第二节双因素试验的方差分析详解
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记作 A B ，称这个新因素 A 与 B 的交互作用．
11
可以证明，
r
r
i i r r r 0 ，
i 1
i 1
s
s
j j s s s 0 ，
j 1
j 1
rs
rs
r
s
ij
ij s i r j rs rs rs rs rs 0 ．
i1 j 1
于水平 Ai 的效应 i 和 B j 的效应 j 之和．我们把效应
ij 减去 Ai 的效应 i 和 B j 的效应 j 所得到差 ij
称为 Ai 和 B j 对试验指标的交互作用的效应，简称交互
效应．在多因素试验中，通常把因素 A 与因素 B 对试验
指标的交互效应设想为某一新因素的效应．这个新因素
看作是取自正态总体 Xij ~ N ij , 2 中的容
量为 t 的样本．将这些数据列成下表
5
B 因素 各水平 B1
A 因素 各水平
A1
X111, X112, , X11t
A2
X 211, X 212, , X 21t
B2
X121, X122, , X12t X 221, X 222, , X 22t
2
设在某项试验中有两个因素 A ， B 在变化．因素 A 有 r
个不同的水平
A1, A2, , Ar ， 因素 B 有 s 个不同水平
B1, B2, , Bs ．
在水平组合 Ai , Bj 下的试验结果用 X ij 表示．
3
我们假定
X ij i 1, 2, , r ; j 1, 2, , s
17
为构造检验统计量，我们仿造单因素试验方差分析 的做法，记
X
1 rs
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s
X ij ，
j 1
X i
1 s
s
X ij
j 1
，
X
j
1 r
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X ij
，
18
r s
ST
X ij X 2
i 1 j 1
其中 ST 称为总离差平方和，简称为总平方和，
也称为总变差平方和．
19
Bs
X1s1, X1s2 , , X1st
X 2s1, X 2s2 , , X 2st
Ar
X r11, X r12, , X r1t
X r21, X r22, , X r2t
X rs1, X rs2 , , X rst
6
由于 X ijk k 1, 2, , t 是取自总体 X ij 中的样本，则有
将 ST 分解为
r s
9
对于 ij 的上述表示式： ij ij i j ，
我们可以改写为
ij ij i j ij i j
其中 ij 反映了水平组合 Ai , Bj 对试验指
标的总效应．
10
在许多情况下，水平组合 Ai , Bj 的这种效应并不等
2,
r
s
i
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
i
0，
j
j 1
0.
, s
上式就是无交互作用的双因素试验方差分析的数学模型16．
由上式可知，为判断 A 对试验指标的影响是否显
著，即等价于检验假设
H0 A : 1 2 r 0 ． 类似地，判断因素 B 对试验指标的影响是否显著，
即等价于检验假设
H0B : 1 2 s 0 ．
相互独立，且服从正态分布 N ij , 2 ，
也 就 是 说 ， 我 们 共 有 rs 个 相 互 独 立 的 正 态 总 体
X ij ．此外，在假定每个水平组合 Ai , B j 下进行 t 次
独立重复试验，
4
试验结果用
X ijk k 1, 2, , t
表示，我们把试验结果 X ijk k 1, 2, , t
Xijk ~ N ij , 2 i 1, 2, , r ; j 1, 2, , s ，
可将上式改写成如下形式：
Xijk
ij ijk i 1, 2, , r ; j 1, 2, , s ; k 1, 2, , t
ijk ~ N 0, 2 各 ijk相互独立
7
为进行统计分析，需将均值 ij 作适当分解，为此，令
i1 j 1
i 1
j 1
12
上式可以改写为
ij i j ij ，
于是我们得到双因素试验的方差分析模型：
Xijk i j ij ijk
ijk
~
i 1, 2,
N 0, 2 ，
, r ; j 1, 且相互独立.
2,
,
s;
k 1,
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,
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1
i
0，
j
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0，
i 1
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j 1
0.
下面我们分两种情况来讨论双因素试验方差分析．
13
一、无交互作用的双 因素试验方差分析
14
如果因素 A 与因素 B 之间不存在交互作用，则
ij 0 ， i 1, 2, , r ; j 1, 2, , s ，
于是
ij i j
即每种水平组合 Ai , Bj 下的总体平均值 ij 可以看成是总
第二节 双因素试验的方差 分析
1
在上一节介绍了单因素试验的方差分析方法．然 而在许多问题中，还需对多个因素的影响进行分 析．例如，在制定农业增产的生产规划时，对种子 品种与肥料类型做出最优选择是首先要解决的问 题．实践中常发生这样的情况：采用最优的种子与 肥料类型，可能由于搭配得当而获得较高的亩产 量．因而不仅需要分别研究不同品种的种子和不同 类型肥料对亩产量影响，还需要研究各品种的种子 与各类型肥料的不同搭配对亩产量的影响，这便是 双因素试验的方差分析要研究的问题．更一般地， 对多因素试验的问题还需考虑多因素试验的方差分 析．以下我们仅介绍双因素试验的方差分析方法．
1 rs
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ij ，
j 1
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j 1
，
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r i 1
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8
i i ， i 1, 2, , r j j ， j 1, 2, , s
ij ij i j ，
其中 称为总平均， i 称为因素 A 的第 i 个水平 Ai
的效应， j 称为因素 B 的第 j 个水平 B j 的效应．
平均 与各因素水平的效应 i ， j 的简单迭加．
15
这时为研究因素 A ， B 对试验指标的影响是否显著，只
需要对每种水平组合 Ai , Bj 作一次试验，即 t 1的情
形．此时，模型可以写成如下形式：
X ij i j ij
ij
~
N
i 1,
0,
2
2, ，
, r ; j 1, 且相互独立.
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可以证明，
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于水平 Ai 的效应 i 和 B j 的效应 j 之和．我们把效应
ij 减去 Ai 的效应 i 和 B j 的效应 j 所得到差 ij
称为 Ai 和 B j 对试验指标的交互作用的效应，简称交互
效应．在多因素试验中，通常把因素 A 与因素 B 对试验
指标的交互效应设想为某一新因素的效应．这个新因素
看作是取自正态总体 Xij ~ N ij , 2 中的容
量为 t 的样本．将这些数据列成下表
5
B 因素 各水平 B1
A 因素 各水平
A1
X111, X112, , X11t
A2
X 211, X 212, , X 21t
B2
X121, X122, , X12t X 221, X 222, , X 22t
2
设在某项试验中有两个因素 A ， B 在变化．因素 A 有 r
个不同的水平
A1, A2, , Ar ， 因素 B 有 s 个不同水平
B1, B2, , Bs ．
在水平组合 Ai , Bj 下的试验结果用 X ij 表示．
3
我们假定
X ij i 1, 2, , r ; j 1, 2, , s
17
为构造检验统计量，我们仿造单因素试验方差分析 的做法，记
X
1 rs
r i 1
s
X ij ，
j 1
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1 s
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j 1
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ST
X ij X 2
i 1 j 1
其中 ST 称为总离差平方和，简称为总平方和，
也称为总变差平方和．
19
Bs
X1s1, X1s2 , , X1st
X 2s1, X 2s2 , , X 2st
Ar
X r11, X r12, , X r1t
X r21, X r22, , X r2t
X rs1, X rs2 , , X rst
6
由于 X ijk k 1, 2, , t 是取自总体 X ij 中的样本，则有
将 ST 分解为
r s
9
对于 ij 的上述表示式： ij ij i j ，
我们可以改写为
ij ij i j ij i j
其中 ij 反映了水平组合 Ai , Bj 对试验指
标的总效应．
10
在许多情况下，水平组合 Ai , Bj 的这种效应并不等
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上式就是无交互作用的双因素试验方差分析的数学模型16．
由上式可知，为判断 A 对试验指标的影响是否显
著，即等价于检验假设
H0 A : 1 2 r 0 ． 类似地，判断因素 B 对试验指标的影响是否显著，
即等价于检验假设
H0B : 1 2 s 0 ．
相互独立，且服从正态分布 N ij , 2 ，
也 就 是 说 ， 我 们 共 有 rs 个 相 互 独 立 的 正 态 总 体
X ij ．此外，在假定每个水平组合 Ai , B j 下进行 t 次
独立重复试验，
4
试验结果用
X ijk k 1, 2, , t
表示，我们把试验结果 X ijk k 1, 2, , t
Xijk ~ N ij , 2 i 1, 2, , r ; j 1, 2, , s ，
可将上式改写成如下形式：
Xijk
ij ijk i 1, 2, , r ; j 1, 2, , s ; k 1, 2, , t
ijk ~ N 0, 2 各 ijk相互独立
7
为进行统计分析，需将均值 ij 作适当分解，为此，令
i1 j 1
i 1
j 1
12
上式可以改写为
ij i j ij ，
于是我们得到双因素试验的方差分析模型：
Xijk i j ij ijk
ijk
~
i 1, 2,
N 0, 2 ，
, r ; j 1, 且相互独立.
2,
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2,
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j 1
0，
i 1
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下面我们分两种情况来讨论双因素试验方差分析．
13
一、无交互作用的双 因素试验方差分析
14
如果因素 A 与因素 B 之间不存在交互作用，则
ij 0 ， i 1, 2, , r ; j 1, 2, , s ，
于是
ij i j
即每种水平组合 Ai , Bj 下的总体平均值 ij 可以看成是总
第二节 双因素试验的方差 分析
1
在上一节介绍了单因素试验的方差分析方法．然 而在许多问题中，还需对多个因素的影响进行分 析．例如，在制定农业增产的生产规划时，对种子 品种与肥料类型做出最优选择是首先要解决的问 题．实践中常发生这样的情况：采用最优的种子与 肥料类型，可能由于搭配得当而获得较高的亩产 量．因而不仅需要分别研究不同品种的种子和不同 类型肥料对亩产量影响，还需要研究各品种的种子 与各类型肥料的不同搭配对亩产量的影响，这便是 双因素试验的方差分析要研究的问题．更一般地， 对多因素试验的问题还需考虑多因素试验的方差分 析．以下我们仅介绍双因素试验的方差分析方法．
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其中 称为总平均， i 称为因素 A 的第 i 个水平 Ai
的效应， j 称为因素 B 的第 j 个水平 B j 的效应．
平均 与各因素水平的效应 i ， j 的简单迭加．
15
这时为研究因素 A ， B 对试验指标的影响是否显著，只
需要对每种水平组合 Ai , Bj 作一次试验，即 t 1的情
形．此时，模型可以写成如下形式：
X ij i j ij
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0,
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