机械振动基础

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J d2 s m 2 2 ks mg R dt
系统自由振动微分方程
2 J d s 对坐标 s 的运动微分方程: m ks mg 2 2 R dt 令系统平衡时弹簧的伸长量为 0 ,则 mg k 0 。
以平衡位置为参考点, 物体下降 x 时弹簧的 伸长量为:s 0 x 代入上述方程中,得
振动成型机、给料机等。
13
1.2 振动系统 1.2 振动系统
振动系统: 可以产生机械振动的力学系统。
任何具有弹性和惯性的力学系统均可以产生机械振动。
振动系统的三要素: 激励、系统和响应
激励 输入
系统
响应 输出
1.2 振动系统 1.3 振动系统的三类问题 1.响应分析
已知:外界激励和系统参数,
始的位移)的激励而产生的振动。
系统的无阻尼自由振动是对实际问题的理论抽
象,是一种理想条件,实际的系统都有阻尼。 如果现实世界没有阻止运动能力的话,整个世 界将处于无休止的振动中。
20
§2 单自由度系统的无阻尼自由振动 2.1 振动模型
x
m
m
O
k
F m
m
k
l0 δst
O
x
m
m
m
m
x
m
FN
x
mg
x
激励(输入)

振动系统
? √
响应(输出)
16
1.2 振动系统
3.环境预测
已知: 系统参数和系统响应,
确定: 系统的激励.
激励(输入)
?
振动系统

响应(输出)

17
1.3 振动模型 1.3 振动模型与分类
振动的物理模型: 自由度 :确定系统在振动 (1)单自由度系统; 过程中任何瞬时的几何位 (2)多自由度系统; 置所需的独立坐标的数目.
单自由度有阻尼 自由振动的微分方程
33
§3 单自由度系统的有阻尼自由振动
振动微分方程的解
2 x 2nx n x0
微分方程的解设为:x e st ,
k
O
c m m
系统的特征方程为:
s 2ns 0
2 2 n
x x
该特征方程的两个根为:
2 s1 n n2 n
k c , 2n m m
2 2 s1 n n2 n , s2 n n2 n
临界阻尼系数 cc

使特征方程有两个相等负实根的阻尼系数值, 称为临界阻尼系数(critical damping coefficient)记为 cc ,
k
l0 δst
O
2 x n x0
单自由度无阻尼 自由振动的微分方程 位移可以表示为时间的简 谐函数(正弦或余弦)
x x
m m
m
m
方程的解:
x t C1 cos nt C2 sin nt
或 x t Asin nt
简谐振动
23
C1 , C2 , A, 为积分常数,由运动初始条件确定。 其中,
求:系统的响应。 位移、速度、加速度等 激励(输入)

振动系统

响应(输出)
?
15
1.2 振动系统 2.系统设计和系统辨识
系统尚不存在,需要设 计合理的系统参数,使 系统在已知激励下达到 给定的响应水平. 系统已经存在,需要根 据测量获得的激励和响 应识别系统参数,以便 更好地研究系统的特性.
已知: 系统的激励和响应; 求: 系统参数。
10
1.1 机械振动概述
振动 ?

机械振动?
振动的严格定义:围绕某一固定位置来回往复运
动,并随时间变化的运动。

机械振动:力学量随时间的变化来回往复地运动。
11
振动的灾害
运载工具的振动; 噪声; 机械设备以及结构的破坏; 地震; 降低机器及仪表的精度。
12
振动的利用
琴弦振动; 振动沉桩、振动拔桩 以及振动捣固等; 振动压路机;
粘性阻尼: F cv c , (粘性)阻尼系数。
Fig.4 单自由度系统 有阻尼自由振动模型
32
§3 单自由度系统的有阻尼自由振动
3.2 振动微分方程
以静平衡位置为坐标原点, x 轴向下为正,有 F1 mx mg F1 F2 (*) 其中,F1 k st x ,
k F2 m mg
m
c m m
O
x x
mg k st , F2 cx. (*)式简化为:mx kx cx c k 整理上式: x x x 0 m m k c 2 令:n , 2n m m
x, x
Fig.4 单自由度系统 有阻尼自由振动模型
2 x0 则: x 2nx n
2
n
f 1 / T : 频率,单位为赫兹(Hz)。 单位时间内振动的次数。
- 圆频率 n 2 f :表示 2 秒内振动的次数。
n
k , m
n,系统的固有圆频率。
25
§2 单自由度系统的无阻尼自由振动 §2 单自由度系统的无阻尼自由振动
2.1 振动微分方程: x t A sin n t
(*)式简化为: mx
kx
Fig.1 单自由度系统 无阻尼自由振动模型
k 即: x x 0 m
2 x 则: nx 0
k 令: m
2 n
n,固有圆频率
22
单自由度无阻尼 自由振动的微分方程
§2 单自由度系统的无阻尼自由振动
2.1 振动微分方程
k m
2 n
—— 固有圆频率
2 s2 n n2 n 特征方程可以有三种情况:(1)两个不等的负实根; (2)两个相等的负实根; (3)一对共轭复根。
Fig.4 单自由度系统 有阻尼自由振动模型
故微分方程的通解为: x C1e s1t பைடு நூலகம்C2e s2t
34
§3 单自由度系统的有阻尼自由振动
2 特征方程的两个根为: n
2 C12 C2 sin( n t )
令: C12 C22 A,
x A sin(nt )
24
§2 单自由度系统的无阻尼自由振动 §2 单自由度系统的无阻尼自由振动
2.1 振动微分方程: x t A sin n t
2.2 振动的特点 周期函数: x t x t T , T T : 周期,单位为秒(s )。
不可避免的存在各种阻尼,振动系统的机械能 不断转化为其他形式的能,造成振幅衰减,以 致最后振动完全停止。
29
机械振动基础
第三节
单自由度系统的有阻尼自由振动
30
§3 单自由度系统的有阻尼自由振动
3.1 单自由度系统有阻尼的自由振动模型
阻 尼
k
m
k
O
c m
k
l0
δst
O
x
x
x x
m m
m
m
c
m
Fig.4 单自由度系统有阻尼自由振动模型
7
机械振动基础
主要内容
1、机械振动概述;
2、单自由度系统的无阻尼自由振动; 3、单自由度系统的有阻尼自由振动。
8
机械振动基础
第一节
机械振动概述
9
1.1 机械振动概述 1.1 机械振动概述
振动是是自然界中常见的现象!
• 心脏的搏动、耳膜和声带的振动等 • 汽车、火车、飞机及机械设备的振动 • 家用电器、钟表的振动 • 地震以及声、电、磁、光的波动等 • 股市的升跌和振荡等
不计轴承摩擦。 试建立: 系统的运动微分方程。
2
§12-4 功率、功率方程、机械效率 解:设弹簧由自然位置(原长)伸长任一长度 s。
滑轮 , 物块 s , 则有: s R
1 2 1 T mv J 2 2 2 其中, v ds dt d 1 ds dt R dt
Fig.1 单自由度系统 无阻尼自由振动模型
31
§3 单自由度系统的有阻尼自由振动
3.1 单自由度系统有阻尼的自由振动模型
1. 阻尼 :振动过程中的阻力。
-介质间摩擦力引起的介质阻尼; -材料变形产生的材料内阻尼; -接触面摩擦产生的摩擦阻尼; -电磁作用产生的电磁阻尼。
O
k
c
x x
m m
我们将要讨论的阻尼类型:
J m 2 R
2 d s 2 ks mg dt


s
(2)相对于系统平衡 状态伸长x,系统的运 动微分方程为:
F
v
l0
x
s
mg
0 x
0
平衡位置
J m 2 R
2 d x 2 kx 0 dt

6
小阻尼振动曲线 5 4 3 2 1
振幅
0 -1 -2 -3 -4 -5 0 5 10 时间 15 20
m
mg
F
Fig.1 单自由度系统无阻尼自由振动模型
21
§2 单自由度系统的无阻尼自由振动 2.2 振动微分方程
以静平衡位置为坐标原点, 由牛顿第二定律,有
F m mg
m
k
l0 δst
O
mx mg F
其中,F k st x ,
(*)
x x
m m
m
m
x
mg k st .
1 0.5
v t x t An cos nt
x
2
a a
4
v v
6 8 10 12 14
t
27
-0.5 -1
Fig. 2
§2 单自由度系统的无阻尼自由振动
练习1
图示的弹簧质量系统,已 知:弹簧的刚度系数为k,质 量块的质量为m,将质量块缓 慢向下移动a0后,在t=0的时 刻突然放开。 试求质量块的运动规律。
机械振动基础
机械振动基础
主讲:姜 芳
电话:62338144-118
邮箱:jf0620@bjfu.edu.cn
1
§12-4
例12-11
功率· 功率方程· 机械效率
图示机构(13-16.swf),物块质量为m,用不计
质量的细绳跨过滑轮与弹簧相联。弹簧原长为l0,刚度
系数为k,质量不计。滑轮的半径为R,转动惯量为J。
A
2 n n x0 tan v0
2 x0
26
§2 单自由度系统的无阻尼自由振动 §2 单自由度系统的无阻尼自由振动
2.1 振动微分方程: x t A sin n t
2.2 振动的特点
质点的速度与加速度:
a t v t x t An2 sin nt
三角公式推导

根据三角函数公式
x C1 cos n t C2 sin n t C C (
2 1 2 2
C1
2 C12 C2
cos n t
C2
C2 C12 C22
sin n t )
令:
C1 C C
2 1 2 2
sin ,
C C
2 1
2 2
cos
则: x C12 C22 (sin cos nt cos sin nt )
(3)连续体系统。
振动的分类(按振动产生的原因):
(1)自由振动: 系统仅受初始激励产生的振动; (2)受迫振动: 系统在持续外激励作用下的振动。
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机械振动基础
第二节
单自由度系统的无阻尼自由振动
19
§2 单自由度系统的无阻尼自由振动
无阻尼自由振动
自由振动:系统仅受到初始条件(初始力、初
2.2 振动的特点 振幅: A -相对于振动中心O点的最大位移。 相位(相位角): nt 初相位: 说明:A, 为待定积分常数,由初始条件确定。
2 v0
初始 条件 v0 x t t 0 An cos
x0 x t t 0 A sin
J d2 x m 2 2 R dt mg k 0 kx
v


s
F
x
l0
s
mg
0 x
0
平衡位置

J d2 x m 2 2 kx 0 R dt
系统自由振动微分方程
§13-4
功率、功率方程、机械效率
(1)相对于弹簧原长伸长s,系统的运动微分方程为:
1 J ds T m 2 2 R dt


s
F
v v
l0
s
2
mg
P 重力
ds mg , dt
P 弹性力
ds -ks dt
§12-4 功率、功率方程、机械效率
代入功率方程,


s

dT P 重力 P 弹性力 dt
v v
F
l0
J ds d 2 s m 2 2 s d t R d t ds ds mg mg ks dt dt 整理,得 相对于坐标 s 的运动微分方程为:
k
O
m m
a0
m
x
Fig. 3
28
§2 单自由度系统的无阻尼自由振动
无阻尼自由振动: 惯性体由于任何外力原因离
开平衡位置之后,只受到和位移成比例的恢复 力作用,惯性体将在平衡位置附近按照其固有 频率进行简谐振动。由于没有能量耗散,系统 的机械能保持守恒。振动无限期的进行下去。
有阻尼自由振动: 对于实际的振动系统,由于
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