机械振动基础

J d2 s m 2 2 ks mg R dt
系统自由振动微分方程
2 J d s 对坐标 s 的运动微分方程： m ks mg 2 2 R dt 令系统平衡时弹簧的伸长量为 0 ，则 mg k 0 。
以平衡位置为参考点， 物体下降 x 时弹簧的 伸长量为：s 0 x 代入上述方程中，得
振动成型机、给料机等。
13
1.2 振动系统 1.2 振动系统
振动系统: 可以产生机械振动的力学系统。
任何具有弹性和惯性的力学系统均可以产生机械振动。
振动系统的三要素: 激励、系统和响应
激励 输入
系统
响应 输出
1.2 振动系统 1.3 振动系统的三类问题 1．响应分析
已知：外界激励和系统参数，
始的位移）的激励而产生的振动。
系统的无阻尼自由振动是对实际问题的理论抽
象，是一种理想条件，实际的系统都有阻尼。 如果现实世界没有阻止运动能力的话，整个世 界将处于无休止的振动中。
20
§2 单自由度系统的无阻尼自由振动 2.1 振动模型
x
m
m
O
k
F m
m
k
l0 δst
O
x
m
m
m
m
x
m
FN
x
mg
x
激励（输入）
√
振动系统
？ √
响应（输出）
16
1.2 振动系统
3．环境预测
已知: 系统参数和系统响应，
确定: 系统的激励.
激励（输入）
?
振动系统
√
响应（输出）
√
17
1.3 振动模型 1.3 振动模型与分类
振动的物理模型： 自由度 :确定系统在振动 （1）单自由度系统； 过程中任何瞬时的几何位 （2）多自由度系统； 置所需的独立坐标的数目.
单自由度有阻尼 自由振动的微分方程
33
§3 单自由度系统的有阻尼自由振动
振动微分方程的解
2 x 2nx n x0
微分方程的解设为：x e st ，
k
O
c m m
系统的特征方程为：
s 2ns 0
2 2 n
x x
该特征方程的两个根为：
2 s1 n n2 n
k c , 2n m m
2 2 s1 n n2 n , s2 n n2 n
临界阻尼系数 cc

使特征方程有两个相等负实根的阻尼系数值， 称为临界阻尼系数（critical damping coefficient）记为 cc ，
k
l0 δst
O
2 x n x0
单自由度无阻尼 自由振动的微分方程 位移可以表示为时间的简 谐函数（正弦或余弦）
x x
m m
m
m
方程的解：
x t C1 cos nt C2 sin nt
或 x t Asin nt
简谐振动
23
C1 , C2 , A, 为积分常数，由运动初始条件确定。 其中，
求：系统的响应。 位移、速度、加速度等 激励（输入）
√
振动系统
√
响应（输出）
?
15
1.2 振动系统 2．系统设计和系统辨识
系统尚不存在，需要设 计合理的系统参数，使 系统在已知激励下达到 给定的响应水平. 系统已经存在，需要根 据测量获得的激励和响 应识别系统参数，以便 更好地研究系统的特性.
已知: 系统的激励和响应; 求: 系统参数。
10
1.1 机械振动概述
振动 ？

机械振动？
振动的严格定义：围绕某一固定位置来回往复运
动，并随时间变化的运动。

机械振动：力学量随时间的变化来回往复地运动。
11
振动的灾害
运载工具的振动； 噪声； 机械设备以及结构的破坏； 地震； 降低机器及仪表的精度。
12
振动的利用
琴弦振动； 振动沉桩、振动拔桩 以及振动捣固等; 振动压路机;
粘性阻尼： F cv c , （粘性）阻尼系数。
Fig.4 单自由度系统 有阻尼自由振动模型
32
§3 单自由度系统的有阻尼自由振动
3.2 振动微分方程
以静平衡位置为坐标原点， x 轴向下为正，有 F1 mx mg F1 F2 （*） 其中，F1 k st x ,
k F2 m mg
m
c m m
O
x x
mg k st , F2 cx. （*）式简化为：mx kx cx c k 整理上式： x x x 0 m m k c 2 令：n , 2n m m
x, x
Fig.4 单自由度系统 有阻尼自由振动模型
2 x0 则： x 2nx n
2
n
f 1 / T : 频率，单位为赫兹（Hz）。 单位时间内振动的次数。
－ 圆频率 n 2 f ：表示 2 秒内振动的次数。
n
k , m
n，系统的固有圆频率。
25
§2 单自由度系统的无阻尼自由振动 §2 单自由度系统的无阻尼自由振动
2.1 振动微分方程： x t A sin n t
（*）式简化为： mx
kx
Fig.1 单自由度系统 无阻尼自由振动模型
k 即： x x 0 m
2 x 则： nx 0
k 令： m
2 n
n，固有圆频率
22
单自由度无阻尼 自由振动的微分方程
§2 单自由度系统的无阻尼自由振动
2.1 振动微分方程
k m
2 n
—— 固有圆频率
2 s2 n n2 n 特征方程可以有三种情况：（1）两个不等的负实根； （2）两个相等的负实根； （3）一对共轭复根。
Fig.4 单自由度系统 有阻尼自由振动模型
故微分方程的通解为： x C1e s1t பைடு நூலகம்C2e s2t
34
§3 单自由度系统的有阻尼自由振动
2 特征方程的两个根为： n
2 C12 C2 sin( n t )
令： C12 C22 A,
x A sin(nt )
24
§2 单自由度系统的无阻尼自由振动 §2 单自由度系统的无阻尼自由振动
2.1 振动微分方程： x t A sin n t
2.2 振动的特点 周期函数： x t x t T , T T : 周期，单位为秒（s ）。
不可避免的存在各种阻尼，振动系统的机械能 不断转化为其他形式的能，造成振幅衰减，以 致最后振动完全停止。
29
机械振动基础
第三节
单自由度系统的有阻尼自由振动
30
§3 单自由度系统的有阻尼自由振动
3.1 单自由度系统有阻尼的自由振动模型
阻 尼
k
m
k
O
c m
k
l0
δst
O
x
x
x x
m m
m
m
c
m
Fig.4 单自由度系统有阻尼自由振动模型
7
机械振动基础
主要内容
1、机械振动概述；
2、单自由度系统的无阻尼自由振动； 3、单自由度系统的有阻尼自由振动。
8
机械振动基础
第一节
机械振动概述
9
1.1 机械振动概述 1.1 机械振动概述
振动是是自然界中常见的现象！
• 心脏的搏动、耳膜和声带的振动等 • 汽车、火车、飞机及机械设备的振动 • 家用电器、钟表的振动 • 地震以及声、电、磁、光的波动等 • 股市的升跌和振荡等
不计轴承摩擦。 试建立: 系统的运动微分方程。
2
§12-4 功率、功率方程、机械效率 解：设弹簧由自然位置(原长)伸长任一长度 s。
滑轮 ， 物块 s ， 则有： s R
1 2 1 T mv J 2 2 2 其中， v ds dt d 1 ds dt R dt
Fig.1 单自由度系统 无阻尼自由振动模型
31
§3 单自由度系统的有阻尼自由振动
3.1 单自由度系统有阻尼的自由振动模型
1. 阻尼 ：振动过程中的阻力。
－介质间摩擦力引起的介质阻尼； －材料变形产生的材料内阻尼； －接触面摩擦产生的摩擦阻尼； －电磁作用产生的电磁阻尼。
O
k
c
x x
m m
我们将要讨论的阻尼类型：
J m 2 R
2 d s 2 ks mg dt


s
（2）相对于系统平衡 状态伸长x，系统的运 动微分方程为：
F
v
l0
x
s
mg
0 x
0
平衡位置
J m 2 R
2 d x 2 kx 0 dt
√
6
小阻尼振动曲线 5 4 3 2 1
振幅
0 -1 -2 -3 -4 -5 0 5 10 时间 15 20
m
mg
F
Fig.1 单自由度系统无阻尼自由振动模型
21
§2 单自由度系统的无阻尼自由振动 2.2 振动微分方程
以静平衡位置为坐标原点， 由牛顿第二定律，有
F m mg
m
k
l0 δst
O
mx mg F
其中，F k st x ,
（*）
x x
m m
m
m
x
mg k st .
1 0.5
v t x t An cos nt
x
2
a a
4
v v
6 8 10 12 14
t
27
-0.5 -1
Fig. 2
§2 单自由度系统的无阻尼自由振动
练习1
图示的弹簧质量系统，已 知：弹簧的刚度系数为k，质 量块的质量为m，将质量块缓 慢向下移动a0后，在t=0的时 刻突然放开。 试求质量块的运动规律。
机械振动基础
机械振动基础
主讲：姜 芳
电话：62338144-118
邮箱：jf0620@bjfu.edu.cn
1
§12-4
例12-11
功率· 功率方程· 机械效率
图示机构(13-16.swf)，物块质量为m，用不计
质量的细绳跨过滑轮与弹簧相联。弹簧原长为l0，刚度
系数为k，质量不计。滑轮的半径为R，转动惯量为J。
A
2 n n x0 tan v0
2 x0
26
§2 单自由度系统的无阻尼自由振动 §2 单自由度系统的无阻尼自由振动
2.1 振动微分方程： x t A sin n t
2.2 振动的特点
质点的速度与加速度：
a t v t x t An2 sin nt
三角公式推导

根据三角函数公式
x C1 cos n t C2 sin n t C C (
2 1 2 2
C1
2 C12 C2
cos n t
C2
C2 C12 C22
sin n t )
令：
C1 C C
2 1 2 2
sin ,
C C
2 1
2 2
cos
则： x C12 C22 (sin cos nt cos sin nt )
（3）连续体系统。
振动的分类（按振动产生的原因）：
（1）自由振动： 系统仅受初始激励产生的振动； （2）受迫振动： 系统在持续外激励作用下的振动。
18
机械振动基础
第二节
单自由度系统的无阻尼自由振动
19
§2 单自由度系统的无阻尼自由振动
无阻尼自由振动
自由振动：系统仅受到初始条件（初始力、初
2.2 振动的特点 振幅： A －相对于振动中心O点的最大位移。 相位（相位角）： nt 初相位： 说明：A, 为待定积分常数，由初始条件确定。
2 v0
初始 条件 v0 x t t 0 An cos
x0 x t t 0 A sin
J d2 x m 2 2 R dt mg k 0 kx
v


s
F
x
l0
s
mg
0 x
0
平衡位置
即
J d2 x m 2 2 kx 0 R dt
系统自由振动微分方程
§13-4
功率、功率方程、机械效率
（1）相对于弹簧原长伸长s，系统的运动微分方程为：
1 J ds T m 2 2 R dt


s
F
v v
l0
s
2
mg
P 重力
ds mg , dt
P 弹性力
ds -ks dt
§12-4 功率、功率方程、机械效率
代入功率方程，


s
即
dT P 重力 P 弹性力 dt
v v
F
l0
J ds d 2 s m 2 2 s d t R d t ds ds mg mg ks dt dt 整理，得 相对于坐标 s 的运动微分方程为：
k
O
m m
a0
m
x
Fig. 3
28
§2 单自由度系统的无阻尼自由振动
无阻尼自由振动: 惯性体由于任何外力原因离
开平衡位置之后，只受到和位移成比例的恢复 力作用，惯性体将在平衡位置附近按照其固有 频率进行简谐振动。由于没有能量耗散，系统 的机械能保持守恒。振动无限期的进行下去。
有阻尼自由振动: 对于实际的振动系统，由于