线性代数1-1行列式

a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
得
a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3
a13 a23 , a33 a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33
1
1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 3 1 5 0,
同理可得
2 2 D1 1 0 1 D3 2 1 1 1 1 1
1
1
Βιβλιοθήκη Baidu
2 1 0
1 3 10, 1
3 5, D2 2 1 1 1 5, 0
例4
解线性方程组 x1 2 x2 x3 2, 2 x1 x2 3 x3 1, x x x 0. 1 2 3 由于方程组的系数行列式
解
1 D 2 1
2 1 1
3 1 1 1 2 3 1 1
两式相减消去 x2，得
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ;
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21 ,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 ， x2 . a11a22 a12a21 a11a22 a12a21
若记
或
b1 b2 b 1
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1 D1 b2 b3 b1 D1 b2 b3 a12 a13 a22 a23 , a32 a33 a12 a13 a22 a23 , a32 a33
记 a11
a31 a32
a21 a31
a12 a13 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a32 a33
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
2 2
故方程组的解为: D1 D2 x1 1, x2 2, D D
D3 x3 1. D
三、小结
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的.
二阶与三阶行列式的计算
对角线法则
a11 a12 a11a22 a12a21 . a21 a22
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31, a31 a32 a33
a11 a12 a13 的系数行列式 D a21 a22 a23 0, a31 a32 a33
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1 D1 b2 b3 a11 D a21 a31 a12 a22 a32 a12 a22 a32 a13 a23 , a33 a13 a23 a33
得
a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3
a13 a23 , a33
a11 a12 b1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , D3 a21 a22 b2 . a x a x a x b ; a31 a32 b3 31 1 32 2 33 3 3
记
即
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33
思考题
求一个二次多项式 f x , 使
f 1 0, f 2 3, f 3 28.
思考题解答
解 设所求的二次多项式为
f x ax2 bx c,
由题意得
f 1 a b c 0, f 3 9a 3b c 28, f 2 4a 2b c 3,
b1
a12
a11
b1
D1 b2 a22 x1 , D a11 a12 a21 a22
注意
D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22
分母都为原方程组的系数行列式.
例1 求解二元线性方程组
3 x1 2 x2 12, 2 x1 x2 1.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 . a31 a32 b3
b1 D1 b2 b3
a12 a13 a22 a23 , a32 a33 a13 a23 , a33
a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3
a11 a12 D , a21 a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
b1 D1 b2 a12 , a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a12 D , a21 a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
b1 D1 b2 a12 , a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 b1 D2 . a21 b2
则二元线性方程组的解为
则三元线性方程组的解为:
D1 x1 , D D2 x2 , D D3 x3 . D
1
2 -4
例２ 计算三阶行列式 D - 2 2
1 -3 4 -2
解
按对角线法则，有
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4
1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
二阶行列式的计算
主对角线
副对角线
对角线法则
a11a22 a12a21 .
a11 a12
a12
a22
a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .
若记
系数行列式
a11 a12 D , a21 a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
由方程组的四个系数确定.
（3）
定义
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
a11 a12 a21 a22 ( 4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶 行列式，并记作
即
a11 a12 a21 a22
( 5)
a11 a12 D a11a22 a12a21 . a21 a22
4 6 32 4 8 24 14.
1 1
例3
1 x 0. x2
求解方程 2 3 4 9
方程左端
解
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
x 2 5 x 6,
由 x2 5x 6 0 解得
x 2 或 x 3.
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
得一个关于未知数 a , b, c 的线性方程组, 又 D 20 0, D1 40, D2 60, D3 20. 得 a D1 D 2, b D2 D 3, c D3 D 1
故所求多项式为
f x 2 x 2 3x 1.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标 a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算 a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负. 利用三阶行列式求解三元线性方程组 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , 如果三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3


(2)对角线法则 a11 a12
a13 a23 a33
a21 a22 a31 a32
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
解
D
3 2 2 1 1
3 ( 4) 7 0,
D1
12 2 1
14, D2
3 12 2 1
21,
D1 14 D2 21 x1 2, x 2 3. D 7 D 7
二、三阶行列式
定义
设有9个数排成 3行3列的数表 a11 a12 a21 a22 a13 a23 a33 ( 5)