误差原理

§3.实验数据的列表与作图
包括二部分内容： 1 数据列表 2 作图法处理实验数据
3.1 数据列表
要求所有实验数据都要用列表的方法记录
例：
表1：伏安法测电阻实验数据
U /V I /mA 0.74 2.00 1.52 4.01 2.33 6.22 3.08 8.20 3.66 9.75 4.49 12.00 5.24 13.99 5.98 15.92 6.76 18.00 7.50 20.01
20.00 18.00 16.00
14.00
12.00 10.00 8.00 6.00 4.00 2.00
0
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
10.00
U (V)
电阻伏安特性曲线
I (mA)
20.00 18.00 16.00 14.00 12.00
利用所绘直线作有关计算
4.偶然误差
• 在多次重复等精度测量下,误差的大小和方 向不可预知而随机出现. • 特点: (1)每次测量的误差大小和方向不确定 (2)出现正误差和负误差的概率相近 (3)绝对值小的偶然误差出现的概率大
5.直接测量不确定度
• 不确定度u是评估测量结果可靠性的指标 任何一个物理量的测量结果都应表示为 X=最佳估计值±u(p%) 在没有修正值时,最佳估计值=算术平均值 用标准偏差表示的不确定度,称为标准不确 定度
11.4+3.56 =15.0 ；
十分位 十分位
75-10.350 =65
个位 个位
(2). 两数相乘（除），其积（商）的有效位数与两数中有效位数少者相 同。如：
98 × 2003 =2.0×105
二位 二位
； 2.000÷0.991=2.02
三位 三位
注：正确数不适用上述规则. 常数应取足够的有效位数参与运算.
• 答案
• • • • 2.改错 1）P =（3.17 ±0.02）× 10 4 kg 2) d =10.4 ±0.3cm 3) l =18.5 ±0.4cm
例4：已知 D2 3.600 0.004cm D1， 2.880 0.004cm
h 2.575 0.004cm 求 V h( D 2 D 2 ) 并正确表示测量结果。 2 1 4
4.数值的修约规则
“4舍 6入 5凑偶”:
(1) 要舍弃的数字小于5时，舍去； (2) 要舍弃的数字大于5时，进1； (3) 要舍弃的数字刚好是5时，凑偶。 例：保留3位有效位数，则
9.8249=9.82， 9.82671=9.83，
9.8251＝9.83，9.8350=9.84， 9.8250=9.82， 9.82501＝9.83，
B(7.00,18.58)
由图上A、B两点可得被测电阻R为：
10.00 8.00
R
U B U A 7.00 1.00 0.379( k) I B I A 18.58 2.76
m1 ？m2 ？，m3 ？M ？ , ,
t/s 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0 0 0 ？ C,1 ？ C, 2 ？ C
1 L (m1C1 m2C2 m3C3 )(1 ) 2C1 M
作 - t图
§2.有效数字及其运算
5.有效数字位数的决定
*运算过程应多保留1至2位， *最终结果的有效位数由不确定度决定. 要点：
(1). 避免运算过程引入不必要的“舍入误差”
(2). 最终结果按有效位数的规则进行修约. 归根到底，不确定度决定有效位数.
课堂思考题
• • • • • • • 1. 指出下列各数是几位有效数字. 1） 0.0001； 2）0.0100； 3）1.0000；4）980.120 5）1.35； 6）0.0135； 7）0.178； 8）0.00170 2. 改正下列错误. 1）P=31690 ±200kg 2) d=10.430 ±0.3cm 3) l=18.5476 ±0.3123cm
3.有效位数的运算规则
仪器的读数规则
(1) 刻度式仪表，在最小分度值后要估读一位
(2) 数字显示仪表，直接读取仪表的示值。 (3) 游标类量具，读到游标分度值的整数倍。
刻度式仪表
5.737mm
5.500＋0.237
数显仪表及有十进步式标度盘的仪表
游标类量具
49.00＋0.82＝49.82mm
f xi
或 ln f
xi

i 1
n
(
f x i ) 2 求出 y xi
Δy
y


i 1
n
(
Δ ln f Δx i ) 2 求出 y ，再求 y xi y
4. 完整表示出y的结果 y y Δy
数据计算处理
已知d 0.0025 m, 7.9 10 3 k g / m3 , 液 0.878 10 k g / m3
5.98 15.92
6.76 18.00
7.50 20.01
用坐标纸作图. 根据坐标分度值和数据范围，确定坐标纸的大小. 坐标分度值的选取应能基本反映测量值的准确度或精密度. 坐标轴的标注（所代表的物理量的名称、单位、分度值等）. 标出数据点. 连成光滑曲线，标注图题及必要的说明.
● ● ●
I (mA)
0.0081 0.81%
uV V EV 9.436 0.0081 0.08(cm 3 )
注意多算出1位，最后再作修约 (3) V=9.44±0.08 cm3 注意最终结果的正确表达.
简化的运算规则
(1). 两数相加（减），其和（差）的有效位数的最后（即最右）一位与 两数中最后一位位数高者相同。如：
大学物理实验
误差理论
§1.数据处理
1.测量与仪器
• 测量的概念:将待测物体的某物理量与相应的标
准做定量比较
• 测量结果应包括数值、单位和对测量结果
精确程度的评价,可分为直接测量与间接测量. 测量结果=数值+误差+单位+精确程度评价
仪器的准确度等级:以最小分度值表示,电表以 级数表示. 准确度等级的选用:在满足测量要求的前提下, 选用准确低的仪器.
适用条件
(1) 各直接测量量
(2) 各直接测量量
互相独立；
x1 , x2 ,, xm
的已定系统误差已
被消除或修正。 x1 , x2 ,, xm
间接测量的数据处理步骤
1. 求出各直接测量量 xi 的平均值 xi 和(总)不确定度 Δ i x 2. 求y的平均值 y f ( x1 , x2 ...xn ) 3. 据 y f ( x1 , x2 ...xn )求出 3. 用 y 或先用
最右边的“0”是有效位数，不可以省略不写。
2.科学记数法
记 A a 10n , 且1 a 10
例：光速C=30万公里每秒
不正确的写法：C=300000km/s；C=30km/s 正确的写法：C=3.0×105km/s=3.0×108m/s
例： 电子电量 e = 1.602189 ×10-19 C
( 液 ) gd 2 18 L
2

1 d (1 2.4 ) D

2 2 2 u A ( uL ) ( u D ) ( ut ) L D t
0.02 10 3 2 0.110 2 2 uB ( ) ( ) (0.01) 2 3 3
7.间接测量的数据处理
设被测量y可写成m个直接测量量 x1 , x2 ,, xm 的函数
y f ( x1 , x2 ,, xm )
通过直接测量已得 x1 x1 u x1 , x2 x2 u x 2 , ..., xm xm u xm 则
y f ( x1 , x2 , , xm )
1.数值的有效位数及其运算规则
有效数字：
我们把准确数字加上最后一位有实际意义的估计数字总称为有效数字。
有效位数的概念
测量结果用且只用它的有效数字表示，有效数字的个数叫作
有效位数。 不确定度决定有效位数。
具体为：不确定度的有效位数取1位，测量结果的末位与 不确定度末位对齐。
测量结果的有效位数越多，其相对不确定度越小，精确度越高 例：0.0123与1.23与123的有效位数都是3位。0.01230有效位数是4位,
u ( f f f u x1 ) 2 ( ux2 )2 ( u xm ) 2 x1 x 2 x m
或
E
u ln f 2 2 ln f 2 2 ln f 2 2 ( ) u x1 ( ) ux2 ( ) u xm y x1 x 2 x m
i 1
n
i
●
修正已定系统误差 (例如初读数x0），得 用贝塞耳公式求标准偏差
x xa
●
x
x
n 1 ( xi x) 2 n( n 1) i 1
●
根据所用仪器得 由A、 B合成总不确定度u : u ΔA 2 ΔB 2
●
x x u ● 给出直接测量的最后结果： u E 100% x
i 1 6

uD
( Di D ) 2
i 1
6
65

ut
65

L
( 液 ) gd 2t 18 L
2

1 d (1 2.4 ) D

( 液 ) gd t 2.4d 2 D 18 L ( D 2.4d )
2
t
2.测量与误差
• 测量总有误差,误差永远存在 • 误差 其中x--测量值,a--真值 • 误差的来源: (1)理论(2)仪器(3)实验装置(4)实验条件 (5)观测者 误差分为二类: 偶然误差(随机误差)和系统误差
3.系统误差
• 在多次重复等精度测量下,误差不变或误差 的方向不变. • 来源:测量系统本身固有的,与操作者的行 为习惯无关. • 研究系统误差的目的: (1)探索其来源并消除或减小它们 (2)估计残存系统误差的范围
解：
2 (1) V ( D2 D12 ) h (3.6002 2.8802 ) 2.575 9.436cm3 4 4
注意应取 π = 3.1416 参与运算 1 u 0.004 2 2 3.600 0.004 2 2 2.880 0.004 2 2 EV V ( ) ( ) ( ) (2) 2 2 2 2 V 2.575 3.600 2.880 3.600 2.880
2 2 u u A uB
u
单次测量的不确定度
• 单次测量的几种情况：
(1) 仪器精度较低. (2) 对测量的准确程度要求不高. (3) 受测量条件限制.
• 单次测量只能取 = B，但B不能仅考虑仪， 还要根据实际情况把 B 估计得更大一些。
冰的溶解热
已知C1 4.2 10 J / k g0 C , C2 C3 0.88 10 3 J / k g0 C 1 L (m1C1 m2C2 m3C3 )(1 ) 2C1 M

( 液 ) gd 2t 18 L
1
物理 量
d (1 2.4 ) D 2 3 4

1
5
6
平均 值
L/cm
D/mm t/s

( 液 ) gd 2 t 18 L
6

ห้องสมุดไป่ตู้
1 d (1 2.4 ) D

uL
(L L )
i 1 i
2
65
(ti t ) 2
(1)标准不确定度的Ａ类评定
用统计方法评定偶然误差的可靠性．就是Ａ类评定，用 表示
(2)标准不确定度的B类评定
当误差总向一确定方向偏离时，就是B类评定，用 表示，主要是针对系误差。
主要根据说明书，分度值，准确度等级等确定
（3）合成不确定度
直接测量的数据处理步骤
●
求测量数据的平均值
1 x n
x
3.2 作图法处理实验数据
● ●
作图可形象、直观地显示出物理量之间的函数关系 可用来求某些物理参数
作图规则：（以伏安法测电阻实验为例）
表1：伏安法测电阻实验数据
U /V I /mA
● ●
0.74 2.00
1.52 4.01
2.33 6.22
3.08 8.20
3.66 9.75
4.49 12.00
5.24 13.99