递推数列通项公式的几种特殊求法
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解 特征方程为
c1 = - 5, c 2 = 2, c3 = 例２ 分析 归方程，
1 3 1 3 - i , c 4 = - + i , 即可求出 ａｎ 的表达式。 2 2 2 2 1 已知 a = 1, b = 0, !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = 2 a n + b n , b n + 1 = 3 a n + 2 b n , 求 ｛ａｎ｝， ｛ｂｎ｝的通项公式。 a n +1 1 1 3
au + b (c ¹ 0, ad - bc ¹ 0) ， ｛ｕｎ｝满足递推关系 ｕｎ＝ｆ（ ｕｎ－ １） （ ｎ＞１ ） ， 初值条件 cu + d ｘ１≠ｆ（ｘ１）。 un - p u -p a - pc （ 这里 !!!!!!!!!! ! = k × n -1 ⑴ 若 ｆ 有两个相异不动点 ｐ，ｑ ， 则 k= un - q u n -1 - q a - qc
２００６ 年 ２ 月
第 １２ 卷第 １ 期
安庆师范学院学报 （
自然科学版 ）
Ｆｅｂ．２００６ Ｖｏｌ．１２ Ｎｏ．１
Ｊ ｏｕｒｎａ ｌ ｏｆ Ａｎｑｉｎｇ Ｔｅ ａ ｃｈｅ ｒｓ Ｃｏｌｌｅ ｇｅ （ Ｎａ ｔｕｒａ ｌ Ｓ ｃｉｅ ｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ ）
递推数列通项公式的几种特殊求法
俞宏毓 １， 高峰
!
an = ()*’!!!!!
2 n +1 + ( - 1) n . 2 n + ( - 1) n -1
n an +1 = n ! !"!" a1 > 0, a1 ¹ 1 !"!!!!!!!!!!!!!!!!"#$% {a n }!"#$! 2
x1 = - 1 , x 2 = 1, x 3 =!!!! i, x 4 = -!!! x 3 =!!!!!!"( i = x "#$%&’!! !!!!! ! ! ! ! !!!!! !!!! !!!!!! !!!!!!!!! !!!!! 2
２
（ １! 华 中 师 范 大 学 数 学 与 统 计 学 院 ， 湖 北 武 汉 ４３００７９ ； ２． 浙 江 省 奉 化 市 波 导 股 份 有 限 公 司 研 究 院 ， 浙 江 奉 化 ３１５５００ ）
摘 要： 数列的通项公式是研究、 探讨数列问题的重要渠道。递推数列是各类数学竞赛的热点之一。本 文通过实例介绍递推数列通向公式的几种特殊求法。 关键词： 递推数列； 通向公式； 特征根法； 数学归纳法； 不动点法； 母函数法 中 国 分 类 号 ： Ｇ６３３ 文献标识码： Ａ 文 章 编 号 ： １００７－ ４２６０（ ２００６ ） ０１－ ００４６－ ０３
定理 ４ 设
f (u ) =
・ ４８ ・
安庆师范学院学报 （ 自然科学版 ）
２００６ 年
⑵ 若 ｆ 只有唯一不动点 ｐ ， 则
1 1 2c = + k !!!!!!!! ! （ 这里 k = u n - p u n -1 - p a+d
2 an 2 ( x + 2) f ( x ) = x !"#$% p = 2, q = -1 !"#! !!!"#$%&’"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"#$% f ( x) = 1 + = x x an - 2 1 a -2 1 a +1 - 2 a n + 2 - 2 a n 1 a -2 = ( - ) n -1 1 = (- )n , !! n ! ! != ! ! ! ! ! ! = !! !× !n ! ! ( n "! ! #$%&’!!! 1). an +1 2 a1 + 1 2 a n +1 + 1 an + 2 + an 2 an + 1 a n +1 = 1 + ( n1)#$ a n !! ! "#! {a n }!" a1 = 1 !"!!!!!!!!!!!!"!
n n
u 0 = 2 ! u1 =
5 2 ! u n +1 = u n (u n -1 - 2) - u1 ( n≥ 1) 2
[u n ] = 2
分析
［ｘ］表示不超过 ｘ 的最大整数 ） （ 第 １８ 届 ＩＭＯ 第 ６ 题 ， １９７６ 年 ）
此题递推关系较复杂 ， 结论又未给出 ｕｎ 的表达式 ， 不妨通过归纳法探索 ｕｎ 的表达式。
例 １ 已知 ａ１＝ａ２＝０ ， ａ３＝－ ２ ， ａ４＝２ ， ａｎ＋４＝２ａｎ＋３－ ２ａｎ＋２＋２ａｎ＋１－ ａｎ（ ｎ≥１ ） ， 求 ｛ａｎ｝的通项公式。
x 4 = 2 x 3 - 2 x 2 + 2 x - 1， 它的根为 ｘ１＝ｘ２＝１（ 重根 ） ， ｘ３＝ｉ ， ｘ４＝－ ｉ ， 故通项公式为 an = c1 + c2 n + c3i n + c4 ( -i ) n .。由初值条件列出线性方程组 ， 解得待定系数 ：
收稿日期 ： ２００５－ １０－ １３ 作者简介 ： 俞 宏 毓（ １９７７－ ） ， 女 ， 安 徽 宁 国 人 ， 华 中 师 范 大 学 硕 士 研 究 生 ， 专 业 方 向 为 数 学 课 程 与 教 学 论 。
第１期 定理 ２
俞宏毓 １， 高峰 ２： 递推数列通项公式的几种特殊求法 若特征方程 （ ２ ） 有 ｋ 重根 λ ， 则对应递归方程 （１）所确定的数列 ｛ａｎ｝的通项公式为
x4 + 6x2 +1 4 x ( x + 1)
a 4 + 6a 2 + 1 4a n ( a n + 1)
3Байду номын сангаас3
3 3
a n +1 + 1 a +1 4 ( a + 1) 4 + ( a1 - 1) 4 an = 1 . ) , =( n p = 1, q = -1 !"#$%&!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"#$%&’! ( a1 + 1) 4 - ( a1 - 1) 4 a n +1 - 1 an - 1
1 an = (3n-1 + 1), 2
２
例３ 数学归纳法
bn = 3a n +1 - 6 a n =
3 n -1 (3 - 1). 2
求证 ： 对任意自然数 ｎ ，
对于非线性递推数列 ， 可以先用不完全归纳法猜测通项公式或求和公式 ， 再用数学归纳法证明。 数列 ｛ｕｎ｝定义为 ：
2 -( -1) （ 3
程相应的代数方程
（１）
其中 ｎ∈Ｎ ， λ 为 ｋ 阶线性递归数列 ， （１）称为 ｛ａｎ｝的递归方程。 与递归方 １， λ ２， … λ ｋ 是常数 ， λ ｋ≠ ０ ， 则称 ｛ａｎ｝
x k = l1 x k -1 + l2 x k - 2 + L + lk (lk ¹ 0)
（２）
称为 ｋ 阶线性递归数列 ｛ａｎ｝的特征方程。 利用特征根法求线性递归数列通项的依据是如下两个定理 ， 这里略去定理的证明。 定理 １ 若特征方程 （ ２ ） 有 ｋ 个相异根 ｘ１，ｘ２， … ｘｋ， 则对应递归方程 （１）确定的数列 ｛ａｎ｝的通项公式为
un = 2
时 ， ｕｎ＝２ ＋２
ｆ（ｎ） － ｆ（ｎ）
2 -( -1) 3
n
+2
-
问题转化为证明这一猜想 ， 再证 ２ｎ－ （－ １）ｎ 可被 ３ 整除。为简便计 ， 令
f (n) =
2 - ( -1) 3
n
n
， 当 ｎ＝０ ， ｎ＝１
成立。假设 ｎ＝ｋ－ １ 和 ｎ＝ｋ 时 （ ３ ） 式成立 ， 则 ｎ＝ｋ＋１ 时 ， 由 ｕｎ 的递推关系及
解 当 ｎ＝１ 时 ，
u 2 = 2 + 2 -1 = 2
-1
n
2 2 - ( -1) 2 3
+2
-
2 2 - ( -1) 2 3
n
,
2 n -( - 1) n
ｎ＝２ 时 ，
u3 = 8 + 8 = 2
3
2 -( -1) 3
n n
+2
-
2 - ( - 1) n 3
,
…… ， 由此可以猜想 ：
＼ （３）
! ! ! f ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + L + an x n + L, ! ! - 5xf ( x) = -5a0 x - 5a1 x 2 - L - 5an-1 x n - L, ! ! ! !
n -1 n -1
n -1
n -1
!" # $ % & " " ! " #$ % &’ (# )* + ,- $./ 0 12 3 # a0 + a1 x + a2 x 2 + L + a n x n + L! "# $ &’ () *+ ,$ -. /0 1 *2 34 56 78 9% : ;< => , $! ?@ AB ! {an }! " #$% an 5a 6! an n 2) -! ! !" ! a0 = 1, a1 = -2 ! ! != !! !n! !-! ! !" ! ! # $ % & {an }! " # $ ! -1! 2(
成立。
故 ｆ（ｎ）
为正整数 ， ２－ ｆ（ｎ） 为 （０，１） 内的纯小数 ， 所以
[u n ] = [ 2 f ( n ) + 2 - f ( n ) ] = 2 f ( n )
用代换方法求数列通项时 ， 可用不动点法帮助寻找合适的代换不动点法的定义和定理如下。 定义 ３ 定理 ３ 方程 ｆ（ｘ）＝ｘ 的根称为函数 ｆ（ｘ）的不动点。利用递推数列 ｆ（ｎ）的不动点 ， 可将某些递推关 若 ｆ（ｕ）＝ａｕ＋ｂ（ａ≠０ ， ａ≠１ ） ， ｐ 是 ｆ 的不动点 ， ｛ｕｎ｝满足递推关系 ｕｎ＝ｆ（ ｕｎ－ １） （ ｎ＞１ ） ， 则 ｕｎ－ ｐ＝ａ 系 ａｎ＝ｆ（ａｎ－ １）所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列 ， 这种方法称为不动点法。 （ ｕｎ－ １－ ｐ ） ， 即 ｛ｕｎ－ ｐ｝是公比为 ａ 的等比数列。
由 递 归 方 程 消 去 ｂｎ， ｂｎ ＋１ 得 ：
本 题 涉 及 两 个 递 归 数 列 ｛ａｎ｝和 ｛ｂｎ｝， 可 利 用 解 代 数 方 程 组 的 消 元 法 分 别 得 出 每 个 数 列 的 递
然后求解。略解， 代入得 ：
an + 2 - 4an+1 + 3an = 0,
用特征根法求出
n + L + ck xkn , an = c1 x1n + c2 x2
其中 ｃ１，ｃ２， … ｃｋ 是如下线性方程组的唯一解 ，
ìc1 x1 + c2 x2 + L + ck xk = a1 , ï 2 2 2 ïc1 x1 + c2 x2 + L + ck xk = a2 , í ïLLLLLLLLL ïc x k + c x k + L + c x k = a . 2 2 k k k î1 1
１ 特征根法
一般来说 ， 线性递归数列的通项可利用特征方程及 性 质 求 出 ， 称 为 特 征 根 法 。 首 先 给 出 线 性 递 归 数列及其特征方程的定义。 定义 ２ 若数列 ｛ａｎ｝从第 ｋ 项以后任一项都是其前 ｋ 项的线性组合 ， 即
an + k = l1an+ k -1 + l2 an + k - 2 + L + lk an
・ ４７ ・
an = (c1 + c2 n + L + ck n n -1 )ln , 其中 ｃ１，ｃ２， … ｃｋ 是如下线性方程组的唯一解 ， ì(c1 + c2 + L + ck )l = a1 , ï k -1 2 ï(c1 + 2c2 + L + 2 ck )l = a2 , í ïLLLLLLLLL ï(c + kc + L + k k -1c )lk = a . k k 2 î 1
f ( k ) + 2 f ( k - 1) = f ( k + 1), 2 f ( k - 1) - f ( k ) = ( - 1) k ,
可证
uk +1 = 2 f ( k +1) + 2 - f ( k +1) , 又由 f ( n ) =
３ 不动点法
2 n - ( - 1) n ( 2 + 1)( 2 n -1 - 2 n - 2 + 2 n - 3 - L ) , = 3 3
数列是数学的重要内容之一 ， 而数列的通项公式又 是 研 究 、 探讨数列问题的重要渠道。递推数列 一直是各类数学竞赛的热点之一。本文给出递推数列的定义 ， 以及几种特殊求法。 定 义 １ 对 任 意 ｎ ∈Ｎ ， 由 递 推 关 系 ａｎ＋ｋ＝ｆ（ａｎ＋ｋ－ １，ａｎ＋ｋ－ ２ … ａｎ） ， 确 定 的 数 列 ｛ａｎ｝称 为 递 推 数 列 ， 或 递 归 数 列。若 ｆ 是线性的 ， 则称此数列为线性递推数列 ， 否则称为非线性递推数列。
c1 = - 5, c 2 = 2, c3 = 例２ 分析 归方程，
1 3 1 3 - i , c 4 = - + i , 即可求出 ａｎ 的表达式。 2 2 2 2 1 已知 a = 1, b = 0, !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = 2 a n + b n , b n + 1 = 3 a n + 2 b n , 求 ｛ａｎ｝， ｛ｂｎ｝的通项公式。 a n +1 1 1 3
au + b (c ¹ 0, ad - bc ¹ 0) ， ｛ｕｎ｝满足递推关系 ｕｎ＝ｆ（ ｕｎ－ １） （ ｎ＞１ ） ， 初值条件 cu + d ｘ１≠ｆ（ｘ１）。 un - p u -p a - pc （ 这里 !!!!!!!!!! ! = k × n -1 ⑴ 若 ｆ 有两个相异不动点 ｐ，ｑ ， 则 k= un - q u n -1 - q a - qc
２００６ 年 ２ 月
第 １２ 卷第 １ 期
安庆师范学院学报 （
自然科学版 ）
Ｆｅｂ．２００６ Ｖｏｌ．１２ Ｎｏ．１
Ｊ ｏｕｒｎａ ｌ ｏｆ Ａｎｑｉｎｇ Ｔｅ ａ ｃｈｅ ｒｓ Ｃｏｌｌｅ ｇｅ （ Ｎａ ｔｕｒａ ｌ Ｓ ｃｉｅ ｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ ）
递推数列通项公式的几种特殊求法
俞宏毓 １， 高峰
!
an = ()*’!!!!!
2 n +1 + ( - 1) n . 2 n + ( - 1) n -1
n an +1 = n ! !"!" a1 > 0, a1 ¹ 1 !"!!!!!!!!!!!!!!!!"#$% {a n }!"#$! 2
x1 = - 1 , x 2 = 1, x 3 =!!!! i, x 4 = -!!! x 3 =!!!!!!"( i = x "#$%&’!! !!!!! ! ! ! ! !!!!! !!!! !!!!!! !!!!!!!!! !!!!! 2
２
（ １! 华 中 师 范 大 学 数 学 与 统 计 学 院 ， 湖 北 武 汉 ４３００７９ ； ２． 浙 江 省 奉 化 市 波 导 股 份 有 限 公 司 研 究 院 ， 浙 江 奉 化 ３１５５００ ）
摘 要： 数列的通项公式是研究、 探讨数列问题的重要渠道。递推数列是各类数学竞赛的热点之一。本 文通过实例介绍递推数列通向公式的几种特殊求法。 关键词： 递推数列； 通向公式； 特征根法； 数学归纳法； 不动点法； 母函数法 中 国 分 类 号 ： Ｇ６３３ 文献标识码： Ａ 文 章 编 号 ： １００７－ ４２６０（ ２００６ ） ０１－ ００４６－ ０３
定理 ４ 设
f (u ) =
・ ４８ ・
安庆师范学院学报 （ 自然科学版 ）
２００６ 年
⑵ 若 ｆ 只有唯一不动点 ｐ ， 则
1 1 2c = + k !!!!!!!! ! （ 这里 k = u n - p u n -1 - p a+d
2 an 2 ( x + 2) f ( x ) = x !"#$% p = 2, q = -1 !"#! !!!"#$%&’"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"#$% f ( x) = 1 + = x x an - 2 1 a -2 1 a +1 - 2 a n + 2 - 2 a n 1 a -2 = ( - ) n -1 1 = (- )n , !! n ! ! != ! ! ! ! ! ! = !! !× !n ! ! ( n "! ! #$%&’!!! 1). an +1 2 a1 + 1 2 a n +1 + 1 an + 2 + an 2 an + 1 a n +1 = 1 + ( n1)#$ a n !! ! "#! {a n }!" a1 = 1 !"!!!!!!!!!!!!"!
n n
u 0 = 2 ! u1 =
5 2 ! u n +1 = u n (u n -1 - 2) - u1 ( n≥ 1) 2
[u n ] = 2
分析
［ｘ］表示不超过 ｘ 的最大整数 ） （ 第 １８ 届 ＩＭＯ 第 ６ 题 ， １９７６ 年 ）
此题递推关系较复杂 ， 结论又未给出 ｕｎ 的表达式 ， 不妨通过归纳法探索 ｕｎ 的表达式。
例 １ 已知 ａ１＝ａ２＝０ ， ａ３＝－ ２ ， ａ４＝２ ， ａｎ＋４＝２ａｎ＋３－ ２ａｎ＋２＋２ａｎ＋１－ ａｎ（ ｎ≥１ ） ， 求 ｛ａｎ｝的通项公式。
x 4 = 2 x 3 - 2 x 2 + 2 x - 1， 它的根为 ｘ１＝ｘ２＝１（ 重根 ） ， ｘ３＝ｉ ， ｘ４＝－ ｉ ， 故通项公式为 an = c1 + c2 n + c3i n + c4 ( -i ) n .。由初值条件列出线性方程组 ， 解得待定系数 ：
收稿日期 ： ２００５－ １０－ １３ 作者简介 ： 俞 宏 毓（ １９７７－ ） ， 女 ， 安 徽 宁 国 人 ， 华 中 师 范 大 学 硕 士 研 究 生 ， 专 业 方 向 为 数 学 课 程 与 教 学 论 。
第１期 定理 ２
俞宏毓 １， 高峰 ２： 递推数列通项公式的几种特殊求法 若特征方程 （ ２ ） 有 ｋ 重根 λ ， 则对应递归方程 （１）所确定的数列 ｛ａｎ｝的通项公式为
x4 + 6x2 +1 4 x ( x + 1)
a 4 + 6a 2 + 1 4a n ( a n + 1)
3Байду номын сангаас3
3 3
a n +1 + 1 a +1 4 ( a + 1) 4 + ( a1 - 1) 4 an = 1 . ) , =( n p = 1, q = -1 !"#$%&!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"#$%&’! ( a1 + 1) 4 - ( a1 - 1) 4 a n +1 - 1 an - 1
1 an = (3n-1 + 1), 2
２
例３ 数学归纳法
bn = 3a n +1 - 6 a n =
3 n -1 (3 - 1). 2
求证 ： 对任意自然数 ｎ ，
对于非线性递推数列 ， 可以先用不完全归纳法猜测通项公式或求和公式 ， 再用数学归纳法证明。 数列 ｛ｕｎ｝定义为 ：
2 -( -1) （ 3
程相应的代数方程
（１）
其中 ｎ∈Ｎ ， λ 为 ｋ 阶线性递归数列 ， （１）称为 ｛ａｎ｝的递归方程。 与递归方 １， λ ２， … λ ｋ 是常数 ， λ ｋ≠ ０ ， 则称 ｛ａｎ｝
x k = l1 x k -1 + l2 x k - 2 + L + lk (lk ¹ 0)
（２）
称为 ｋ 阶线性递归数列 ｛ａｎ｝的特征方程。 利用特征根法求线性递归数列通项的依据是如下两个定理 ， 这里略去定理的证明。 定理 １ 若特征方程 （ ２ ） 有 ｋ 个相异根 ｘ１，ｘ２， … ｘｋ， 则对应递归方程 （１）确定的数列 ｛ａｎ｝的通项公式为
un = 2
时 ， ｕｎ＝２ ＋２
ｆ（ｎ） － ｆ（ｎ）
2 -( -1) 3
n
+2
-
问题转化为证明这一猜想 ， 再证 ２ｎ－ （－ １）ｎ 可被 ３ 整除。为简便计 ， 令
f (n) =
2 - ( -1) 3
n
n
， 当 ｎ＝０ ， ｎ＝１
成立。假设 ｎ＝ｋ－ １ 和 ｎ＝ｋ 时 （ ３ ） 式成立 ， 则 ｎ＝ｋ＋１ 时 ， 由 ｕｎ 的递推关系及
解 当 ｎ＝１ 时 ，
u 2 = 2 + 2 -1 = 2
-1
n
2 2 - ( -1) 2 3
+2
-
2 2 - ( -1) 2 3
n
,
2 n -( - 1) n
ｎ＝２ 时 ，
u3 = 8 + 8 = 2
3
2 -( -1) 3
n n
+2
-
2 - ( - 1) n 3
,
…… ， 由此可以猜想 ：
＼ （３）
! ! ! f ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + L + an x n + L, ! ! - 5xf ( x) = -5a0 x - 5a1 x 2 - L - 5an-1 x n - L, ! ! ! !
n -1 n -1
n -1
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成立。
故 ｆ（ｎ）
为正整数 ， ２－ ｆ（ｎ） 为 （０，１） 内的纯小数 ， 所以
[u n ] = [ 2 f ( n ) + 2 - f ( n ) ] = 2 f ( n )
用代换方法求数列通项时 ， 可用不动点法帮助寻找合适的代换不动点法的定义和定理如下。 定义 ３ 定理 ３ 方程 ｆ（ｘ）＝ｘ 的根称为函数 ｆ（ｘ）的不动点。利用递推数列 ｆ（ｎ）的不动点 ， 可将某些递推关 若 ｆ（ｕ）＝ａｕ＋ｂ（ａ≠０ ， ａ≠１ ） ， ｐ 是 ｆ 的不动点 ， ｛ｕｎ｝满足递推关系 ｕｎ＝ｆ（ ｕｎ－ １） （ ｎ＞１ ） ， 则 ｕｎ－ ｐ＝ａ 系 ａｎ＝ｆ（ａｎ－ １）所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列 ， 这种方法称为不动点法。 （ ｕｎ－ １－ ｐ ） ， 即 ｛ｕｎ－ ｐ｝是公比为 ａ 的等比数列。
由 递 归 方 程 消 去 ｂｎ， ｂｎ ＋１ 得 ：
本 题 涉 及 两 个 递 归 数 列 ｛ａｎ｝和 ｛ｂｎ｝， 可 利 用 解 代 数 方 程 组 的 消 元 法 分 别 得 出 每 个 数 列 的 递
然后求解。略解， 代入得 ：
an + 2 - 4an+1 + 3an = 0,
用特征根法求出
n + L + ck xkn , an = c1 x1n + c2 x2
其中 ｃ１，ｃ２， … ｃｋ 是如下线性方程组的唯一解 ，
ìc1 x1 + c2 x2 + L + ck xk = a1 , ï 2 2 2 ïc1 x1 + c2 x2 + L + ck xk = a2 , í ïLLLLLLLLL ïc x k + c x k + L + c x k = a . 2 2 k k k î1 1
１ 特征根法
一般来说 ， 线性递归数列的通项可利用特征方程及 性 质 求 出 ， 称 为 特 征 根 法 。 首 先 给 出 线 性 递 归 数列及其特征方程的定义。 定义 ２ 若数列 ｛ａｎ｝从第 ｋ 项以后任一项都是其前 ｋ 项的线性组合 ， 即
an + k = l1an+ k -1 + l2 an + k - 2 + L + lk an
・ ４７ ・
an = (c1 + c2 n + L + ck n n -1 )ln , 其中 ｃ１，ｃ２， … ｃｋ 是如下线性方程组的唯一解 ， ì(c1 + c2 + L + ck )l = a1 , ï k -1 2 ï(c1 + 2c2 + L + 2 ck )l = a2 , í ïLLLLLLLLL ï(c + kc + L + k k -1c )lk = a . k k 2 î 1
f ( k ) + 2 f ( k - 1) = f ( k + 1), 2 f ( k - 1) - f ( k ) = ( - 1) k ,
可证
uk +1 = 2 f ( k +1) + 2 - f ( k +1) , 又由 f ( n ) =
３ 不动点法
2 n - ( - 1) n ( 2 + 1)( 2 n -1 - 2 n - 2 + 2 n - 3 - L ) , = 3 3
数列是数学的重要内容之一 ， 而数列的通项公式又 是 研 究 、 探讨数列问题的重要渠道。递推数列 一直是各类数学竞赛的热点之一。本文给出递推数列的定义 ， 以及几种特殊求法。 定 义 １ 对 任 意 ｎ ∈Ｎ ， 由 递 推 关 系 ａｎ＋ｋ＝ｆ（ａｎ＋ｋ－ １，ａｎ＋ｋ－ ２ … ａｎ） ， 确 定 的 数 列 ｛ａｎ｝称 为 递 推 数 列 ， 或 递 归 数 列。若 ｆ 是线性的 ， 则称此数列为线性递推数列 ， 否则称为非线性递推数列。