第三章-二维随机变量及其概率分布
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为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.
y
y
x, y
Y X ,Y
O Xx
x
X xO
x
概率论
分布函数 F x, y 的性质 :
1 . F x, y 是关于变量 x 和 y 的不减函数 ;
y
对任意固定的 y R
及 x1 , x2 R , 当 x1 x2
时 F x1, y F x2, y ;
对任意固定的 x R 及 y1 , y2 R , 当 y1 y2
时 F x, y1 F x, y2 ;
x1, y
x1 O
X ,Y
y
x2, y
x2 x
X ,Y
概率论
2 . 0 Fx, y 1 , 且 对任意固定的 y R , F , y 0 ,
解 ( X, Y ) 可取值 (0,0) , (0,1) , (1,0) , (1,1)
P(AB)=P(A)P(B|A)=1/8
P(B) P( AB) 1 8 1 P(A| B) 1 2 4
P{X=0, Y=0} P( AB) 1 P( A B)
1
P( A)
P(B)
概率论
第三章 二维随机变量及其概率 分布
二维随机变量及其分布函数 二维离散型随机变量及其分布律 二维连续型随机变量 二维随机变量的边缘分布与条件分布
概率论
3.1 二维随机变量及其分布函数
从本讲起，我们开始第三章的学习. 它是第二章内容的推广.
一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
对任意固定的 x R , F x, 0 , F , 0 , F , 1 .
y
y
x, y
Y X ,Y
O Xx
x
概率论
3 . F x, y F x 0, y , F x, y F x, y 0 .
4. 随机点 X ,Y 落在矩形域 [ x1 x x2, y1 y y2]
pk1
i, j 1,2,
k
称之为二维离散型随机变量 X ,Y 的联合分布律。
概率论
也可用表格来表示随机变量X和Y 的联合分布律.
XY
y1
y2
yj
x1
p11
p12
p1 j
x2
p21
p22
p2 j
xi
pi1
pi 2
pij
概率论
二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 的联合分布律具有性质
P(
AB)
则称 X ,Y 是离散型随机变量.
设二维离散型随机变量
X ,Y 可能取的值是 xi , y j ,
i, j 1,2, ,记
P(X xi ,Y yj) pij,
一维随机变量X 离散型
X 的分布律
P(Xxk) pk,
k=1,2, …
pk 0, k=1,2, …
概率论
3.1.1 多维随机变量
到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而 需要用几个随机变量来描述.
在打靶时,命中点的位置是 由一对r .v (两个坐标)来确定的.
飞机的重心在空中的位置是 由三个r .v (三个坐标)来确定的等 等.
概率论
一般地, 如果向量 X1, X2, , Xn 的值由随机试 验结果而定，则称 X1, X2, , Xn 叫做 n 维随机向量
XY 0
1
2
3
4
0
0
0
10
20
5
210
210 210
1
0
15
60
30
0
210 210
210
2
3
30
30
0
0
210
210 210
3
2
5
0
0
0
210
210
概率论
例3 设事件来自百度文库，B满足P(A)=1/4,P(A|B)=1/2， P(B|A)=1/2.记X，Y分别为一次试验中A，B发生的次数， 求 (X ,Y) 的分布律 .
0 pij 1, i, j 1,2,
pij 1
ij
概率论
例1：一口袋中有三个球，它们依次标有数字1、2、2，无放
回取球两次，以X、Y 分别记第一次、第二次取得的球上
标有的数字，写出(X,Y)的联合概率分布。
解 P( X 1,Y 1) 1 0 0, 3
中任取4件，求其中一等品、二等品件数的二维概率分布。
解: 设 X 及Y 分别是取出的4件产品中一等品及二等品的件数，
i j 4i j
C C C 则有联合概率函数：PX i,Y j
3
52 4
C 其中i= 0、1、2、3； j= 0、1、2、3、4；
10
2 i+j 4.
由此得(X,Y)的二维联合概率分布如下：
所以(X,Y)的联合概率分 布律为：
P( X 1,Y 2) 1 1 1 , 33
Y X
1
2
P( X 2,Y 1) 2 1 1 , 32 3
10
1 3
P( X 2,Y 2) 2 1 1 , 32 3
21
3
1 3
概率论
例2： 10件产品中有3件一等品， 5件二等品，2件三等品。从
P X x ,Y y
称为二维随机变量 X ,Y 的联合分布函数。
分布函数的函数值的几何解释
概率论
将二维随机变量 X ,Y 看成是平面上随机点的 坐标, 那么,分布函数 F x, y在点 x, y 处的函数值 就是随机点 X ,Y 落在下面左图所示的,以点 x, y
或 n维随机变量.
以下重点讨论二维随机变量. 请注意与一维情形的对照 .
概率论
3.1.2 二维随机变量的联合分布函数
定义1 设 X ,Y 是二维
随机变量, 如果对于任意实数
x, y, 二元 函数
一维随机变量 X的分布函数
F x, y
P X x Y y
F(x) P(X x) x
内的概率为
Px1 X x2, y1 Y y2 F x2, y2 F x2, y1 F x1, y2 F x1, y1
概率论
3.2 二维离散型随机变量
定义2 如果二维随机变量
X ,Y 全部可能取到的不相同
的值是有限对或可列无限多对,
y
y
x, y
Y X ,Y
O Xx
x
X xO
x
概率论
分布函数 F x, y 的性质 :
1 . F x, y 是关于变量 x 和 y 的不减函数 ;
y
对任意固定的 y R
及 x1 , x2 R , 当 x1 x2
时 F x1, y F x2, y ;
对任意固定的 x R 及 y1 , y2 R , 当 y1 y2
时 F x, y1 F x, y2 ;
x1, y
x1 O
X ,Y
y
x2, y
x2 x
X ,Y
概率论
2 . 0 Fx, y 1 , 且 对任意固定的 y R , F , y 0 ,
解 ( X, Y ) 可取值 (0,0) , (0,1) , (1,0) , (1,1)
P(AB)=P(A)P(B|A)=1/8
P(B) P( AB) 1 8 1 P(A| B) 1 2 4
P{X=0, Y=0} P( AB) 1 P( A B)
1
P( A)
P(B)
概率论
第三章 二维随机变量及其概率 分布
二维随机变量及其分布函数 二维离散型随机变量及其分布律 二维连续型随机变量 二维随机变量的边缘分布与条件分布
概率论
3.1 二维随机变量及其分布函数
从本讲起，我们开始第三章的学习. 它是第二章内容的推广.
一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
对任意固定的 x R , F x, 0 , F , 0 , F , 1 .
y
y
x, y
Y X ,Y
O Xx
x
概率论
3 . F x, y F x 0, y , F x, y F x, y 0 .
4. 随机点 X ,Y 落在矩形域 [ x1 x x2, y1 y y2]
pk1
i, j 1,2,
k
称之为二维离散型随机变量 X ,Y 的联合分布律。
概率论
也可用表格来表示随机变量X和Y 的联合分布律.
XY
y1
y2
yj
x1
p11
p12
p1 j
x2
p21
p22
p2 j
xi
pi1
pi 2
pij
概率论
二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 的联合分布律具有性质
P(
AB)
则称 X ,Y 是离散型随机变量.
设二维离散型随机变量
X ,Y 可能取的值是 xi , y j ,
i, j 1,2, ,记
P(X xi ,Y yj) pij,
一维随机变量X 离散型
X 的分布律
P(Xxk) pk,
k=1,2, …
pk 0, k=1,2, …
概率论
3.1.1 多维随机变量
到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而 需要用几个随机变量来描述.
在打靶时,命中点的位置是 由一对r .v (两个坐标)来确定的.
飞机的重心在空中的位置是 由三个r .v (三个坐标)来确定的等 等.
概率论
一般地, 如果向量 X1, X2, , Xn 的值由随机试 验结果而定，则称 X1, X2, , Xn 叫做 n 维随机向量
XY 0
1
2
3
4
0
0
0
10
20
5
210
210 210
1
0
15
60
30
0
210 210
210
2
3
30
30
0
0
210
210 210
3
2
5
0
0
0
210
210
概率论
例3 设事件来自百度文库，B满足P(A)=1/4,P(A|B)=1/2， P(B|A)=1/2.记X，Y分别为一次试验中A，B发生的次数， 求 (X ,Y) 的分布律 .
0 pij 1, i, j 1,2,
pij 1
ij
概率论
例1：一口袋中有三个球，它们依次标有数字1、2、2，无放
回取球两次，以X、Y 分别记第一次、第二次取得的球上
标有的数字，写出(X,Y)的联合概率分布。
解 P( X 1,Y 1) 1 0 0, 3
中任取4件，求其中一等品、二等品件数的二维概率分布。
解: 设 X 及Y 分别是取出的4件产品中一等品及二等品的件数，
i j 4i j
C C C 则有联合概率函数：PX i,Y j
3
52 4
C 其中i= 0、1、2、3； j= 0、1、2、3、4；
10
2 i+j 4.
由此得(X,Y)的二维联合概率分布如下：
所以(X,Y)的联合概率分 布律为：
P( X 1,Y 2) 1 1 1 , 33
Y X
1
2
P( X 2,Y 1) 2 1 1 , 32 3
10
1 3
P( X 2,Y 2) 2 1 1 , 32 3
21
3
1 3
概率论
例2： 10件产品中有3件一等品， 5件二等品，2件三等品。从
P X x ,Y y
称为二维随机变量 X ,Y 的联合分布函数。
分布函数的函数值的几何解释
概率论
将二维随机变量 X ,Y 看成是平面上随机点的 坐标, 那么,分布函数 F x, y在点 x, y 处的函数值 就是随机点 X ,Y 落在下面左图所示的,以点 x, y
或 n维随机变量.
以下重点讨论二维随机变量. 请注意与一维情形的对照 .
概率论
3.1.2 二维随机变量的联合分布函数
定义1 设 X ,Y 是二维
随机变量, 如果对于任意实数
x, y, 二元 函数
一维随机变量 X的分布函数
F x, y
P X x Y y
F(x) P(X x) x
内的概率为
Px1 X x2, y1 Y y2 F x2, y2 F x2, y1 F x1, y2 F x1, y1
概率论
3.2 二维离散型随机变量
定义2 如果二维随机变量
X ,Y 全部可能取到的不相同
的值是有限对或可列无限多对,