大学理论力学 空间力系的平衡方程.

X
0
Y 0
M
z
0
结论：任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两 个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以 及各力对于任一点的矩的代数和也等于零。上式为 平面任意力系的平衡方程。
二力矩式
X 0
三力矩式
M
A
0
M
B
0
条件是：AB两点的连线不能与 x 轴或 y 轴垂直
M
A
0

FAy
q MA
A
FAx
FAy p Fsin30 300kN
MA M 1 q 3l l Fsin30 l Fcos30 3l 1188kN 2

例4 塔式起重机如图。机架重为P1=700KN，作用线通过塔架的 中心。最大起重量P2=200KN，

F A y p Fsin30 0 Fy 0
3l
P
MA( F ) 0
1 MA M q 3l l Fsin30 l Fcos30 3l 0 2 解方程得 1 FAX Fcos30 q 3a 316.4kN 2

MA( F ) 0 Fy 0
解方程得
P3(6 2) 2P1 P2(12 2) 4FB 0
FA FB P1 P2 P3 0 1 FB (14P2 2P1 4P3) 870KN 4
FA 210KN 验证： MB( F ) 0 P3(6 2) 2P1 P2(12 2) 4FA 0 1 FA (10P2 2P1 8P3) 210KN 4
例3 自重为P=100KN的T字形刚架ABD，置于铅垂面内，载 荷如图示。其中M=20KNm,F=400KN, q=20KN⁄m,l=1m。求固定端 A的约束力。
l 30 ° F 3l B
l
M
D
P A
q
解：选T字形刚架ABD为研究对象。
l 30 ° F B
l
M
D
Fx 0
1 FAX q 3a Fcos30 0 2
最大悬臂长为12m，轨道AB的间
距为4m。平衡荷重P3，到机中心 距离为6m。求： （1）保证起重机在满载 和空载时都不致翻倒，平 衡荷重P3 为多少？ （2）当平衡荷重P3 =180KN时， 求满载时轨道A 、 B给起重机 轮子的反力？
P3
P1 6m 12m P2
A
B
2m 2m
FA
FB
解：选起重机为研究对象。 （1）要使起重机不翻倒，应使作用在起重机上的力系满足平 衡条件。 满载时，为使起重机不绕点B翻倒，力系满足平衡方程
MA( F ) 0
P3max(6 2) 2P1 0
2 P3max P1 350KN 4
起重机实际工作时不允许处于极限状态，要使起重机不翻 倒，平衡荷重P3应在两者之间，即：
75KN<P3 < 350KN
（2）取P3 =180KN，求满载时作用于轮子的反力FA和FB。由 平面平行力系的平衡方程 ：
3 1 FB p q a 4 2
1 3 FAy p q a 4 2
如图所示简易吊车，A、C处为固定 例2： 铰支座，B处为铰链。已知AB梁重P=4kN， 重物重Q=10kN。求拉杆BC和支座A的约束 反力。 解： 以AB及重物作为研究对象；
FAx FBC cos 30 0 X 0， FAy FBC sin 30 P Q 0 Y 0 ， FBC AB sin 30 P AD Q AE 0 M A (F ) 0 ，
q
A
2a 4a
P
M
B
FAy 解：选梁AB为研究对象。
q FAx
2a
P
M
FB
B
Fx 0
FAx 0
A
Fy 0
FAy q 2a p FB 0
MA( F ) 0
解方程得
4a
FB 4a M p 2a q 2a a 0
FAx 0
例5 图示组合梁（不计自重）由AC和CD两部分铰接而成。 已知：F=10KN， P=20KN，均布载荷 q=5KN/m，梁的BD段受线性 分布载荷，q0=6KN/m，求A和B处的约束反力。
P q F q0 B 0.5m 1m FB q0 B 1m D 1m D
解:（1）选CD为研究对象。 A
C 1m FCy 1m F
15 .01 kN F Ay 5 . 3 kN
Ax BC
C
A D
E 3m 1m 2m
B
C
F Ax 解得：
FBC 17 .33 kN
FAy
A
F F cos30 0 X 0， M ( F ) 0 ，F AB sin 30 P AD Q AE 0 M ( F ) 0 ，P DB Q EB F AB 0
MC( F ) 0
0
0.5m
1 1 FB 0.5F q 1 (1 ) 0 2 3
解得
1 1 FB 0.5F q 1 (1 ) 9KN 2 3
0
C FCx 0.5m 1m
（2）选梁整体为研 究对象。
FAy
P q
C
F
FB q0 B 1m
X 0 FAx 0
空间约束的类型举例
空间约束
观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动） 可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束 反力。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。 1、球形铰链
2
2、向心轴承，蝶铰链, 滚珠（柱）轴承
3
止推轴承
4
带有销子的夹板
5
空间固定端
6
3. 力系的平衡
3.1力系的平衡条件和平衡方程
0
解得
MA 22.5KN
A BC B Ay
FBC
D E B
FAx
M M M
A B C
( F ) 0 ，FBC AB sin 30 P AD Q AE 0 ( F ) 0 ，P DB Q EB FAy AB 0 ( F ) 0 ，FAx AC P AD Q AE 0
各力矩方程都成为了恒等式。
X 0 Y 0 Z 0
（3）空间力偶系的平衡方程 由于力偶在任意轴上的投影为零，则方程 中的投影式自然满足，所以空间力偶系的平衡 方程为
M x 0 M y 0 M 0 z
（ 4）平面任意力系的平衡方程 平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇 交为一点又不相互平行的力系叫平面任意力系. 取力系所在平面为Oxy平面则平面任意力系的平 衡方程为：
MB( F ) 0。在临界情况下，FA=0。求出的P3 值是所允许的最
小值。
MB( F ) 0
P3min(6 2) 2P1 P2(12 2) 0 1 P3min (10P2 2P1) 75KN 8
空载时，为使起重机不绕点A翻倒，力系满足平衡方 程 MA( F ) 0 。在临界情况下，FB=0。求出的P3 值是所允 许的最大值。
空间力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系 中各力在直角坐标系每一坐标轴上投影的代数和为零， 对每一坐标轴之矩的代数和为零。
特例：（1）空间平行力系的平衡方程 令z轴与力系各力的作用线平行，有
Z
i
0
x
M
( Fi ) 0
(Fi ) 0
M
y
（2）空间汇交力系的平衡方程 因为各力线都汇交于一点，各轴都通过该点，故
Fn
O
x
M
A
0
平行力系平衡方程的二力矩式：
M
A
0
M
B
0
3.2平面任意力系平衡方程的应用
例1 图示水平梁AB，A端为固定铰链支座，B端为一滚动支座。 梁长为4a，梁重P，作用在梁的中点C。在梁的AC段上受均布载 荷q作用，在梁的BC段上受力偶作用，力偶矩M = Pa。求A和B 处的支座约束力。
M
B
0
M
C
0
条件是：ABC三点不能共线 上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
平面平行力系的平衡条件和平衡方程
如图：物体受平面平行力系F1 ， F2 ， …， Fn的作用。 如取 x 轴与各力垂直，不论力系是 否平衡，恒有 X 0 则平行力系的独立平衡方程为 ： Y 0
y
F1
F2 F3
3.1.1平衡条件 从空间力系的简化结果可得到空间力系平衡 的必要和充分条件是力系的主矢和对任一点的主 矩为零，即：
F 0
' R
M0 0
3.1.2空间任意力系的平衡方程
X M
i
x ( Fi ) 0 , M y ( Fi ) 0 , M z ( Fi ) 0
0 , Yi 0 , Z i 0
Y 0
MA A FAx 0.5m 1m
D
1 FAy FB F p q 1 q 1 0 2 解得 FAy 29KN
0源自文库
1m
0.5m 1m
MA( F ) 0
1 1 MA 3FB 2.5F 0.5P q 1 1.5 q 1 (3 ) 0 2 3