2021年高三下学期周考二数学(理)试题 含答案

2021年高三下学期周考二数学（理）试题含答案
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．
1．设集合，集合，则等于( )
A． (1,2) B． (1,2] C．
2．下面是关于复数的四个命题::，，的共轭复数为
，的虚部为，其中真命题为( )
A．B．C．D．
3．下列四个结论：①若，则恒成立；
②命题“若”的逆命题为“若”；
③“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；
④命题“”的否定是“”．
其中正确结论的个数是()
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形
边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是
（）
A．B．C．D．
5．执行如图所示的程序框图，则输出的λ是()．
A．－4 B．－2 C．0 D．－2或0
6．已知实数满足，若目标函数的最大值为，最小值为，则实数的取值范
围是()
A．B．C．D．
7．对于函数，下列说法正确的是()
A．是奇函数且在（）上递增 B.是奇函数且在（）上递减
C．是偶函数且在（）上递增D．是偶函数且在（）上递减
8．定义：在数列中，若满足（，d 为常数），称为“等
差比数列”。

已知在“等差比数列”中，则()
A．B．C．D．
9．已知函数，函数若存在，使得成立，则实数的取值范围是()
A．B．C．D．
10．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务。

已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有() A．80 种B．70 种C．40 种D．10种
11．已知椭圆C:的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点，
使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是()
A．B．C．D．
12.已知实数满足其中是自然对数的底数, 则的
最小值为()
A．8 B．10 C．12 D．18
二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13.已知向量＝(1，3)，＝(3，m)．若向量在方向上的投影为3，则实数m＝
14.已知，则二项式的展开式中的系数为
15．设，则函数的最大值为.
16．已知动点P在棱长为1的正方体的表面上运动，且，记点P的轨迹长度为.给出以下四个命题：
①；②；③
④函数在上是增函数，在上是减函数。

其中为真命题的是（写出所有真命题的序号）
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足b2＋c2＝bc＋a2.
（1）求角A的大小；
（2）已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1cos A＝1，且a2，a4，a8成等比数列，求{4
a n a n＋1
}的前n项和S n.
18.（本小题满分12分）
某大学的一个社会实践调查小组,在对大学生的良好“光盘习惯”的调査中,随机发放了l20份问
做不到光盘能做到光盘合计
男45 10 55
女30 15 45
合计75 25 100
（1
机抽取4份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为，试求随机变量的分布列和数学期望。

（2）如果认为良好“光盘习惯”与性别有关犯错误的概率不超过P，那么根据临界值表最精确的P的值应为多少？请说明理由。

附：独立性检验统计量K2=, 其中，
P(K2k0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 k0 1.323 2.072 2.706 3.840 5.024
19．（本小题满分12分）
在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为的等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：(x－2)2＋y2＝1的两
条切线，切点为M，N，|MN|＝42 3．
（1）求抛物线E的方程；
（2）设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）．
①求证：直线AB 必过定点，并求出该定点Q 的坐标；
②过点Q 作AB 的垂线与抛物线交于G 、D 两点，求四边形AGBD 面积的最小值． 21．（本小题满分12分）
设函数，其中和是实数，曲线恒与轴相切于坐标原点． （1）求常数的值；
（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图所示,为圆的切线,为切点,，的角平分线与和圆分别交于点和． （1）求证 （2）求的值．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的参数方程为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆的极坐标方程；
（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数
（I ）求的最大值；
（Ⅱ）若关于x 的不等式有实数解，求实数k 的取值范围。

数学理科周考二参考答案
一、选择题
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 答案
B C B D B A D C B C D A
二、填空题
13．3 ； 14. ； 15. ； 16. ①④ 三、解答题
17.解： (1)∵b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12. ∴cos A ＝1
2
.
又A ∈(0，π)，∴A ＝π
3
. …………… 5分
(2)设{a n }的公差为d ， 由已知得a 1＝1cos A ＝2，且a 2
4＝a 2·a 8.
∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )( a 1＋7d )． 又d 不为零，∴d ＝2. …………… 9分 ∴a n ＝2n . …………… 10分
∴4a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1
. …………… 11 ∴S n ＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1
n ＋1＝n n ＋1.…………… 12分
18. 解：（1）因为9份女生问卷是用分层抽样方法取得的，所以9份问卷中有6份做不到光盘，
3份能做到光盘。

……………………2分
所以……………………8分
()03.333
100
7525455510301545100))()()(()(2
2≈=⨯⨯⨯⨯-⨯=++++-d b c a d c b a bc ad n ………10分
因为,所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，即精确的值应为………………………………12分 19. 解：（1）由题意知，，都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则，，……………………2分
又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面， 那么，根据题意，点落在上， ∴，易求得，…………4分
∴四边形是平行四边形，∴，∴平面 …………6分
（2）：建立如图所示的空间直角坐标系，可知平面的一个法向量为
设平面的一个法向量为
则，可求得．………………9分 所以，
又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角的余弦值为． (12)
分
20.解：（1）由已知得K (－ p
2，0)，C (2，0)．
设MN 与x 轴交于点R ，由圆的对称性可知，|MR |＝22
3．
由得：或（舍去），
即，所以直线AB 过定点；…………………7分
(ⅱ)由(ⅰ)得22221111672AB m y m m =+-=++，
同理得，
2
212
2
11161172GD y m m m ⎛⎫
=+--=++ ⎪⎝⎭
则四边形AGBD 面积222211116
1167217222S AB GD m m m
m
=
⋅=++++
令，则是关于的增函数，
故.当且仅当时取到最小值88 …………………12分
21. 解：(1) 对求导得：，根据条件知，所
以. ……………2分 (2) 由(1)得，
22
(1)(1)21
()1(1)(1)a a x ax ax a f x x x x -+--++''=-
+=-
+++. ① 当时，由于，有，于是在上单调递增，从而，因此在上单调递增，即而且仅有；
②当时，由于，有，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即而且仅有； ③当时，令，当时，，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减， 即而且仅有.
综上可知，所求实数的取值范围是. ……………12分
23．解：圆的普通方程为，又
所以圆的极坐标方程为 …………… 5分 设，则有解得 设，则有解得
所以 …………… 10分
24.解：（Ⅰ）依题意有：，令，则
16)8(8)8(282=-++≤-+=x x x x y ，所以，
，当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为4…………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最大值为4，又因为关于的不等式有解， 所以，，解得，，即…………………………10分
y28660 6FF4 濴>27767 6C77 汷35720 8B88 讈33487 82CF 苏28745 7049 灉40269 9D4D 鵍]<40185 9CF9 鳹31870 7C7E 籾1\25173 6255 払。