弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响

也谈弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响

金彪

（浙江省上虞市春晖中学，浙江 上虞 312353）

贵刊（《物理教师》）2010年第1期《弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响》一文，指出了贵刊（同上）2009年第5期《非轻质弹簧问题的分析》一文中的错误，认为“一质量为m 的弹簧与物体M （视为质点）组成的一个‘弹簧振子’，弹簧振子的振动周期为

k

m

M T 22+

=π

。”的结论是错误的，并经过计算后得出：一质量为m 的弹簧与一质量为

M 的质点组成的“弹簧振子”震动周期为：k

m

M T 32+

=π

。而笔者认为此结论同样是

错误的，我们可以先假设0=M ，即去掉质点M,让质量为m 的弹簧自由振动，振动稳定时，振动的周期由上式得k

m

T 32π

=。这个结论是否正确呢？总长度为L ，质量为m ，劲度系数为k 的弹簧一端固定，另一端自由（如图1所示），其振动的固有周期到底为多少呢？

设另有一根弹簧的总长度很长，质量均匀分布，且弹簧单位长度的质量为L

m

=

η，劲度系数为k 。让这根弹簧两端以相同的振幅和频率沿弹簧方向振动起来，稳定后必然在弹簧上形成驻波。调节波源频率，使长弹簧的波长恰好为4L ，则相邻波腹与波节的距离恰好为L 。由于驻波的波节振幅为零，与图1弹簧的固定点O 一样；驻波的波腹振幅最大，与自由点P 一样，可得图1弹簧的振动与长弹簧波节到相邻波腹振动情况完全一样。由于固体中弹性纵波的波速

ρ

Y

v =

（1）

其中Y 为杨氏模量，ρ为密度，对于上述弹簧来说，等效密度和杨氏模量分别为：

S

kL

Y LS m =

=

,ρ，代入（1）式得： m

kL v 2

=

（2） 欲使弹簧波波长为4L ，则图1弹簧的固有周期为：

k

m

m

kL L v

T 4

42==

=

λ

（3） 由此可知“弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响”一文的结论是错误的。那么为什么会引起这样的错误呢？该文认为：“对距O 点为l 的一小段弹簧l ∆，其振动速度可表示为

O P

图1

l L v v A =

。”并且“弹簧的弹性势能2

2

1kx ”，这两个关系式的前提都是弹簧的形变量是均匀的。事实上当弹簧的质量不能忽略时，弹簧的形变量是不均匀的，离固定点O 越近的地方受到的弹力越大，形变量也就越大（示意图如图2所示）。这是该文结论为什么会错的原因。那么“一质量为m 的弹簧与一质量为M 的质点组成的‘弹簧振子’震动周期”为多少呢？

设某时刻物体M 离开其平衡位置的位移为M x ，速度为M v ，加速度为M a ；而平衡位置距O 点为l 的一小段弹簧l d 离开其平衡位置的位移为x ，速度为v ，加速度为a 。由于所有质点的振动都同相，则有：

M

M M x x v v a a ==。又由于每一段弹簧离开平衡位置的位移都等于它左侧所有小段的伸长量之和，则距O 点为l 的一小段弹簧l d 的伸长量为x d ，劲度系数为

l kL d ，则其弹力为l x kL d d ⋅，质量为L l

m d ⋅。其与相邻小段弹簧的弹力差，即其所受合力为L x l

xm a L l am l x kL f M

M d d d d d ==

⎪⎭⎫

⎝⎛⋅=。化简可得： x kL

x m a l x

M M 2

22d d = 由于M 物体振动时的M a 与M x 反向，即

M

M

x a 为负值，则根据常微分方程的理论，上面微分方程的解可写作)sin(2

θ+-

=l kL x m

a A x M M 。其中A 为与M 离开平衡位置的位移有关的变量，由于O 点附近的质元离其平衡位置的位移趋向于零，可得θ=0。

即：l kL

x m

a A x M M 2

sin -

= （4） 则每一小段弹簧的形变量为

l l kL

x m

a kL x m a A x M M M M d cos d 2

2⋅-⋅-

= 相应的小段弹簧弹力为

l kL

x m a x mk a A l kL

x F M M M M 2cos d d -⋅-=⋅=

（5） 对于连接M 物体的那小段弹簧，L l =，代入（5）式得

M M M M M Ma k

x m

a x mk a A F =-⋅-

=cos （6）

图2

当0=M 时，即没有物体M 时： 0=F

由（6）式得：

2

π

=-

k x m a M M M M M x x m k

a 224ωπ-=-

= （7） k

m

T 4

2==

ω

π

（8） 得到与（3）式相同的结论。

而当0=m 时，即弹簧质量忽略。

0d d 2

2=l x

则每一小段弹簧的形变量x d 都相等，即弹簧的形变是均匀的，此时的弹簧振子即我们平时看到的弹簧质量可忽略的理想弹簧振子，其周期为k

M T π

2= 当00≠≠m ,M 时，由（6）式得：mk

x a A

M

k x m a M

M M M -

=-

cos （9） 由（4）得：k

x m

a A x M M M -

=sin （10） 设M M x a ⋅-=2

ω，将之与（10）式一起代入（9）式得：

)sin()cos(

ωωωωk

m

k m m M

k m mA x M k m M ⋅=⋅= M

m

k m k m =⋅ωω)tan(

（11） 上式中M 、m 、k 为定值，ω为我们所求弹簧振子的圆频率。显然只有当M

m

为特殊值时，该超越方程才有精确解，否则只能是近似解。例如：

当

0→M

m

，即0→m 时， M m

k m k m k m =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⋅2

)tan(ωωω （12）