华东师范大学第二附属中学2019自主招生试卷

2019 年华二附中自招数学试卷
1. f ( x ) ，函数最大值为 a ，最小值为 b ，求 a + b .
2. 有理数 a 、b 、c ， a 2 + b 2 + 1 = 2(c 2 + ab + b - a ) ，求 a - b - c .
3. a 是最大负整数，b 是绝对值最小的有理数，c 的倒数是 c ，求 a
2017 + 2018b + c 2019 .
4. 有一块正方形田地，中间有一圆池，池与田间间隙有 13.75 亩，方田四边到圆的最近距离 都是 20 步，求边长和直径. （240 步2 = 1 亩，π = 3 ）
5. 一个人输密码，输了 4 次，3406、1630、7364、6173，每个数中都对了两个数字，但位 置不正确，求正确密码.
6. f ( x ) =,0(),C x A C B x A x A
<≤⎧⎨+->⎩（煤气收费标准），当使用 4m 3 时，缴费 4 元，当使用 25m 3 时，缴费 14 元，当使用 35m 3 时，缴费 19 元. 问：当使用 20m 3 ，缴费多少元？
7. 半径为 r 的圆在边长为 a 的等边三角形中随意移动 (a ≥ 2
) ，求圆扫不到的面积.
8. 有一个数 n ，若 n 为偶数，则取 2
n ，若 n 为奇数，则取 3n + 1 ，多次后得 1，求 8 次后能 得到 1 的数有几个？（1 可重复出现）
9. A BC 中，a、b、c 均为自然数且a≥b ≥c ，a2 +b2 +c2 -ab -ac -bc = 13 ，求周长小于30 的 A BC 有多少个？
10. f (x) =
,
1
,,,*,,,
x x
q q
x p q N p q q p
p p
⎧
⎪
+
⎨
=∈<
⎪
⎩
若为无理数
若且互质，求
f (x) 在
78
(,)
99
区间内最大值.
11. a 、b、c 均为正整数，关于x的方程a x2 +bx +c = 0 的两实根的绝对值都小于1
3，求
a +
b +
c 的最小值.
12. x +y =xy ，x+y +z =xyz ，求z的范围.
13.
5
422
x y z
x y z
++=
⎧
⎨
+-=
⎩
，求4x-4z+1.
14. 锐角 A BC 中，D、E 是B C 上的点， A BC 、 A BD 、 A DC 外心为O、P、Q，求证：（1） A PQ ∽ A BC ；（2）若E O⊥PQ，则Q O⊥PE.
，求15. 函数4x+ 5y= 20 与x、y 轴相交于A、B，l 与A B、OA 交于C、D 且平分S
AOB
CD2 的最小值.。