解抛物型方程的一族六点隐式差分格式

对 问题 （ ） １ 的求解 ， 限差 分法 是 解决 此 类 问题 的常用 方 法 ， 见 的差 分 格式 如 古 典 隐格 式 、 有 常
Ｃａｋ Ｎｃｌ ｎ格 式和 Ｄ ｆ ｔＦａｋｌ 式 等 ， 都是 绝对 稳 定 的 ， ｒｎ — ｉ ｓ ｏｏ ｕｏ — ｒｎｅ格 ｒ 虽 但其 截 断误 差均 较低 ， 两者 分 别是 前
３ 数 值 例 子
考 虑扩散 方程
＝
Ｍ ．）：ｓ （ ０ ｉ ｎ似 ， ≤ １ ０≤ ，
、 Ｊ
（ ｅａ ｍ ｎ ｔｅ ａ ｃ Ｅ ｕａｏ ， ｕｎｚｏ ｏｅｅｏ Ｓｕ ｈ ａＵ ｉ ｒ ｔ ｏ Ｔｃｎｌ ｙＧ ａｇｈｕ １ ０ ， ｈ ａ Ｄ ｐｒ ｅｔ ｆ ｈｍ ｔｓ ｄｃｔｎ Ｇ ａｇｈｕＣ ｌｇ ｏｔ Ｃ ｉ ｎ ｅ ｉ ｅｈｏ ｇ ，ｕｎ ｚｏ￣５０ ０ Ｃ ｉ ） ｔ ｏ Ｍａ ｉ ｉ ｌ ｆ ｈ ｎ ｖ ｓｙ ｆ ｏ ８ ｎ
在 渗流 、 扩散 、 热传 导等领 域 中经常会 遇到 求解抛 物 型方程 的 问题． 一维 的情形 ， 在 其模 型 为初边 值
Ｏ ２ Ｏ — ｔ
＿ ＿ ＿
ｕ ０ ≤ ≤
，
０ ≤ ￡≤ ， ＞ ０， 口
ｕ ｘ ０ ＝ ） ０≤ ≤ Ｌ （ ，） （ ， ，
ｕ Ｏ，） （ ｔ ＝０ ０≤ ｔ （ ￡ ＝ｕ Ｌ，） ， ≤
＋丁ａ ０Ｉ ＋Ｄ ｒ ） ｈ ｒ ＂） Ｚ ＋ Ｌ （ ，
：
△ ＋ ： ｃ ＋ 吐ｃ ｎ 雾
＝
（ ） （ ） ＋Ｏ（ ， ＋ ｈ ）
＝
（ （ ０ ｎ ， 》 ｒ ＋ ４ Ｕ ． ， ￣ ） 其 ＝ ＝ ¨ ＝ 等丑 ， ． 其 推
ｄ ｆｅ ｅ ｃ ｃ ｅ ｓ ｐ ｏ ｅ ｏ ｂ ｎ ｏ ｄｉ ｏ ａｌ ｔｂ ｅ ｉ ／２ ≤ ０ ≤ １．ａ ｄ ｔ ｅ ｔ ｂｌｔ ｏ ｄ ｔｏ ｓ ｉｆｒ ｎ ｅ ｓ ｈ ｍｅ ｗａ ｒ ｖ ｄ ｔ ｅ ｕ ｃ ｎ ｔ ｎ ｌｙ ｓａ ｌ ｆ１ ｉ ｎ ｈ ｓａ ｉ ｙ ｃ ｎ ｉｉｎ ｗａ ｉ
用 Ｆｕｉｒ 法 证 明 了差 分 格 式 当 １２ ≤ ０≤ １ ， 式 绝 对 稳 定 ； ０≤ ０ ＜ １２时 ， 有 ｒ １６ １— ｏｒ 方 ｅ ／ 时 格 当 ／ 只 ≤ ／（ ２ ）， 格式 才是 稳 定 的． 值 试 验 表 明 ， 族 格 式 是 有 效 的 ， 理 论 分 析 与 实 际计 算 相 吻 合 ． 数 该 且
第 ４期
詹 涌强 ： 解抛物型方程 的一族六点隐式差分格式
２ ７
但稳定条件只是 ０＜ｒ ＜了 而且 该格 式在 计算过 程 中需要 计算 两列 内边界 值 ， 了计算 量・ ＝ ２ 增加 文
，
献 ［ １ 构造 了一种 七点 隐式差 分格 式 ， 断误 差为 Ｏ ｒ １］ 截 （ ＋ｈ）， 定性条 件 为 ０ ＜ｒ １ １ ， 式才 稳 ≤ ．７时 格
（ 为正整数 ）对区域 ［ ，］×［ ， ］ ， ０ ０ Ｔ 作矩形剖分 ， 取局部
｛ 一， ＋） （ ， ＋） （ ｔ＋） （ －ｔ） （ ， ） （ １ｔ） ， （ 。ｔ １ ， ｔ ， ＋， ， 一， ， ｔ ， ＋， ｝ ｎ
其 中 ： ＝ ｈ ｔ ｒ， ＝“ ， ）． ｆ ｊ ， ＝ “ （ｆｔ 当问题 （ ） １ 的解 充分 光滑 时 ， 有
一
ｒ＋ ２ｒ ， ＝ １ 一 ， １ ｃ ９
得 到一族 两层 六点 的隐式 差分 格式 为
１
ｒ２＋） ＋詈 ｒ４ ＋ ｒ２＋ ｚ 一ｒ壶 （一＋｝ “ （ 一 ） ０ ６ ＝ ｒ ）
一
‘ ２ｒ ） 。 ５ —３ ＋４ ＋ ３ 一２ｒ ｒ ３ ０＋ 略 ＋ ｒ ） ０ ＋ ｒ
把各差 商 的渐近表 达式 代入 （ ） ， ３ 式 整理 得
＝
（ ｃｃ 一，， ＋ ＋ｃｒ （ｒ］ ｃ ２３ 。 ＋ （ ｃｃ ＋ ） － （ 譬 １＋ ＋ ＋３雾 一 ） ｃ １ （ ｌ２ ｃ
（ ｃ ） ） 。（ ［ ｃ ＋（ ＋ ｒ １） ］（ ） ｃ ＋０（ ｒ ｓ ）・ （） ５
０ ＜ ｒ≤ １６ １—２ ） ｈｌ ０ ≤ ０ ＜ １２ Ｔ ｅ ｎ ｍ ｒ ａ ｅｐ ｒ ｅ ｔｓｏ ｅ ｈ ｉｅｅ ｃ ｃ ｅ ｅ ｗ ｓ ／（ ０ ｗ ｉ ｅ ／ ． ｈ ｕ ｅｉ ｌ ｘ ｅ ｍ ｎ ｈｗ ｄ ｔｅｄｆ ｒｎｅ ｓｈ ｍ ａ ｃ ｉ ｆ
ｅｆ ｃｉ ｅ ａ ｈ ｏ ｅｉａ ｎ ｌｓｓｏ ｈ ｍ ｏ ｎ ｉ ｅ ｔ ｒ ｃ ｉａ ａｃ ｌ ｔｏ ｆｔ ｅ ｆｅ ｔｖ ｎｄ ｔ ｅ ｒ ｔｃ ｌａ ａｙ ｉ ｆｔ ｅ ｃ ｉ ｃｄ ｓｗｉ ｐ ａ ｔ ｌ ｃ ｌｕ ａｉｎ ｏ ｈ ｍ． ｈ ｃ Ｋｅ ｒ ｙ ｗｏ ｄｓ： ｎ — ｉ ｎ ｉｎ ｐ ｒ ｂ ｌｃ ｅ ｕ ｔ ｎ；ｉ ｌｃｔｄｆｅ ｅ ｅ ｓ ｈ ｍｅ ｏ ｅ ｄ ｍｅ ｓｏ ａ ａ ｏｉ ｑ ａｉ ｏ ｍｐ ｉｉ ｉ ｒｎｃ ｃ ｅ ｓ；ｔ ｎ ａ ｉｎ ｅ ｏ ｆ ｕ ｒ ｃ ｔ ｒ ｒ ｏ
，● ●● ● ● ， ●● ● 【 ● ， ● ● １ ● ●
关键词 ： 一维抛物型方程 ； 隐式差分格式 ； 断误 差 截
中 圈 分 类 号 ：２ １８ Ｏ ４ ．２ 文献标志码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ０ ２ ６ （０ ２ ０ — ０ ６ ０ １０ — １２ ２ １ ）４ ０ ２ — ４
ｄｍ ｎｉ ａａ ｏ ｃｅ ｕ ｔ ｎ ｈ ｕ ｃｔ ｎｅｒｒ ｆｈ ｃ ｅ ａ Ｊ ｉ ｅ ｓ ｎｐ ｒｂｌ ｑ ａ ｏ ．Ｔ ｅｔ ｎ ａ ｏ ｒ ｅｓｈ ｍｅｗ ｓ 『 ｏ ｉ ｉ ｒ ｉ ｏｏｔ ０（ ＋ｈ ）．Ｂ ｏｒ ｒｍ ｔ ｄ ｔｅ ｙＦ ｕｉ ｅ ｏ ， ｈ ｅ ｈ
ｒ＋Ｊ ｓ ２ Ｌ） ｉ ｎ
１２ ｒ吉ｓ ２ －（ ＋ ）ｚ ’ ｒ ｉ ｎ （ ９ ）
（） １ Ｏ
［ ２ｒ４＋ ｓ譬 ［ ２一｝ １ｓ譬 １ （－ｒ ｉ ］ １ （ ４＋） ］ — ３ ０ ） ≤ — ｒ ６ ｉ ， ｎ ， ｎ
（） ９ 式成 立 的一个充 分条 件为
为 了使 （ ） 的截 断误 差达 到 ０（ ２＋ｈ ）。 解 下列方 程组 ５式 Ｔ 需
安徽大学学报（自然科学版 ）
第３ ６卷
在方程 组 （ ） ， ｃ ６ 中 令 ４＝ｏｏ≤ ≤ １ ， （ ） 可解得 ：１ ３ ＋ １ ｃ２ ＝ ５ ｃ ＝ｃ ＝ １ ｒ—ｒ
，
稳定 ， 不具有 一般性 ． 文构 造 了一 族 两层 六 点 的 隐式 差分 格 式 ， 度达 到 了 Ｏ ｒ ） 并且 证 明 了 论 精 （ ＋ ，
当参数 ０ 一定条 件下 ， 在 格式 是无 条件 稳定 的．
１ 格 式 的构 造
设时间步长为 ， 空间步长为 ｈ＝
结点 集为
２
Ｏ ＋ｈ）， （ ＋ｈ） 后者 为 Ｄ（ ＋ｈ （ ２ Ｏ丁 ２， ＋（Ｔ））， ７＝ 当 － ｈ时 ， 还失去 了相 容性 ． 因此 ， 获得 高精度 欲
的解 ， 间及空 间步长 就必须 取得 足够 小 ， 就大 大增加 了计算 的工作量 ． 上述 问题 的改进 ， 时 这 对 目前 已经
’
： 口ｎ
— ｍ＋ｎ，ｍ ， 凡 ∈ ＆ — ２ ｍ ，凡
，
（） ２
将６ 个节点上 ｕ的值在节点 （ ，ｒ 处作 Ｔｙ ｒ ） ａｌ 展开， ｏ 并使用 （ ） ２ 式进行整理 ， 可导出各差商的渐
近 表达 式为
△ 一ｃ ＝ 雾 ＋ 喀ｃ
△ ＝（ ）
；
ｃ 一 业 ｃ ＋ ， 。＋ ｃ ｃ ＋ ＋ ｒ 。＋， ｃ
Ａｂ ｔａ ｔ Ｐ ｏ ｏｅ ｎ ｔｅ ｐ ｐ ｒｗａ ｌｓ ｆｔ ｏ ｅ ｅ ｍｐｉｉ ｄｆ ｒｎ ｅ ｓ ｈ ｍｅ ｏ ｏｖｎ ｎ ｓｒ ｃ ： ｒｐ ｓｄ ｉ ｈ ａ ｅ ｓａ ｃａｓｏ ｗ －ｌｖ ｌｉ ｌ ｔ ｉｅｅ ｃ ｃ ｅ ｓｆｒｓｌｉｇ ｏ ｅ— ｃ ｆ
利用 Ｆｕ ｅ 级 数法 分析格 式 （ ） ｏｒ ｒ ｉ ７ 的稳 定性 ． 令 ｎ＝ ｅ ， 协 则格 式 （ ） ７ 可化 为 ［ １—２ ｒ一４ １）ｓ ２ （ ¨ ｉ ｎ ＝［ １
—
２ｒ４ ）２ （一 ３ ¨吉ｓ譬 ｉ ｎ
。
１—２ ３ （ｒ
Ｃ ｆ， ） （ Ｊ＝ ｌｊ ｝
Ａ ｌｓ ｆｉ ｐｌ ｉ ｆｅ ｅ ｅ ｓ ｈｅ ｅ ｆｓｘ ｃａ ｓｏ ｍ ｉ ｔｄｉ ｒ ｎｃ ｃ ｍ ｓｏ ｉ ｃ ｐ ｉ ｔ ｏ ｏｖ ｎ ｈｅ ｐ ｒ ｂ ｌｃ ｅ ｕａ ｉ ｎ ｏ ｎ ｓｆ ｒ ｓ ｌ ｉ ｇ ｔ ａ ａ ｏ ｉ ｑ ｔｏ ｓ
Ｚ ＡＮ ｎ — ｉｎ Ｈ Ｙｏ ｇ ｑａ ｇ
ｒ —０≤ （ ２ 言・ １ ）
应 满足 ｒ≤ ・
当 一０ ０ 时对 切 ＞，０ 均 立当 —０ ０ ÷ ，０ 成 ｌ２≤， ≥ ，一 ｒ ｏ１式 成 ． １２＞， ＜ 时（） 立 即 （） 即 １式
因此 ， 于格式 （ ） 关 ７ 的稳定 性条件 可 以总结 为
ｆ０ ÷ ， 当≤ ＜ 时 ≤ ｒ ， 【 ｌ， 限． 当 ≤时 无 制 ≤ ｒ
有了许多好 的研究成果 “． 文献 ［０ 给 出了一个高精度两层显格式 ， １］ 格式的截断误差达 ０ ＋ｈ ） （ ，
收 稿 日期 ：０ １ ０ － ７ ２ １ － ７ ０
基金项 目： 国家 自然科学基金资助项 目（ １７ １５ ； ６０ ０ ６ ） 广东省科技计划基金 资助项 目（０ ９ ０ ００ ３ ） ２ ０ Ｂ １８ ００ 作 者简 介 ： 詹涌强（ ９ ８ ） 男 ， １７ 一 ， 广东潮 州人 ， 华南理工大学讲师． 引文格 式 ： 詹涌强． 解抛物型方程的一族六点隐式差分格式 ［］ 安徽 大学学报 ： Ｊ． 自然科学版 ，０ ２３ （ ） ２ — ９ ２ １ ，６ ４ ：６ ２
用上述差商建立含多参数的差分算子
Ｌ ｎ △吐。 ＋ｃ ｎ 一ａ ｈ ：ｃ ＋ｃ △ ＋ ｃ △ 。
逼 近微 分算 子 ｉ ｔ ｒ ｌ ｔ
ａ “
。
一ａ ２ｎ ｃ “，
（） ３
ａ ２
口 ’
一
（） ４
其 中 ： ｉ ， ，）是 待定 系数 ． Ｃ ＝１ … ５ （
ｎ
（） ７
对于 的不 同选取 ， 可得 到不 同 的差 分格 式 ． 别地 ， 特 当 ＝ 时 ， 格式 （ ） ７ 为
（ 寺 ＋ ＋ ＋ 寺 ＝ｒ ）。（ 詈 ＋）。 一 ） （ ｒ“ （ ） ‘＋ 味一 一） ｒ 吐． 吾 ） 一 ｒ ＋ （Βιβλιοθήκη ８ ２ 稳 定 性 分 析
第３ ６卷 第 ４期
解 抛 物 型 方程 的一 族 六 点 隐 式差 分 格 式
詹 涌 强
（ 南理工大学广州学院 基础部数学教研室 ， 东 广州 华 广 ５００ ） １８０
问
题
摘 要 ： 提出 了求解一维抛物型方程的一族两层 六点 隐式 格式． 格式 的截断误差 为 Ｏ（ ＋ｈ ）． ｒ 利
２１ ０ ２年 ７月
安 徽 大 学 学 报 （自然 科 学 版 ）
Ｊｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｕ ｎｖ ｒ ｔ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅＥ ｉｏ ） ｏ ｒ ａ ｏ ｈ ｉ ｉｅ ｉ Ａ Ｕ ｓ ｙ（ ａ ａ Ｓ ｉ ｃ ｄｔ ｎ ｕ ｅ ｉ
Ｊ ｌ ０ ２ ｕｙ２ １
Ｖｏ ＿ ６ Ｎｏ ４ ｌ３ ．