偏导数与全微分

f x (
x, y,z
)
lim
x0
f(
x
x, y,z ) x
f(
x,y,z )
类似,
f y(
x, y,z
)
lim
y0
f(
x, y y,z ) y
f(
x, y,z )
fz( x , y , z )
lim
z0
f ( x, y,z z ) z
f(
x, y,z )
说明
对多元函数求关于某一个自变量的偏导数时,
若极限 lim x z lim f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 存在，
x x0
x0
x
则称此极限值为函数 f (x, y) 在点( x0, y0 ) 处对 x 的偏导数.
z , 记作:
z f
,
,
x x x0 x x x0
y y0
y y0
x x x0 y y0
或 f x( x0 , y0 ).
zxx fxx ( x , y ),
y
z y
2z y2
f yy( x , y ),
z
y x
2z xy
f xy ( x , y ),
x
z y
2z yx
f yx( x , y ),
混 合 偏 导 数
Note：记号
有的书上的记法不同
类似可定义三阶、四阶及更高阶的偏导数， 二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数.
记作 z , x
f , x
zx , fx( x , y )
类似定义函数 f (x, y) 对 y的偏导数.
记作: z , f , zy ,
f y( x , y )
y y
f x(
x , y )
lim
x0
f(
x x, y ) x
f ( x,y )
视 y 为常量， 对 x 求导.
f y(
x,y )
lim
连续函数的偏导数也未必存在
x
旋转锥面
x2 y2 z2 .
0
a2
b2
.
z
o
y
例3.求 z x y ( x 0, x 1 ) 的偏导数.
解 z yx y1 , z x y ln x.
x
y
例4.求 r x2 y2 z2 的偏导数.
解
r
2x
x,
x 2 x2 y2 z2 r
r
2y
定理
若函数 z f (x, y)在区域D 内的两个二阶混合偏导数连续, 则在该区域内这两个混合偏导数必相等.
例1.设 z x3 y2 3xy3 xy 1, 求它的二阶偏导数.
解 z 3x2 y2 3 y3 y , z 2x3 y 9xy2 x ,
x
y
2z x 2
x
z x
6xy2 ,
2z z 6x2 y 9 y2 1, xy y x
2z y2
y
z y
2x3
18xy,
2z yx
x
z y
6x2
y
9
y2
1,
再求
3z x 3
x
2z x 2
6y2 ,3z y3
y
2z y2
18 x ,
3z x2y
y
2z x 2
12xy,
The End
• 练习 Page 5 （1），（2）
只需视其它变量为常量, 根据一元函数的求导
公式和求导法则, 求导即可.
例1.求 z x2 sin 2 y 的偏导数.
解 z 2x sin 2 y,
x
z 2x2 cos 2 y
y
例2.求 z x2 3xy y2 在点 (1,2) 处的偏导数.
解 z 2x 3 y, z 3x 2 y.
y0
f
(x0 , y0
y) y
f
(x0 , y0 )
f
'y (x0 ,
y0 )
lim
y y0
f (x0 , y) f (x0 , y0 ) y y0
也记作 z ,
y xx0
结论
y y0
f , zy x x0 ,
y x x0
y y0
y y0
f y( x0 , y0 ).
f x( x0 , y0 )是一元函数f ( x, y0 )在点 x0 处的导数, f y( x0 , y0 ) 是一元函数 f ( x0 , y ) 在点 y0 处的导数,
称为函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0, y0 ) 处对 x 的偏增量. 当固定 x x0 ,而 y 在 y0 处有增量y 时，
y z f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 )
称为函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0, y0 ) 处对 y 的偏增量.
当 x 在 x0 处有增量x 时，y 在 y0 处有增量y 时，
z f ( x0 x , y0 y ) f ( x0 , y0 )
称为函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0, y0 ) 处 的全增量.
定义
设函数 z f (x, y) 在点( x0, y0 ) 某邻域内有定义，
当固定 y y0,而 x 在 x0 处有增量 x 时，
f
'x (x0 , y0 )
lim x0
f
( x0
x, y0 ) x
f
(x0, y0 )
f
'x
( x0
,
y0
)
lim
x x0
f (x, y0 ) f (x0, y0 ) x x0
类似,函数 f (x, y)在点( x0, y0 ) 处对 y 的偏导数定义为:
f
'y (x0 ,
y0 )
lim
x
y
z 8,
x x1
z
y x1 7.
y2
y2
例2.求函数
f
(
x,
y
)
xy x2 y2
,
( x , y ) ( 0,0 ) 在原点处的偏导数.
0, ( x, y ) ( 0,0 )
解
f x(
0 ,0
)
lim
x0
f ( x ,0 ) f ( 0,0 ) lim
x0
x0
x x2
0 0
0
偏导数
欧阳顺湘 北京师范大学珠海分校
2004.12.26
第三节 偏导数与全微分
一、偏导数的定义及计算法
定义 设函数 z f (x, y) 在点( x0, y0 ) 某邻域内有定义，
当固定 y y0, 而 x 在 x0 处有增量 x 时，
x z f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 )
y,
y 2 x2 y2 z2 r
r z , z r
二、高阶偏导数
设函数 z
f (x, y)
在区域D 内有偏导数 z x
fx( x, y ),
z y
f y( x , y ).
若这两个函数的偏导数存在，称其为函数 z f (x, y) 的二阶偏导数
z
x x
2z x 2
2 f x 2
x
x 在点 M 0 ( x0, y0, z0 ) 处的切线对 轴的斜率.
类似,fy(来自x0,y0
) 在几何上表示空间曲线
z
f( x
x, x0
y
)
y 在点 M 0 ( x0, y0, z0 ) 处的切线对 轴的斜率.
若函数 f (x, y)在区域D内每一点(x, y)处对 x 的偏导数都存在,
偏导数就是x, y的函数, 称为函数 f (x, y) 对 x的偏导(函)数.
y0
f ( x, y y ) y
f ( x,y )
视 x 为常量， 对 y 求导.
说明
对二元函数求关于某一个自变量的偏导数时, 只需视其它变量为常量, 根据一元函数的求导 公式和求导法则, 求导即可.
说明:偏导函数的概念可以推广到二元以上的函数.
例如三元函数f (x, y, z)在点(x, y, z)处关于 x 的偏导数为:
二元函数偏导数的几何意义
二元函数偏导数的几何意义
方向导数
二元函数偏导数的几何意义:
z
f x( x0 , y0 )是一元函数f ( x, y0 )在点 x0
S
处的导数,由一元函数导数的几何意义知
f x( x0 , y0 )在几何上表示空间曲线
o y0
y
z f ( x, y )
y y0
x0
x
0,
f y( 0,0 ) lim y0
f ( 0, y ) f ( 0,0 ) y0
0 y
lim 0 y2
y0
y
0
0,
(
lim
x , y )( 0 ,0 )
f
(
x,
y
)
(
lim
x , y )( 0 ,0 )
xy x2 y2
不存在．
f ( x, y )在( 0,0 )点不连续。
二元函数在某一点处偏导数存在,但未必连续.