华中科技大学-杨超-运筹学13-存储论

t1 t
t1 t
R(t-t1) 天数
决策变量: S 和 t
存储费
1
t时间平均储量:
S 2
t时间的存储费: 2 1C1S1t2 1C1S R 2 (因 t1R S）
缺货费
平均缺货量:
1 2 R( t t1 )
t时间内的缺货费 2 1C 2R (t t1)t( t1)2 1C 2(RR S t)2
解：P = 500, R = 100, C3 = 5, C1 = 0.4
Q 0
2C 3RP C 1(PR)
2510500 056 0.4(501 00)0
C (t0)2C 1C 3R(PP R)20.4510(505 01 0 00 0)0 1.8 79
模型4: 边供应边需求，允许缺货的经济批量 模型
假设
➢ 允许缺货； ➢ 不能立即补充定货，生产需要一定时间； ➢ 需求是连续的、均匀的； ➢ 每次订货量不变，订购费用不变（每次生产量不变，
装配费不变）； ➢ 单位存储费不变。
假设：C1 -- 单位存储费用
存储量
Ｑ
C3 -- 每次订购费用 P -- 生产速度
C2 -- 缺货费 R -- 需求速度
Ｓ
13.1 确定型经济订货批量模型
模型1: 瞬间供货， 不允许缺货的经济批量模型
假设
➢ 缺货费用无穷大； ➢ 当存储降至零时，可以得到立即补充； ➢ 需求是连续的、均匀的； ➢ 每次订货量不变，订货费用不变（每次生产量不变，
装配费不变）； ➢ 单位存储费不变。
经济订货批量
接收
存储消耗
订货
(需求率为Ｒ)
第十三章 存储论
13.1 确定型经济订货批量模型 13.2 单周期随机需求模型
存储论的提出
• 水库蓄水问题; • 生产用料问题; • 商店存货问题; 等
？？ ？
存储论的基本概念
存储系统 是一个由订货、存储、需求三个环节紧密构成的现 实运行系统。 输 入订 购 进 货(库 仓 存 库 量 )供 给 需 求 输 出
模型3: 边供应边需求，不允许缺货的经济批量 模型
假设
➢ 缺货费用无穷大； ➢ 不能得到立即补充，生产需一定时间； ➢ 需求是连续的、均匀的； ➢ 每次订货量不变，订购费用不变（每次生产量不变
，装配费不变）； ➢ 单位存储费不变。
存储量
T 天数
存储量
T 天数
存储量
Ｔ
t
Ｔ
t
T 天数
假设：Q -- 生产批量
S
P-R R
t1
0
t2 t3
t
天数
缺货费用：最大缺货量：B = Rt1 = (P - R)(t2 - t1)
存储量
平均缺货量：(1/2)Rt1 得：t1 PPRt2
[0, t] 内缺货费用1/2Bt2c2
R P-R S
t1
0
t2 t3
t
天数
B
存储费用：最大存储量：S = R(t - t3 ) = (P - R)(t3 - t2)
主要作用 将供给与需求分离，为整个系统的平稳运行提供保 障。
两方面的矛盾：短缺造成的损失和存储形成的费用
需求: 由于需求，从存储中取出一定的数量，使存储量 减少，这是存储的输出。
需求类型：间断的, 连续的;
确定性的, 随机性的
Q
Q
间断需求
连续需求
S
S
W
W
t0
T
T
存储系统、费用和管理
•几种相关的费用 –订 购 费：包括联系、质检、运输、入库等与订购数 量无关的一次性费用 –物资单价：是否与时间有关？是否与批量有关？ –存 储 费：包括保管费、仓库占用费、流动资金利 息、存储损耗费等，与时间和数量成正比 –缺 货 费：两种形式，停产形成的真正损失；商店断 货形成的机会损失
Q 2C3
D Q
为求出 C(Ｑ)的最小值，把Ｑ看作连续的变量 d dC Q C ( 1Q 2 Q C 3) Q D 0 C 2 1 C 3Q D 2 Q 0C C 3 1 D
最佳批次 最佳周期
n0
D Q0
C1D 2 C3
t0
2C3 C1D
另外：t0 要取整数。
模型2: 瞬时供货，允许缺货的经济批量模型
存储策略
How ？ Much？
存储策略的类型：
When !
t0 -循环策略: 每隔 t0补充存储量 Q。
(s, S)策略:
当存量 x>s 时不补充, 当存量 x <= s 时, 补充量
Q = S - x。
(t, s, S)策略:
每隔 t 时间检查存储量, 当存量 x > s 时不补充,
当存量 x <= s 时, 补充量 Q = S - x。
C1
C2
最大缺货量为：
Q 0 S 02 R C 13(C 1 C 2 C 2)2 R C 13(C C 1 C 2 C 2)C 2 2 (R C 1 3 C C 1 C 2)
例：某厂每月需甲产品100件，每月生产率为500 件，每批 装配费用为5元，每月每件产品存储费用为0.4元，缺货 费用为0.15元，求E.O.Q及最低费用。
订货费：C3
t期间内的平均总费用 C (S ,t)1 t(C 12 S R 2 C 2(R 2 R S t)2 C 3)
上式对t和S求偏导：
C(S,t) C(S,t)
0
0
S
t
对S和t求偏导, 令其等于零, 求解得:
t0
2C3(C1 C2 ) C1RC2
S0
2C3RC2 C1(C1 C2 )
K3
0QQ1 Q1 QQ2 Q2 Q
Q1
Q2
Ｑ
单价 K(Q)
Ｋ1 Ｋ2
Ｋ3
Q1
Q2
Ｑ
当订购量为 Q 时，一个周期内所需费用为：
1 2
C
1Q
Q R
C
3
K
(
Q
)Q
Q [0 ,Q1 )
1 2
C 1Q
Q R
C
3
K
1Q
Q [Q1 ,Q2 )
1 2
C 1Q
Q R
C
3
K
2Q
Q Q2
1 2
C 1Q
Q R
C3
解 设全年分 n 批供货，每批生产量 Q＝D／n，周期为
1/n 年(即每隔 1/n 年供货一次)。
每个周期内平均存储量为(1/2)Q，
每个周期内的平均存储费用为
11 2C1Qn
C1Q 2n
全年所需存储费用 C1QnC1Q
2n
2
全年所需装配费用
C3
n
C3
D Q
全年总费用(以年为单位的平均费用)，
C(Q)C1
t1
0
t2 t3
t
天数
取 [ 0, t ] 为一个周期，设 t1时刻开始生产。
[ 0, t2 ] 时间内存储为零，B为最大缺货量。
[t1, t2 ] －满足需求及[ 0, t1 ] 内的缺货。
存储量
[t2, t3 ] －满足需求，存储量以P-R速度增加。
t3时刻达到最大。
[t3, t ] －存储量以需求速度R减少。
T -- 生产时间
P = Q/T -- 生产速度 R -- 需求速度 (R < P)
P - R -- 存储速度 (生产时，同时也在消耗) 存储量
斜率 = -R
斜率 = P-R
Ｑ
Ｔ
t
Ｔ
t
天数
决策变量: t 和 Q
在[0,T]区间内存储以P-R速度增加，在[T,t]内存储以R 速度减少。且有(P-R)T = R(t-T) ，即 PT = Rt，
所以 T = Rt/P
又因 Q = PT，所以 Q = Rt
存储状态: I () ((P P--))T R R -R (-T) [[0 T,,t]]T
每一期的存储量:
tI()d1(P-R)Tt
0
2
每一期的存储费:
1 2C1 (P-R)Tt
生产费(订货费)： 不考虑变动费: C3 单位时间总平均费用
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最佳生产间隔期
t0
2C3 C1R
P PR
C1C2 C2
最佳生产批量
Q0
2C3R C1
P C1C2 PR C2
最大存储量 最大缺货量
S0
2C3R C1
PR C2 P C1C2
B0
2C1C3R (C1C2)C2
PR P
最小费用： mC i(tn 0,t2)C 02 C 1 C 3RP P RC 1 C 2 C 2
C(t)1 t(2 1C1(PR)TtC3)2 1C1(PR)TC t3 2 1C1(PR)R PtC t3
dd (C t)t2 1 PC 1R (PR )C t2 30
t0
2C3P C1R( PR)
最佳周期
Q0 R0t
2C3RP C1(PR)
最佳批量
最佳费用
(PR) C(t0) 2C1C3R P
补充(订货和生产)：由需求存货减少，必须加以补充，这 是存储的输入。
拖后时间(订货时间): 补充存储的时间或备货时间
订货时间：可长，可短， 确定性的, 随机性的
单位存储费用 C1
缺货费用 C2
常 用 的
订货费用C3 需求速度 D
变 订货数(批)量 Q
量 货物单价 K
订货时间间隔 t
总平均费用 C(t)
RtC1/2
t 时间内的平均总费用 C(t)Ct3KR 2 1C1R
求极小值(用微分方法)
ddC (tt)C t232 1C1R0
最佳订货间隔
t0
2C 3 C1R
最佳订货批量
Q0 Rt0
2C3R C1
最佳费用
C (t0)C 3 C 2C 1R 32 1C 1RC 2C 1R 32C 1C 3R
存储量
平均存储量: (1/2)(P - R)(t3 - t2) 得： t3 P Rt(1P R)t2
R P-R S
t1
0
t2 t3
t
天数
B
[0, t] 内存储费用:1/2(t-t2)SC1
2 1 C 1 ( P R )t3 ( t2 ) ( t t2 ) 2 1 C 1 ( P R ) P R ( t t2 ) 2
模型5:不允许缺货，批量折扣模型
假设
➢ 不允许缺货； ➢ 立即补充定货，生产时间很短； ➢ 需求是连续的、均匀的； ➢ 每次订货量不变，订购费用不变； ➢ 单位存储费不变。 ➢ 单价随购物数量而变化。
记货物单价为 K(Q)，设K(Q)按三个数量级变化：
单价 K(Q)
Ｋ1 Ｋ2
Ｋ3
K1 K(Q)K2
装配费用：C3
t 时间内总平均费用：
C (t,t2)1 t(2 1C 1(PR)P R(tt2)22 1C 2(PR)P Rt22C 3) 2 1(PR)P R[C 1t2C 1t2(C 1C 2)t2 t2]C t3
上式对 t和 t2 求偏导数得：
C(tt,t2)2 1(PR)P R[C 1(C 1C 2)t22(t1 2)]C t2 30 C (tt2 ,t2)2 1(PR)P R[2C 12(C 1C 2)t21 t]0
最佳生产时间
T0
Rt 0 P
2C 3 R C1P( P R )
与模型 1比较 , 仅差因子 : P PR
当P 时, P 1 PR
库存的最高量
S0Q0R0T
2C3R(PR) C1P
例：某厂每月需甲产品100件，每月生产率为500 件，每批装配费用为5元，每月每件产品存储 费用为0.4元，求E.O.Q及最低费用。
解：P = 500, R = 100, C3 = 5, C1 = 0.4， C2 = 0.15，
S0C 1 2 (R C 1 3C C 22)02 .4 1 (0.0 4 0 .0 1 0.1 5 5)526
C(t0)
2C1C3R(C1C 2C2)
20.451000.15 0.40.15
1.0 46
C(t0) 2C1C3R(C1C2C2)
与
模1比 型较 ,仅
差
因 : 子C2 (C1C2
， )
当 C2 时,
C2 1 C1C2 最佳周期 t0是模型1的最佳周期 t 的
(C1 C2 ) C2
倍，
又由于 (C1 C2 ) 1 ，所以两次订货时间延长了。 C2
不允许缺货量，订货量为
R0t
2RC3 (C1C2 )
Annual cost (dollars)
Total cost = HC + OC
C(t)
1/2C1Rt
C3/t
Holding cost (HC)
Ordering cost (OC)
t0 Lot Size (Q)
例1 某厂按合同每年需提供 D 个产品，不许缺货。假设每
一周期工厂需装配费 C3 元。存储费每年每单位产品为 C1 元，问全年应分几批供货才能使装配费、存储费两者 之和最少。
K
3Q
平均每单位货物所需费用为：
C1(Q)
1 2
C1
Q R
C3 Q
K1
Q[0,Q1 )
C2(Q)
1 2
C1
Q
平均
—Q2
存储量
t0
假定每隔 t 时间补充一次库存
R -- 单位时间的需求量
Rt -- t时间内的总需求量
Q = Rt -- 订货量
订货费
C3 -- 订货费，K -- 货物单价
订货费为:
C3 + KQ= C3+KRt
平均订货费:
C3/t+KR
存储费
平均存储量 :
Rt/2
单位时间存储费: C1
平均存储费:
假设
➢ 允许缺货； ➢ 立即补充定货，生产时间很短； ➢ 需求是连续的、均匀的； ➢ 每次订货量不变，订货费用不变（每次生产量不变，
装配费不变）； ➢ 单位存储费不变。
存储量
t1 t
t1 t
天数
假设：C1 -- 单位存储费用
C3 -- 每次订货费用 S -- 最初存储量 存储量
S
S =Rt1
C2 -- 缺货费 R -- 需求速度