统计学习题答案 第3章 概率与概率分布

第3章 概率与概率分布——练习题(全免)
1 .某技术小组有12人，他们的性别和职称如下，现要产生一名幸运者。

试求这位幸运者分别是以下几种可能的概率：（1）女性；（2）工程师；（3）女工程师，（4）女性或工程师。

并说明几个计算结果之间有何关系？
解:设A ＝女性，B ＝工程师，AB ＝女工程师，A+B ＝女性或工程师
（1）P(A)＝4/12＝1/3
（2）P(B)＝4/12＝1/3
（3）P(AB)＝2/12＝1/6
（4）P(A+B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝1/3＋1/3－1/6＝1/2
2. 某种零件加工必须依次经过三道工序，从已往大量的生产记录得知，第一、二、三道工序的次品率分别为0.2，0.1，0.1，并且每道工序是否产生次品与其它工序无关。

试求这种零件的次品率。

解:求这种零件的次品率，等于计算“任取一个零件为次品”（记为A ）的概率()P A 。

考虑逆事件A =“任取一个零件为正品”，表示通过三道工序都合格。

据题意，有：
()(10.2)(10.1)(10.1)0.648P A =---=
于是 ()1()10.6480.352P A P A =-=-=
3. 已知参加某项考试的全部人员合格的占80％，在合格人员中成绩优秀只占15％。

试求任一参考人员成绩优秀的概率。

解:设A 表示“合格”，B 表示“优秀”。

由于B ＝AB ，于是
)|()()(A B P A P B P ＝＝0.8×0.15＝0.12
4. 某项飞碟射击比赛规定一个碟靶有两次命中机会（即允许在第一次脱靶后进行第二次射击）。

某射击选手第一发命中的可能性是80％，第二发命中的可能性为50％。

求该选手两发都脱靶的概率。

解:设A ＝第1发命中。

B ＝命中碟靶。

求命中概率是一个全概率的计算问题。

再利用对立事件的概率即可求得脱靶的概率。

)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +＝
＝0.8×1＋0.2×0.5＝0.9
脱靶的概率＝1－0.9＝0.1
或（解法二）：P (脱靶)＝P (第1次脱靶)×P(第2次脱靶)＝0.2×0.5＝0.1
5.已知某地区男子寿命超过55岁的概率为84％，超过70岁以上的概率为63%。

试求任一刚过55岁生日的男子将会活到70岁以上的概率为多少？
解: 设A ＝活到55岁，B ＝活到70岁。

所求概率为：
()()0.63(|)0.75()()0.84
P AB P B P B A P A P A ＝
＝＝＝ 6.某企业决策人考虑是否采用一种新的生产管理流程。

据对同行的调查得知，采用新生产管理流程后产品优质率达95％的占四成，优质率维持在原来水平（即80%）的占六成。

该企业利用新的生产管理流程进行一次试验，所生产5件产品全部达到优质。

问该企业决策者会倾向于如何决策？
解:这是一个计算后验概率的问题。

设A ＝优质率达95％，A ＝优质率为80％，B ＝试验所生产的5件全部优质。

P(A)＝0.4，P (A )＝0.6，P (B|A )=0.955， P(B |A )=0.85，所求概率为：
6115.050612
.030951.0)|()()|()()|()()|(＝＝＝A B P A P A B P A P A B P A P B A P + 决策者会倾向于采用新的生产管理流程。

7. 某公司从甲、乙、丙三个企业采购了同一种产品，采购数量分别占总采购量的25％、30％和45％。

这三个企业产品的次品率分别为4％、5％、3％。

如果从这些产品中随机抽出一件，试问：（1）抽出次品的概率是多少？（2）若发现抽出的产品是次品，问该产品来自丙厂的概率是多少？
解:令A 1、A 2、A 3分别代表从甲、乙、丙企业采购产品，B 表示次品。

由题意得：P (A 1)＝0.25，P (A 2)＝0.30， P (A 3)＝0.45；P (B |A 1)＝0.04，P (B |A 2)＝0.05，P (B |A 3)＝0.03；因此，所求概率分别为：
（1）)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++＝
＝0.25×0.04＋0.30×0.05＋0.45×0.03＝0.0385
（2）3506.00385
.00135.00.030.450.050.300.040.2503.045.0)|(3＝＝＋＋＝⨯⨯⨯⨯B A P
8.某人在每天上班途中要经过3个设有红绿灯的十字路口。

设每个路口遇到红灯的事件是相互独立的，且红灯持续24秒而绿灯持续36秒。

试求他途中遇到红灯的次数的概率分布及其期望值和方差、标准差。

解:据题意，在每个路口遇到红灯的概率是p ＝24/(24+36)＝0.4。

设途中遇到红灯的次数＝X ，因此，X ～B(3，0.4)。

其概率分布如下表：
9. 一家人寿保险公司某险种的投保人数有20000人，据测算被保险人一年中的死亡率为万分之5。

保险费每人50元。

若一年中死亡，则保险公司赔付保险金额50000元。

试求未来一年该保险公司将在该项保险中（这里不考虑保险公司的其它费用）：
（1）至少获利50万元的概率；
（2）亏本的概率；
（3）支付保险金额的均值和标准差。

解:设被保险人死亡数＝X ，X ～B (20000，0.0005)。

（1）收入＝20000×50（元）＝100万元。

要获利至少50万元，则赔付保险金额应该不超过50万元，等价于被保险人死亡数不超过10人。

所求概率为：P(X ≤10)＝0.58304。

（2）当被保险人死亡数超过20人时，保险公司就要亏本。

所求概率为：
P(X >20)＝1－P(X ≤20)＝1－0.99842＝0.00158
（3）支付保险金额的均值＝50000×E (X )
＝50000×20000×0.0005（元）＝50（万元）
支付保险金额的标准差＝50000×σ(X )
＝50000×(20000×0.0005×0.9995)1/2＝158074（元）
10.对上述练习题3.09的资料，试问：
（1）可否利用泊松分布来近似计算？
（2）可否利用正态分布来近似计算？
（3）假如投保人只有5000人，可利用哪种分布来近似计算？
解: （1）可以。

当n 很大而p 很小时，二项分布可以利用泊松分布来近似计算。

本例中，λ= np =20000×0.0005=10，即有X ～P (10)。

计算结果与二项分布所得结果几乎完全一致。

（2）也可以。

尽管p 很小，但由于n 非常大，np 和np(1-p)都大于5，二项分布也可以利用正态分布来近似计算。

本例中，np=20000×0.0005=10，np(1-p)=20000×0.0005×(1-0.0005)=9.995，
即有X ～N (10,9.995)。

相应的概率为：
P (X ≤10.5)＝0.51995，P(X ≤20.5)＝0.853262。

可见误差比较大（这是由于P 太小，二项分布偏斜太严重）。

【注】由于二项分布是离散型分布，而正态分布是连续性分布，所以，用正态分布来近似计算二项分布的概率时，通常在二项分布的变量值基础上加减0.5作为正态分布对应的区间点，这就是所谓的“连续性校正”。

（3）由于p ＝0.0005，假如n =5000，则np ＝2.5<5，二项分布呈明显的偏态，用正态分布来计算就会出现非常大的误差。

此时宜用泊松分布去近似。

11.某企业生产的某种电池寿命近似服从正态分布，且均值为200小时，标准差为30小时。

若规定寿命低于150小时为不合格品。

试求该企业生产的电池的：（1）合格率是多少？（2）电池寿命在200左右多大的范围内的概率不小于0.9。

解:（1）)6667.1()30
200150()150(-<-<=<Z P Z P X P ＝＝0.04779 合格率为1-0.04779＝0.95221或95.221％。

(2) 设所求值为K ，满足电池寿命在200±K 小时范围内的概率不小于0.9，即有：
|200|(|200|){||}0.93030X K P X K P Z --<=<≥＝
即：{}0.9530
K P Z <≥，K /30≥1.64485,故K ≥49.3456。

12.某商场某销售区域有6种商品。

假如每1小时内每种商品需要12分钟时间的咨询服务，而且每种商品是否需要咨询服务是相互独立的。

求：（1）在同一时刻需用咨询的商品种数的最可能值是多少？（2）若该销售区域仅配有2名服务员，则因服务员不足而不能提供咨询服务的概率是多少？
解:设X ＝同一时刻需用咨询服务的商品种数，由题意有X～B(6,0.2)
（1）X的最可能值为：X0＝[(n+1)p]＝[7×0.2]＝1 （取整数）
（2）∑
=-
-
=
≤
-
=
>
2
6 6
8.0
2.0
1
)2
(
1
)2
(
k
k
k
k
C
X
P
X
P
＝1-0.9011＝0.0989。