材料力学课后习题答案6章

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6-3
图示带传动装置，胶带的横截面为梯形，截面形心至上、下边缘的距离分别为
y1 与 y2，材料的弹性模量为 E。试求胶带内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。
题 6-3 图 解：由题图可见，胶带中性层的最小曲率半径为
ρmin = R1
依据
σ=
Ey ρ
可得胶带内的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力分别为
5
∑M
z1
= 0，Fx 2
h h Fa Fa Fa − Fx1 − Fy 2 a = − − =0 3 3 3 6 6
由此可见，单元体的全部平衡方程均能满足（另三个平衡方程是恒等满足，无需写出） 。
6-14
梁截面如图所示，剪力 F s = 200kN，并位于 x-y 平面内。试计算腹板上的最大
弯曲切应力，以及腹板与翼缘（或盖板）交界处的弯曲切应力。
题 6-10 图 解：1.查№18 工字钢的有关数据 工字钢截面大致形状及尺寸符号示如图 6-10。
图 6-10 由附录 F 表 4 查得
h = 180mm，b = 94mm t = 10.7mm，I z = 1660cm 4，Wz = 185cm 3
2．计算顶边 AB 的长度改变量 顶边处有
3
Biblioteka Baidu max =
Fy 1 = F y 2 =
1 F 6
Fa 2h
顺便指出，纵截面上弯曲切应力构成的轴向合力为
FSx = τ x ( ab) =
3．检查单元体的平衡方程是否满足
∑F ∑F
x
= 0，Fx 2 − Fx1 − FSx = = 0，Fy1 − Fy 2
y
Fa Fa Fa − − =0 h 2 h 2h F F = − =0 6 6
由切应力互等定理可知，纵截面上的切应力 τ x 与 τ 2max 一样大。 左、右端面上弯曲正应力构成的轴向合力分别为
Fx1 =
bh Fa 1 σ1max ( ) = 2 2 2h bh Fa 1 Fx 2 = σ 2max ( ) = h 2 2
左、右端面上弯曲切应力构成的竖向合力大小相等，其值为
计算中用到 h1 = h / 2 − t = 79.3mm。
6-13
图示矩形截面简支梁，承受矩为 Me=Fa 的集中力偶作用。试绘单元体 ABCD
的应力分布图（注明应力大小） ，并说明该单元体是如何平衡的。截面的宽度为 b，高度为 h。
题 6-13 图 解：1.画剪力、弯矩图 左、右支座的支反力大小均为 F / 3 ，方向是左向上、右向下。据此可画 FS与M 图，示如 图 6-13a 与 b。
2
dI z 3h 2 (d 2 − h 2 ) − h 4 =0 = dh 12 d 2 − h 2
由此得
h=
3 d d，b = d 2 − h 2 = 2 2
6-10
图示截面梁，由№18 工字钢制成，截面上的弯矩 M = 20kN·m，材料的弹性模
量 E = 200GPa，泊松比 µ = 0.29。试求截面顶边 AB 与上半腹板 CD 的长度改变量。
σ ( y1 ) =
该处的横向应变为
My1 Iz
（这里， y1 以向上为正）
ε ′ = µ ε ( y1 ) =
由此可得线段 CD 的伸长量为
µ My1
EI z
∆CD = ∫ ε′dy1 =
0
h1
µM
EI z
∫
h1 0
y1dy1 =
µ Mh12
2 EI z
0.29 × 20 × 103 × 0.07932 m 2 × 200 × 109 × 1660 × 10 − 8 = 5.49 × 10 − 6 m = 0.00549mm =
第六章 弯曲应力
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题 6-14 图 (a)解：首先，确定截面形心位置
yC =
0.020 × 0.100 × 0.010 + 0.120 × 0.010 × 2 × 0.080 m 0.020 × 0.100 + 0.120 × 0.020 = 0.04818m (C到顶边之距 )
4
图 6-13 2．求单元体两端面上的应力及其合力 单元体两端面及纵截面上的应力分布情况示如图 c，最大弯曲正应力和剪应力值分别为
σ1max = σ 2 max =
M 1 6 Fa 2 Fa = = Wz 3bh 2 bh 2 M 2 4 Fa = Wz bh 2
3FS2 F = 2 A 2bh
τ1max = τ 2 max =
1
σ t, max =
和
Ey1 R1
σ c, max =
Ey2 R1
6-7
图示直径为 d 的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。试问：
(1) 如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h 和 b 应分别为何值； (2) 如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h 和 b 又应分别为何值。
题 6-7 图 解：(1) 为使弯曲强度最高，应使 W z 取最大值。 由
M Wz µ σ max E
3
ε′ = µ ε =
由此可得 AB 边的伸长量为
∆AB = ε ′b =
× 20 ×10 m = 0.29 × 0.094 9 EWz 200 ×10 ×185 ×10−6 = 1.474 ×10 −5 m = 0.01474mm
µbM
3．计算上半腹板 CD 的长度改变量 距中性轴 z 为 y1 的点，弯曲正应力的绝对值为
Wz =
得
bh 2 b 2 = (d − b 2 ) 6 6
dW z 1 2 = (d − 3b 2 ) = 0 db 6
由此可得
b=
3 6 d，h = d 2 − b 2 = d 3 3
(2) 为使弯曲刚度最高，应使 I z 取最大值。 由
Iz =
得
bh 3 h 3 = d 2 − h2 12 12