郑州大学历届微积分试题(含答案)
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l
→
→
在(0,+∞)内有定义且有连续的导数，还满足f(1) = 1, 求f(x)
微积分（下）理工共 52 页 第 1 页
十二、 （10 分）
xy ⎧ , ( x, y ) ≠ (0,0) ⎪ 2 设f(x, y) = ⎨ x + ( x − y ) 2 ⎪0 , ( x, y ) = (0,0) ⎩ 证明f(x, y)在(0,0)点不连续，但f x (0,0) = f y (0,0) = 0
n==(FxFyFz)=( 2 3, 2 3, 2 3 )
切平面方程 ( x − 3) + ( y − 3) + ( z − 3) = 0 四、 （5 分） 设函数 u（x,y） ，v（x,y）由下述方程组 ⎧ xu 2 + yv 2 = 0 ⎨ ⎩ xu − yv = 1
' x
所确定,求偏导数 u x ，v x
x
y
y⎞ ∂z ∂z ⎛ f ⎜ x − y, ⎟, 其中 f 可微，求 , . ∂x ∂y x⎠ ⎝
/
∂z = ∂x
(x )
y
/
x
y ⎞⎤ ⎛ y⎞ y⎡ ⎛ f ⎜ x − y , ⎟ + x f ⎜ x − y, ⎟ = y ⎢ x⎠ ⎝ x ⎥ ⎣ ⎝ ⎠⎦
x
x
y −1
⎡ / y⎞ y ⎛ f ⎜ x − y , ⎟ + x ⎢ f .1 + 1 x⎠ ⎢ ⎝ ⎣
u 2 + 2uv ' u2 , vx = 两端对 x 求导解， u = 2ux + 2vx 2uy + 2vy ∂2z x 五、 （5 分）设函数 z = f ( x, ), 其中f具有连续的二阶偏导数, 求 2 y ∂x
六、 （5 分）
计算∫∫ xdxdy,其中D是由抛物线y = 3 − x 2与直线y = 1 + x围成的闭区域
十三、 （10 分）(最优价格问题) 假设某电视机厂的生产处于平衡状态： 即生产量等于销售量。 把产量记为
x，再记一台电视机的生产成本为 C，销售价格为 P。根据市场预测，销量 x 与
销售价格 P 有下述关系：x=Me-aP,其中 M，a 都是正的常数，同时，生产部门对
C=C0－klnx,(x≥1),其中 C0、 k 都是正的常数。 产量 x 和单机成本 C 有下述测算：
⎧ ∂u = 2 x cos v + y sin v, ⎪ ⎪ ∂x 以消元法解之，得： ⎨ . ⎪ ∂v = y cos v − 2 x sin v . ⎪ u ⎩ ∂x
四（共 8 分）1。设 S 是锥面 z = 求 ∫∫ ⎛ ⎜x + ⎦
/
y
三． （共 8 分）设 x = u cos v, xy = u sin v ，求
∂u ∂v , . ∂x ∂x
∂u ∂v
⎧ 2 ⎧ ⎪ x = u cos v, ⎪2 x = ∂x cos v − u sin v ∂x , 解：对方程组 ⎨ . 两边同时关于 x 求偏导，得：⎪ . ⎨ ⎪ ⎩ xy = u sin v. ⎪ y = ∂u sin v + u cos v ∂v . ⎪ ⎩ ∂x ∂x
2002 级 微积分(理工)课程试题答案（A 卷）
二、 （5 分） 设u =
z x2 + y2 zy x +y
2
, 求全微分du 1 x + y2
2
du = −
zx x +y
2 2
dx −
2
dy +
dz
三、 （5 分）求球面 x2+y2+z2 =9 上点( 3 , 3 , 3 )处的切平面方程 解：F（x,y,z）= x2+y2+z2 -9
根据上述条件，销售价格 P 为多少时，可使该厂获得最大利润。 （提示：利润＝（P－C）x ） 郑州大学 2003 级 高等数学（下） 理工 课程试题 （A 卷）
一．计算题（每小题 6 分，共 30 分）
1 微分方程 y − 2 y − 3 y = 0 的通解。
解：原微分方程的特征方程为 r 2 − 2r − 3 = 0 。 r1 = −1, r 2 = 3. 所以，原方程的通解为 y = c1 e + c2 e .
f
⎛ y ⎞⎤ 。 ⎜− ⎟⎥ 2 2⎜ ⎟ ⎝ x ⎠⎥ ⎦
/
∂z = ∂y
(x )
y
/
y
y ⎞⎤ ⎛ y⎞ y⎡ ⎛ f ⎜ x − y, ⎟ + x f ⎜ x − y, ⎟ ⎢ x⎠ ⎝ x ⎥ ⎣ ⎝
2
/
=
x
y
⎠⎦
/ y⎞ y⎡ ⎛ ln x. f ⎜ x − y, ⎟ + x ⎢ f .(− 1) + x⎠ ⎝ ⎣ 1
D
七、 （10 分）
计算∫∫ x 3dydz + y3dzdx + z3dxdy,其中S为上半球面z = 1 − x 2 − y 2 ,取上侧
S
八、 （10 分）
计算∫∫ z 2 dS,其中S为锥面z = x 2 + y 2 上介于平面z = 0和z = 1之间的部分
S
九、 （10 分）
→
设向量场 f = (3x 2 y + 8xy 2 , x 3 + 8x 2 y + 12y 2 ), 验证 f 是保守场，求 f 的势函数 十、 （10 分） 设在右半平面x > 0内曲线积分∫ y 2 xdx + xf(x)ydy与积分路径无关，其中f(x)
微积分（下）理工共 52 页 第 2 页
⎧ x,0 ≤ x < 1, 解： y = ⎨ 如图所示。 ⎩2 − x,1 ≤ x ≤ 2.
∫
C
yds = ∫ yds + ∫ yds = ∫ x 2dx + ∫ (2 − x ) 2dx = 2 .
1 2 OA AB 0 1
二． （共 8 分）设 z =
4．交换积分次序： I = ∫ dy ∫ f (x, y )dx 。
⎧ y ≤ x ≤ 1, 解：积分区域 D : ⎨ . ⎩0 ≤ y ≤ 1
C
则 I = ∫ dx ∫ f (x, y )dy.
1 x 0 0
5．求 ∫ yds ，其中 C 是折线段 y = 1− | 1 − x |, (0 ≤ x ≤ 2 ).
−x 3x
//
/
2.设 z = ln ∂z = ∂x
(
x + y ,求 x
)
∂z ∂z +y . ∂y ∂x 1 x+ y 1 y .
解：
∂z = x + y 2 x ∂y 1 1 ,
所以， x
∂z ∂z x y 1 1 1 + y .= + = . ∂y ∂x x+ y 2 x x+ y y 2
1 1 0 y
→
→
在(0,+∞)内有定义且有连续的导数，还满足f(1) = 1, 求f(x)
微积分（下）理工共 52 页 第 1 页
十二、 （10 分）
xy ⎧ , ( x, y ) ≠ (0,0) ⎪ 2 设f(x, y) = ⎨ x + ( x − y ) 2 ⎪0 , ( x, y ) = (0,0) ⎩ 证明f(x, y)在(0,0)点不连续，但f x (0,0) = f y (0,0) = 0
n==(FxFyFz)=( 2 3, 2 3, 2 3 )
切平面方程 ( x − 3) + ( y − 3) + ( z − 3) = 0 四、 （5 分） 设函数 u（x,y） ，v（x,y）由下述方程组 ⎧ xu 2 + yv 2 = 0 ⎨ ⎩ xu − yv = 1
' x
所确定,求偏导数 u x ，v x
x
y
y⎞ ∂z ∂z ⎛ f ⎜ x − y, ⎟, 其中 f 可微，求 , . ∂x ∂y x⎠ ⎝
/
∂z = ∂x
(x )
y
/
x
y ⎞⎤ ⎛ y⎞ y⎡ ⎛ f ⎜ x − y , ⎟ + x f ⎜ x − y, ⎟ = y ⎢ x⎠ ⎝ x ⎥ ⎣ ⎝ ⎠⎦
x
x
y −1
⎡ / y⎞ y ⎛ f ⎜ x − y , ⎟ + x ⎢ f .1 + 1 x⎠ ⎢ ⎝ ⎣
u 2 + 2uv ' u2 , vx = 两端对 x 求导解， u = 2ux + 2vx 2uy + 2vy ∂2z x 五、 （5 分）设函数 z = f ( x, ), 其中f具有连续的二阶偏导数, 求 2 y ∂x
六、 （5 分）
计算∫∫ xdxdy,其中D是由抛物线y = 3 − x 2与直线y = 1 + x围成的闭区域
十三、 （10 分）(最优价格问题) 假设某电视机厂的生产处于平衡状态： 即生产量等于销售量。 把产量记为
x，再记一台电视机的生产成本为 C，销售价格为 P。根据市场预测，销量 x 与
销售价格 P 有下述关系：x=Me-aP,其中 M，a 都是正的常数，同时，生产部门对
C=C0－klnx,(x≥1),其中 C0、 k 都是正的常数。 产量 x 和单机成本 C 有下述测算：
⎧ ∂u = 2 x cos v + y sin v, ⎪ ⎪ ∂x 以消元法解之，得： ⎨ . ⎪ ∂v = y cos v − 2 x sin v . ⎪ u ⎩ ∂x
四（共 8 分）1。设 S 是锥面 z = 求 ∫∫ ⎛ ⎜x + ⎦
/
y
三． （共 8 分）设 x = u cos v, xy = u sin v ，求
∂u ∂v , . ∂x ∂x
∂u ∂v
⎧ 2 ⎧ ⎪ x = u cos v, ⎪2 x = ∂x cos v − u sin v ∂x , 解：对方程组 ⎨ . 两边同时关于 x 求偏导，得：⎪ . ⎨ ⎪ ⎩ xy = u sin v. ⎪ y = ∂u sin v + u cos v ∂v . ⎪ ⎩ ∂x ∂x
2002 级 微积分(理工)课程试题答案（A 卷）
二、 （5 分） 设u =
z x2 + y2 zy x +y
2
, 求全微分du 1 x + y2
2
du = −
zx x +y
2 2
dx −
2
dy +
dz
三、 （5 分）求球面 x2+y2+z2 =9 上点( 3 , 3 , 3 )处的切平面方程 解：F（x,y,z）= x2+y2+z2 -9
根据上述条件，销售价格 P 为多少时，可使该厂获得最大利润。 （提示：利润＝（P－C）x ） 郑州大学 2003 级 高等数学（下） 理工 课程试题 （A 卷）
一．计算题（每小题 6 分，共 30 分）
1 微分方程 y − 2 y − 3 y = 0 的通解。
解：原微分方程的特征方程为 r 2 − 2r − 3 = 0 。 r1 = −1, r 2 = 3. 所以，原方程的通解为 y = c1 e + c2 e .
f
⎛ y ⎞⎤ 。 ⎜− ⎟⎥ 2 2⎜ ⎟ ⎝ x ⎠⎥ ⎦
/
∂z = ∂y
(x )
y
/
y
y ⎞⎤ ⎛ y⎞ y⎡ ⎛ f ⎜ x − y, ⎟ + x f ⎜ x − y, ⎟ ⎢ x⎠ ⎝ x ⎥ ⎣ ⎝
2
/
=
x
y
⎠⎦
/ y⎞ y⎡ ⎛ ln x. f ⎜ x − y, ⎟ + x ⎢ f .(− 1) + x⎠ ⎝ ⎣ 1
D
七、 （10 分）
计算∫∫ x 3dydz + y3dzdx + z3dxdy,其中S为上半球面z = 1 − x 2 − y 2 ,取上侧
S
八、 （10 分）
计算∫∫ z 2 dS,其中S为锥面z = x 2 + y 2 上介于平面z = 0和z = 1之间的部分
S
九、 （10 分）
→
设向量场 f = (3x 2 y + 8xy 2 , x 3 + 8x 2 y + 12y 2 ), 验证 f 是保守场，求 f 的势函数 十、 （10 分） 设在右半平面x > 0内曲线积分∫ y 2 xdx + xf(x)ydy与积分路径无关，其中f(x)
微积分（下）理工共 52 页 第 2 页
⎧ x,0 ≤ x < 1, 解： y = ⎨ 如图所示。 ⎩2 − x,1 ≤ x ≤ 2.
∫
C
yds = ∫ yds + ∫ yds = ∫ x 2dx + ∫ (2 − x ) 2dx = 2 .
1 2 OA AB 0 1
二． （共 8 分）设 z =
4．交换积分次序： I = ∫ dy ∫ f (x, y )dx 。
⎧ y ≤ x ≤ 1, 解：积分区域 D : ⎨ . ⎩0 ≤ y ≤ 1
C
则 I = ∫ dx ∫ f (x, y )dy.
1 x 0 0
5．求 ∫ yds ，其中 C 是折线段 y = 1− | 1 − x |, (0 ≤ x ≤ 2 ).
−x 3x
//
/
2.设 z = ln ∂z = ∂x
(
x + y ,求 x
)
∂z ∂z +y . ∂y ∂x 1 x+ y 1 y .
解：
∂z = x + y 2 x ∂y 1 1 ,
所以， x
∂z ∂z x y 1 1 1 + y .= + = . ∂y ∂x x+ y 2 x x+ y y 2
1 1 0 y