应涨多少，降价应降多少，怎么定价？

考查目标：本问题是一道较复杂的市场营销问题，培养学生分类讨论的数学思想方法，通过本问题的设计，让学生体会二次函数模型在同一个问题中的不同情况下是不同的，培养学生考虑问题的完善性，养成前面分析问题的良好习惯，提升解决问题的能力。

分析：（1）调整价格包括涨价和降价两种情况。

（2）设每件涨价x元。则月售出商品的利润y随之变化。我们先来确定y随x变化的函数式。涨价x元时，每月少卖10x件，实际卖出（300-10x）件，销售额为(60+x)(300-10x)元，买进商品需付40(300-10x)元。设每件降价X元，则每月可多卖20x件，实际卖出（300+20x）件。销售额为（6-x）（300+20x）元，买进商品需付40（300+20x）元。

答案：

解（1）当涨价时：y=300-10(x-60)=900-10x，x>60

当降价时：y=20(60-x)+300=1500-20x，40≤x≤60 （3分）

（2）设每件涨价x元，每月少卖10x件，实际卖出（300－10x）件。由题意可得

y =（60＋x）(300－10x) －40（300－10x），即

y = －10x2+100x+6000。（0≤x≤30.）

当X=5 时，y最大=6250元。即售价为65元时，利润最大。（2分）

设每件降价x元，每月多卖20x件，实际卖出（300+20x）件，由题意可得

y = ( 60－x )( 300+20x ) － 40 ( 300+20x )，

即y = －20x2+100x+6000

当x=2.5时，即售价为57.5元时，利润最大为6125元。（2分）

新题的特点：本题的变化不大，知识添设了问题（1），难度适当加大了，能更好培养学生考虑问题的完善性，养成前面分析问题的良好习惯，提升解决问题的能力。

二、原题是九年级上册（人教版）P45探究1。

原题：有一个人患了流感，经过两轮传染后有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

解：设每轮传染中平均一个人传染了X个人。依题意得

1+x+x（1+x）=121

解得x1=10，x2=-12（舍去）

答：平均一个人传染了10个人

原题考查目标：本题考查用一元二次方程解决实际问题，从生活中的实际问题入手，探索和学习用一元二次方程解决传染的问题，让学生进一步经历“问题情境--建立模型--求解--解释与应用的过程”，获得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，进一步掌握解应用题的步骤和关键。

改编题：某幼儿园有两个小朋友患了流感,经过两轮传染后共有160人被传染了。

（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人?

（2）若流感得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人数会不会超过1500人？

考查目标：本题考查用一元二次方程解决实际问题，从生活中的实际问题入手，探索和学习用一元二次方程解决传染的问题，让学生进一步经历“问题情境--建立模型--求解--解释与应用的过程”，获得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，进一步掌握解应用题的步骤和关键。

分析：开始有两个人患了流感,第一轮的传染源就是这两个个人,他们分别传染了x 个人,用代数式表示,第一轮后共有_____人患了流感;第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了x 个人,

用代数式表示,第二轮后共有____________人患了流感. 答案：

解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人.由题意得

2(1+x)²=160+2 （2分） (1+x)²=81 1+x=±9

x1=-10（舍去），x2=8

所以每轮传染中平均一个人传染了8个人 （2分） （2）由（1）可知道经过两轮传染后有162患流感，所以三轮后有

162+162×8=1458<1500所以不会超过1500人 （3分）

改编题的特点：新题的难度比原题有所加大，探索的空间比较广阔，使学生在学习原题的基础上进一步加深学习已有的知识分析题目，鼓励学生大胆的质疑和创新，从不同的角度去思考问题。

三、原题是八年级下册（人教版）P108例题2 原题：如图，梯形ABCD 中。BC//AD,DE//AB,DE=DC,∠A=100°,求梯形其它三个内角的度数。

设计的意图：梯形问题的化归方向；掌握等腰梯形的应用方法

解：∵ BC ∥AD ，DE ∥AB

∴四边形ABED 是平行四边形

∴AB=DE

又DE=DC ∴AB=DC

梯形ABCD 是等腰梯形 E ∴∠C=∠B=180°-∠A=80° ∠DAC=∠A=100°

A B C

D

改编题：

已知，如图所示的等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AD+BC=10，DE ⊥BC 于E ，求DE 的长.

考查目标：本题可通过平移腰AC ，使得AD+BC 的值 在同一直线上，再根据等腰三角形的三线合一来解决， 还有平行四边形的判定方法

解：过点D 做DF ∥AC 交BC 的延长线于点F ∵ AD ∥BC ，

∴四边形ACDF 是平行四边形 （2分）

∴AC=DF ，

BF=BC+CF=AD+BC=10 ∵ AC ⊥BD ， ∴ DF ⊥BD

∴ △BDF 是等腰直角三角形 （3分） ∵ DE ⊥BC

∴DE=BE=EF=5 （2分）

新题的特点：等腰梯形与平行四边形的知识相结合,比原题增加了难度。 四、九年级上册（人教版），P102第五题

原题：如图,PA 、PB 是圆O 的切线,A 、B 为切点,AC 是圆O 的直径,∠BAC=25°,求∠P 的度数

考查目标：切线性质的运用，圆心角性质定理

A

B

C

D

E

F