数列型不等式的放缩方法与技巧
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数列型不等式的放缩方法与技巧
雅安市田家炳中学 张有全
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩。以下简要谈谈其方法和技巧：
一 利用重要不等式放缩
1． 均值不等式法
例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2)1(2)1(2
+<<+n S n n n
解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+=
2121)1(+
=++<+ 1∑∑==+<<∴n k n n k k S k ， 即.2 )1(22)1(2)1(2 +<++<<+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2 b a ab +≤，若放成 1)1(+<+k k k 则得2 )1(2)3)(1()1(2 1 +>++=+<∑=n n n k S n k n ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 n a a n a a a a a a n n n n n n 2 211111 1++≤ ++≤ ≤++ 其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。 例 2 已知函数bx a x f 2 11)(⋅+= ，若54 )1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.21 2 1)()2()1(1-+>++++n n n f f f （02年全国联赛山东预赛题） 简析 )221 1()()1()0(2 2114111414)(⨯->++⇒≠•->+-=+=n f f x x f x x x x .21 2 1)21211(41)2211()2211(1 12-+=+++-=⨯-++⨯-++-n n n n n 例3 求证),1(2 2 1321N n n n C C C C n n n n n n ∈>⋅>++++- . 简析 不等式左边=++++n n n n n C C C C 32112222112-++++=-n n n n n 122221-⋅⋅⋅⋅⋅> =2 1 2 -⋅n n ，故原结论成立. 2．利用有用结论 例4 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法1 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 可得 >-⋅⋅122563412n n =+⋅⋅n n 212674523 )12(212654321+⋅-⋅⋅n n n ⇒12)1 22563412(2+>-⋅⋅n n n 即.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 法 2 利用贝努利不等式)0,1,2,(1)1(≠->≥∈+>+*x x n N n nx x n 的一个特例12121)1211(2-⋅+>-+k k (此处1 21,2-= =k x n )得 =-+∏⇒-+>-+=)1211(121212111k k k k n k .121 21 21+=-+∏=n k k n k 注：例4是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是： 证明.13)2 31 1()711)(411)(11(3+>-++++n n (可考虑用贝努利不等式3=n 的特例) 例5 已知函数.2,,10,)1(321lg )(≥∈≤<⋅+-++++=*n N n a n n a n x f x x x x 给定 求证：)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。（90年全国卷压轴题） 简析 本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（Cauchy ）不等式∑∑∑===≤n i i n i i n i i i b a b a 1 21 22 1 ])([的简捷证法： ⇔>)(2)2(x f x f >⋅+-++++n n a n x x x x 2222)1(321lg n n a n x x x x ⋅+-++++)1(321lg 2 2])1(321[x x x x n a n ⋅+-++++⇔ ])1(321[2222x x x x n a n n ⋅+-++++•< 而由Cauchy 不等式得2 ))1(1312111(x x x x n a n ⋅+-⋅++⋅+⋅+⋅ •++<)11(22 ])1(321[22222x x x x n a n ⋅+-++++ (0=x 时取等号) ≤])1(32 1[2222x x x x