高一数学12高次不等式的解法

主讲教师：殷希群

授课班级：高一（13）班

授课时间：2003年9月22日上午第1节

[教学目标]

1．会用“列表讨论法”及“数轴标根法”解一元高次不等式； 2．通过求解不等式，加强学生运算能力训练，渗透数形结合思想。 [教学重点、难点]

“数轴标根法”的本质及操作要点。 [教学过程]

I ．复习回顾

例1 解下列不等式组

解

∴-2

∴原不等式组的解集为{x|-2

II ．讲授新课

例2 解不等式(x+3)(x-2)(x-4)>0 方法一：原不等式可化为

或 或

-34或φ

∴原不等式的解集为{x|-34}

注：此种方法的本质是分类讨论，强化了“或”与“且”，进一步渗透了“交”与“并”的思想方法。

方法二：不等式（或方程）有三个零点，-3，2，4，先在数轴上标出零点，这些零点把数轴分成了若干个区间。

⇔ -x 2+x+2<0 x 2-2x-8<0 3x-x 2

≤0 -x 2

+x+2<0

x 2-2x-8<0 3x-x 2

≤0

x 2-x-2>0 x 2-2x-8<0 x 2-3x ≥0 ⇔ x<-1或x>2 -2

x ≤0或x ≥3 x+3>0 (x-2)(x-4)>x+3<0 (x-2)(x-4)<⇔ x>-3 x<2或x>4 x<-3

2

⊙

针对这些区间，逐一讨论各因式的符号，情况列表如下：

因式 x+3 x-2 x-4 (x+3)(x-2)(x-4)

当x>4时 + + + + 当2

-

-

-

-

从上表可看出(x+3)(x-2)(x-4)>0的解集为{x|-34} 方法三：先在数轴上标出零点（标出根）。

根标出来后，不是分区间进行验证讨论，而是直接标出综合因式（x+3）(x-2)(x-4)的正负号（如图），再根据题目要求，直接写出解集为{x|-34}.

注：这种方法常称为是“数轴标根法”，有些书上称为是“串针引线法”。这种方法的本质是“列表讨论法”的简化及提练。这样的“线”也可看成是函数y=(x+3)(x-2)(x-4)的图象草图。(y 轴未画)

III ．课堂练习

练习1：解不等式(x+2)(x-1)(x-3)>0

练习2：解不等式(x+3)(x+1)(x-2)(x-4)≥0

练习3：解不等式x 4+x 3

-x-1<0

练习4：解不等式(x+2)(x-1)(3-x)>0

练习5：解不等式(2x+1)(3x+2)2(x 2

+5x-24)>0

练习6：解不等式x 3+2x 2

-x-2≥0

练习7：解不等式2x 3-9x 2

+7x+6<0

IV.课堂小结

“数轴标根法”的操作要点：

1．把高次不等式化为y=(x-x 1)(x-x 2)……(x-x n )>0(或<0)型的不等式。 2．画出数轴，标出根x 1,x 2,x 3,……x n .

3.从数轴右边开始（若从左边开始，要先代值检验正负号），先正后负，依次“串针引线”。

4．写出所求的解集。 V ．课后作业

解下列不等式： 1．(x+3)(x+2)(x-5)≥0

-3 2

4 x

-3 2 4 x

—

+ + —

2.(x-1)(x-2)(x+7)(x+5)<0

3.(2-x)(2x+1)(x-4)≤0

4.(x+1)(x-3)(x2-2x+8)>0

5.(x+4)(x-2)2(x-7)≥0

+6<0

[教案设计说明]

1．在学完“集合”、“含绝对值的不等式解法”及“一元二次不等式解法”等内容之后，在学“简易逻辑”之前，补充学一点高次不等式、分式不等式及无理不等式的解法，好处有三：

①巩固与深化学生已经学过的有关集合及不等式的基础；

②巩固并熟练使用前面已学过的“或”、“且”这两个逻辑联结词，为下面学习“简易逻辑”打好基础；

③为下一章求某些函数的定义域，以及学习函数的单调性作必要的准备。

2．下移一点“不等式解法”目的在于“不等式工具”早点出台，不要为不等式而不等式，要重在性质运用及思想方法渗透，要视学生情况控制好教学难度。