第二讲 金融工程基础知识

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（元）
第二节 单利与复利
所谓单利，是指货币投资的累计利息与 投资年限成正比关系，即每年投资产生 的利息等于利息率r与初始投资的乘积。 如果初始投资为A，以单利r计息，则n年 后该投资的总价值V为： V=(1+rn)A
（一）复利的含义
所谓复利，即第一年所得利息r会加到初始的本金A 之中，从而第二年记息的本金额会增大。也就是说， 复利是对利息进行记息。 在复利情况下，若初始本金为A，则一年后本金为 A(1+r)，两年后为A(1+r)2，n年后即为A(1+r)n。即复 利下，投资额会随着时间的推移而呈几何式加速增长。
注：折现率为10% 折现率为10%
（2）不同时点收到的现金流的现值总和： 不同时点收到的现金流的现值总和： 总和
PV = ∑ CFt (1 + k t ) −t
t =1 n
（3）净现值 一个投资机会的净现值定义为该投资机会 一个投资机会的净现值定义为该投资机会 净现值 的现金流的现值总和。 的现金流的现值总和。 来表示。 常用 NPV 来表示。
Q PV = ∑ CFt (1 + k t ) −t
t =1 n
CFt ≡ CF , k t ≡ k ,
∴ PVA = ∑ CF (1 + k ) −t
t =1
n
1 t = CF ∑ ( ) t =1 1 + k −n 1 − (1 + k ) = L = CF × k
n
举例： （4）举例： 某企业拟租入一台设备， 例：某企业拟租入一台设备，每年年末 要支付租金10000 10000元 设银行利率为10% 10%， 要支付租金10000元，设银行利率为10%， 年中租金的现值应为多少？ 则5年中租金的现值应为多少？ 解：Q CF = 10000, k = 10%, n = 5
（4）现值计算 将未来时间点上的现金流数值折现为 当前时点（零时刻） 当前时点（零时刻）上的现值而进行的 时间价值分析被称为“现值计算”。 时间价值分析被称为“现值计算” 将来值（或终值） （5）将来值（或终值） 现值计算的逆运算称为“终值计算”， 现值计算的逆运算称为“终值计算” 其计算公式为： 其计算公式为： t FV = PV (1 + r ) 其中， 为利率。 其中，r 为利率。
某人每年年末存入银行2000 2000元 例：某人每年年末存入银行2000元，年 利率为7% 7%， 年后的本利和应为多少？ 利率为7%，则5年后的本利和应为多少？ 解：将 CF = 2000 r = 7% 代入下面的公式
(1 + r ) n − 1 FVA = CF × r (1 + 7%)5 − 1 FVA = 2000 × 7% = 2000 × 5.7507
时间 大小
折现率为 10%的现值 10%的现值
折现率为 时间 大小 折现率为 25%的现值 10%的现值 25%的现值 10%的现值
折现率为 25%的现值 25%的现值
1 $500 2 600 3 700 4 800 合计 2600 净现值
454.55 495.87 525.92 546.41 2022.75 822.75
二、资金的时间价值 1、资金的时间价值涵义 资金的时间价值是指资金在投资和再投 资金的时间价值是指资金在投资和再投 资中随时间延续所增加的价值。 资中随时间延续所增加的价值。它一般 用相对数字（ 表示。 用相对数字（%）表示。 2、资金时间价值的计算 对含有时间价值的现金流进行估值， 对含有时间价值的现金流进行估值， 一般是将这种现金流通过“折现” 一般是将这种现金流通过“折现”的方 法变为“现值” 这种“折现” 法变为“现值”。这种“折现”需要一 折现率” 通常取一种无风险投资 个“折现率”，通常取一种无风险投资 的报酬率。 的报酬率。
r 1 i= ( + ) -1 m
m
不同计息周期情况下的实际利 率的计算比较
计息周期 一年内计息周期数(m) 年名义利率(r)% 期利率(r/m)% 年实际利率(i)% 年 1 12.00 (已知) 12.00 12.000 半年 2 12.00 (已知) 6.00 12.360 季度 4 12.00 (已知) 3.00 12.551 月 12 12.00 (已知) 1.00 12.683 周 52 12.00 (已知) 0.2308 12.736 日 365 12.00 (已知) 0.03288 12.748 连续计息 ∞ 12.00 (已知) →0 12.750
三、时间价值的敏感性分析 1、折现率与现值成反比
CFt PV = = CFt (1 + k t ) −t t (1 + k t )
2、折现率的变化对投资机会的影响
以10%和25%折现的现值（初始成本为$1200） 10%和25%折现的现值（初始成本为$1200） 折现的现值 $1200
投资机会A 投资机会A 投资机会B 投资机会B
1 − (1 + k ) − n ∴ PVA = CF × k −5 1 − (1 + 10%) = 10000 × 10%
= 10000× 2.487 = 24870 （元）
未来值年金(FVA) (FVA)的计算 2、未来值年金(FVA)的计算
(1 + r ) − 1 FVA = CF × r
n
第二讲 金融工程基础知识
第一节 现金流与时间价值
现金流： 1、 现金流：是指由于投资项目所引起的企 业现金流入和现金流出的总称（ 业现金流入和现金流出的总称（支出或收入 的款项）。 的款项）。 收入的款项称为现金流入 收入的款项称为现金流入，而支出的款项 则成为现金流出（代表成本）。 则成为现金流出（代表成本）。 现金流入的构成要素包括：销售收入、 现金流入的构成要素包括：销售收入、资 产回收、补贴；现金流出的构成要素包括： 产回收、补贴；现金流出的构成要素包括： 投资支出和经营成本。 投资支出和经营成本。
四、净现值理论的应用
（1）定义：年金是在相等时间间隔内发 定义：年金是在相等时间间隔内发 生等额系列支付的现金流。 生等额系列支付的现金流。 1、现值年金(PVA)的计算 现值年金(PVA) (PVA)的计算 （2）公式： PVA = CF × 1 − (1 + k ) 公式： k
−n
公式推导： （3）公式推导：
3、净现值曲线
1600 净 现 1400 值 1200 1000 800 600 400 200 0 -200 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 现
观察图所得结论： 观察图所得结论：
① NPV > 0 ，投资具有吸引力； 投资具有吸引力； ② NPV = 0 ，投资并非不具有吸引力； 投资并非不具有吸引力； ③ NPV < 0 ，投资应该避免。 投资应该避免。
现金流序列： 3、现金流序列：用来描述某一投资的一 整套现金流称为现金流序列。 整套现金流称为现金流序列。 一个现金流序列可能是确定地知道的， 一个现金流序列可能是确定地知道的， 也可能是不确定地知道的。 也可能是不确定地知道的。 其确定性程度越大， 其确定性程度越大，则其相关的投资机 会的风险就越小。 会的风险就越小。
400.00 384.00 358.40 327.68 1470.08 270.08
1 $900 2 600 3 500 4 400 合计 2400 净现值
818.18 495.87 375.66 273.21 1962.92 762.92
720.00 384.00 256.00 163.84 1523.84 323.84
（1）单个时点上现金流的现值： 单个时点上现金流的现值： 当将未来的某个现金流折现成当前时 点的现金流（即现值） 点的现金流（即现值）时，一般采用 复利”计息方法。 “复利”计息方法。设 t 时刻收到的现金流为 CFt ， 时刻的现金流的折现率为 k ， t 则 t 该现金流的现值公式为： 该现金流的现值公式为： CFt PV = = CFt (1 + k t ) −t t (1 + k t )
公式推导： 公式推导：
FVA = ∑ CF (1 + r ) n −t
n t =1
+ CF (1 + r ) n 1 t n = CF (1 + r ) ∑ ( ) t =1 1 + r
= CF (1 + r )
n −1
n−2
+ L + CF (1 + r ) + CF
(1 + r ) n − 1 = L = CF × r
现金流可以以任何种货币的形式表示。 现金流可以以任何种货币的形式表示。 企业对投资方案的评价和分析， 企业对投资方案的评价和分析，其主要 依据是投资的现金流。 依据是投资的现金流。 现金流的三个重要特征： 2、现金流的三个重要特征： 大小或数量； （1）大小或数量； 方向； （2）方向； 发生的时间。 （3）发生的时间。
可以看出，复利计息周期越短， 可以看出，复利计息周期越短，年名义利率与年实际利率差 别越大，年实际利率越高。 别越大，年实际利率越高。
♦ 某顾客向银行存入本金
p 元， 年后他在银行 n
的存款是本金及利息之和。 的存款是本金及利息之和。设银行规定年复利 率为 r ，试根据下述不同的结算方式计算顾客 n 年后的最终存款额。 (1) 每年结算一次； 每年结算一次； r （2）每月结算一次，每月的复利率为 12 ； ）每月结算一次， （3）每年结算 m次，每个结算周期的复利率 ） 的增加而增加； 为 r 。证明最终存款额随m的增加而增加； m （4）当趋于无穷时，结算周期变为无穷小，这 ）当趋于无穷时，结算周期变为无穷小， 意味着银行连续不断地向顾客付利息，这种存 意味着银行连续不断地向顾客付利息， 款方法成为连续复利 连续复利。 款方法成为连续复利。试计算连续复利情况下 顾客的最终存款额。 顾客的最终存款额。
4、投资机会的对比
两个投资机会A和B的现金流对比 两个投资机会A
投资机会A 投资机会A 时间（ 时间（年） 大小（ 大小（$） 投资机会B 投资机会B 时间（ 时间（年） 大小（ 大小（$）
1 2 3 4 合计
500 600 700 800 2600
1 2 3 4 合计
900 600 500 400 2400
（三）复利的记息频率
1，复利可以以任何频率进行，如果年利率为r， 每年复利m次，则每期复利的利率为r/m。 2，一年内经m次复利，则增长因子为[1+(r/m)]m。 3，将年利率或银行给定的利率称为名义利率，将复利 后所得到的利率称为有效利率，有效利率r’与名义利率r 之间的关系为： 1＋r’＝ [1+(r/m)]m 4，如果将复利次数无限增加，即在[1+(r/m)]m中， m→∞，则可得到连续复利，即：
投资A和投资B 投资A和投资B的整套现金流及其现值
投资机会A 投资机会A 时间 1 2 3 4 合计 大小 500 600 700 800 2600 现值 454.55 495.87 525.92 546.41 2022.75 时间 1 2 3 4 合计 投资机会B 投资机会B 大小 900 600 500 400 2400 现值 818.18 495.87 375.66 273.21 1962.92
m →∞
lim [1 + (r / m)]m = e r
其中e＝2.71828…，为自然对数的底。此时有效利率 与名义利率的关系为：1＋r’=er
名义利率和实际利率
当每年复利次数超过一次时， 当每年复利次数超过一次时，给定的年利率叫名义 利率，而每年支复利一次的利率为实际利率。 利率，而每年支复利一次的利率为实际利率。 将名义利率调整为实际利率的方法： 将名义利率调整为实际利率的方法： 为实际利率， 为名义利率， 为年复利次数 若 i为实际利率，r为名义利率，m为年复利次数 为实际利率 为名义利率
解： 每年结算一次时，第一年后顾客存款额为： (1)
p1 = p + pr = p (1 + r )
第二年后的存款额为：
p2 = p1 (1 + r ) = p(1 + r )
= p (1 + r )
n
2
根据这种递推关系可知，第n年后顾客的存 款额变为 pn （2）每月结算一次时，复利率为 12 共结算 12n 次，故 n年后顾客的存款额为：