烟花算法求解非线性方程组_杜振鑫[1]
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好值），ζ 的含义同上。
第 i（i=1，2，…，n）个烟花产生火花的过程：假设待
优化的目标函数是 D 维函数， 随机选取 D 维中的 z 维
坐 标 进 行 更 新 ， 则 第 i （i=1，2， … ，n） 个 烟 花 的 第 j （j=
1，2，… ，si）个 火 花 的 第 k（k=1，2，… ，z）维 坐 标 更 新 公 式：
关键词： 烟花算法； 非线性方程； 非线性方程组； 变量耦合
0 引言
在工程技术、 科学研究等领域经常会有大量的实 际问题需要最终转化为非线性方程组来求解。 传统的 求解非线性方程组的方法多使用目标函数的导数信 息，速度较快，但具有初值敏感性，局部收敛。 很多文献 提出采用智能算法求解非线性方程组，例如遗传算法、 粒子群算法、蜂群算法等[1~2]，取得了一定的成果。 但是 对于变量个数较多且变量耦合度比较高的方程组，往 往效果并不理想。 烟花算法[3]是 2010 年刚刚提出的一 种算法，优化效率较高，搜索方式不同于其他进化算法 [4]。 本文尝试将烟花算法引入非线性方程组的求解，实 验证明该算法对求解变量个数较多、 变量耦合度较高 的复杂非线性方程组存在一定优势。
的粒子群算法[J]. 计算机工程与应用,2006，42（21） [2]欧 阳 艾 嘉,刘 利 斌,乐 光 学,李 肯 立[J]. 求 解 非 线 性 方 程 组 的
混合粒子群算法. 计算机工程与应用，2011,47（9） [3]Tan Y., Zhu Y. C.. Fireworks Algorithms for Optimization[C].
1 烟花算法原理
烟花算法来自于对烟花爆炸过程的模拟。 当烟花 爆炸后产生大量的火花， 火花又作为新的烟花继续爆 炸，从而逐步充满整个天空。 把烟花爆炸过程看做搜索 最优解的过程，用算法实现，如图 1 所示（求最小值）。 具体算法中， 需要解决的问题是每个烟花爆炸产生多 少个火花，爆炸的半径是多少，如何从爆炸产生的烟花 和火花中选取一定数量的个体参与下次爆炸。
i=1
（10）
考虑两种情况。 第一种情况：假设某时刻函数坐标
为 （3，2），函 数 值 为 4904,在 某 单 维 优 化 算 法 的 作 用 下
在另一时刻坐标变成（3，3），函数值变成 3604，函 数 值
减小了，所以该算法认为这是一个正确的方向，因而向
坐标（3，3）移 动 ，然 而 这 个 移 动 方 向 恰 恰 是 错 误 的 ，因
∈ x3
x1
x∈∈
∈
1
+x3
-x2
-2=0
其中：0≤x1 ，x2 ，x3 ≤10，理论解为：x*=（4，3，1）T
表 1 两种算法对例 1 和例 2 的求解结果
表 2 两种算法对例 3 求解结果
表 3 两种算法对例 4 求解结果
目前出现的用于优化连续函数的群体智能算法，
按照更新方式大体可以分为两类： 单维更新和整体更
∈
1 4
2
x2 x4 x6 +0.75=0
∈
∈
∈∈∈f2（x
）=x2+0.405e
（1+x1
x2
）
-1.405=0
∈
例
3：
∈
∈∈∈f3（x）=x3-
∈ ∈
1 4
x4 x6 +1.25=0
∈ ∈
∈∈∈f4（x
）=x4-0.605e
2
（1-x3
）
-0.395=0
∈
∈
∈∈f5（x）=x5-
∈ ∈
1 2
x2 x6 +1.5=0
现代计算机 2013.02 上 趤趽
研究与开发
条件是：处理器：Intel Corei 3 CPU M350@ 2.27GHz，内
从表 1 可以看出，对于变量个数较少，变量耦合度
存 4GB，32 位 Win7 操作系统。 表 1、表 2 和表 3 是实验
较低的方程组，两种算法差别不大。 从表 2 和表 3 可以
最小正常数，用于防止上式出现除零错误。
第 i（i=1，2…，n）个烟花爆炸的半径是：
∧
Ai=A
f（xi）-ymin+ζ
n
（2）
Σ（f（xi）-ymin）+ζ
i=1
∧
式（2）中A 表示预先设定的最大爆炸半径，ymin=max
（f（xi））表 示 n 个 烟 花 代 表 的 目 标 函 数 的 最 小 值 （即 最
计算该烟花应产生的火花数 si，对于每个火花，随机选 取 D 维中的 z 维坐标按照公式（3）进行更新；
∧
（3）随机选取m 个 烟 花 ，每 个 烟 花 产 生 一 个 火 花 ，
该火花按照公式进行坐标更新；
（4）在 当 前 所 有 的 烟 花 和 火 花 当 中 ， 首 先 选 取 当 前
最优的一个烟花直接进入下一次爆炸， 并从剩下的烟
结果，其中较好的值用黑体标出。
看出，对变量个数较多、变量耦合度较高的例 3 和例 4，
例 1： f（x）=x3-2x-5=0，x∈［－4，4］
烟花算法得到的结果要明显比文献[5]的算法精度更高。
例 2： f（x）=x3-3x2-6x+8，x∈［0，2］
4 实验结果分析
ÁÂÃÁÂÃÄÅÆ∈
∈∈∈f1（x）=x1+
研究与开发
文 章 编 号 ：1007-1423（2013）04-0018-04
DOI：10.3969/j.issn.1007-1423.2013.04.005
烟花算法求解非线性方程组
杜振鑫
（韩山师范学院陶瓷学院信息工程部， 潮州 521041）
摘 要： 烟花算法是最近提出的一种效率较高的优化算法，已被用于求解众多的优化问题。 给出利 用烟花算法求解非线性方程组的方法。 实验表明，所提出的算法对于求解变量耦合的非线 性方程组比其他算法占有优势，进一步分析存在优势的原因。
Proc.of Int. Conf. on Swarm Intelligence （ICSI2010）, Part II, LNCS 6145,pp.355-364, Beijing, China（12~15, Jun. 2010） [4]Y. Pei, S.Q. Zheng, Y. Tan, Hideyuki Takagi. An Empirical Study on Influence of Approximation Approaches on Enhancing Fireworks Algorithm[C].IEEE International Conferencce on System, Man and Cybernetics （SMC 2012）, Seoul, Korea. October 14~17, 2012 [5]张 姣 玲. 求 解 非 线 性 方 程 及 方 程 组 的 人 工 蜂 群 算 法 [J]. 计 算 机 工 程 与 应 用 ,2012,48（22）
式中 rand（-1，1）表示[-1，1]之间的随机数。上面的
过程中，由 n 个烟花总共产生了 m 个火花。 另外，为了
∧
增加种群多样性，按照高斯分布额外产生m 个火花，其
∧
中 第 j（j=1，2，… ，m ）个 火 花 的 第k（k=1，2，… ，si）维 坐
标更新如下：
∧j ∧j
x k =x k·Gaussian（1，1）
研究与开发
5 结语
本文给出了利用烟花算法求解非线性方程组的方 法 ，并 与 文 献[5]进 行 了 对 比 ，证 明 在 求 解 变 量 数 目 较 多、变量耦合度高的方程组方面，烟花算法存在优势， 并分析了其中的的原因。 当然， 本文算法只是初步尝 试，期待进一步的改进。
参考文献 [1]张建 科,王晓 智,刘 三阳,张 晓 清. 求 解 非 线 性 方 程 及 方 程 组
xk=xk+A·i rand（-1，1）
（3）
收稿日期：2012-11-20 修稿日期：2013-01-10 作 者 简 介 ：杜 振 鑫 （1976-），男 ，山 东 临 沂 人 ，硕 士 ，助 教 ，研 究 方 向 为 计 算 机 应 用 、人 工 智 能
趤趻 现代计算机 2013.02 上
研究与开发
和 bi 为 xi 的上下限。 同样，非线性方程组的解等价于：
n
Σ F（x）= fi2（x1，x2，…，xn）ai≤xi≤bi 的最小值。 i=1
2.2 算法步骤
选取 F（x）作为烟花算法待优化的目标函数。
（1）随机选择 n 个烟花并初始化其坐标；
（2）爆炸 n 个 烟 花 ：对 每 个 烟 花 首 先 按 照 公 式 （1）
优位置更远了。 这说明，整体更新算法也存在局限性，
虽然整体函数值下降了，却使某一维变差了。 比较好的
办法是采用折中的方法，烟花算法就是这种算法，每次
随机从 D 维中选取 z 维更新， 处于单维更新和整体更
新算法之间， 所以烟花算法适合求解变量耦合的非线
性方程组，实现了进化速度与精度的较好平衡。
趥趭 现代计算机 2013.02 上
∈
∈
∈∈∈f6（x）=x6-x1 x5 +1.5=0
其 中 ：-2≤x1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ，x 5 ，x 6 ≤2， 理 论 解 为 ：
（-1，1，-1，1，-1，1）T
x∈
∈
Fra Baidu bibliotek
x2
∈ ∈
1
x1
+x2
-5x1
x2
x3
-85=0
∈
例
4：
∈∈ 3
x≤
∈1
x3
x2
-x2 +x3 -60=0
∈
∈
（4）
式 中 ，Gaussian（1，1）是 一 个 均 值 和 方 差 都 为 1的 服从高斯分布的随机数。
"
按高斯
分布
产
生
∧
m
个新火
花
。
在所有
烟花（火花）中，按浓度原则重新选择
n 个新烟花
!
图 1 烟花算法流程图
上述 n 个烟花全部爆炸完成以后，当前烟花（火
一个固定的实根。 在[a，b]内只包含方程（7）的一个实根
x*，[a，b]∈（c，d）。 则方程（7）在[a，b]中的根 x* 等价于函
数：
V（x）=（f（x））2
（8）
在[a，b]中的最小值。 当 V（x）最小值为 0 的时候，
所对应的 x 即为方程（7）的根。
设非线性方程组由 n 个方程组成， 涉及 n 个未知
新。 单维更新如蜂群算法，每更新个体的一维就评价该
个体的适应度。 整体更新算法如粒子群算法，只有该个
体的所有维同时更新以后，才去评价该个体的适应度。
两种更新方式各有优缺点。 以 Rosenbrock 函数为例，该
函数是一个很难优化的函数，其表达式见公式：
D-1
Σ2
2
2
f4（x）= （100（xi -xi+1 ） +（xi -1） ）
第 i（i=1，2，… ，n）个 烟 花 爆 炸 产 生 的 火 花 数 目 可
以用式表示：
si=m· n ymax-f（xi）+ζ
（1）
Σ（ymax-f（xi））+ζ
i=1
式（1）中 m 表示由 n 个烟花所产生的火花的总数
目 ，ymax=max（f（xi））（i=1，2，… ，n）表 示 n 个 烟 花 对 应 目 标函数的最大值（即最坏值），ζ 表示计算机所能表示的
时刻个体坐标是（5,8），函数值是 28916，在某整体更新
算 法 的 作 用 下 ，另 一 时 刻 个 体 坐 标 整 体 更 新 为 （4,9）， 函
数值是 4909，函数值减小，所以算法以为这是一个正确
的方向，但是分析可发现第一维坐标从 5 变成 4，距离
最优位置 1 更近了，而第二维坐标从 8 变成 9，却离最
为 函 数 最 小 值 在 点 （1，1）， 粒 子 却 向 着 远 离 最 优 点 的 方
向移动。 这说明，单维更新算法不能考虑整体利益，往
往被误导，进入死胡同，特别是对于变量耦合度高的函
数，需要综合考虑各个维同时更新，单维更新算法的缺
陷更加明显，而且，由于更新了一维就要评价函数值，
大大增加了算法的计算代价。 再看第二种情况：假设某
适应度的差值等。 由上式看出， 距离相近的烟花 （火
花 ），被 选 中 的 概 率 较 低 ，这 就 避 免 了 优 势 烟 花 增 长 过
快，增加了种群多样性。
2 烟花算法求解非线性方程组
2.1 模型的建立
设非线性方程组：
f（x）=0
（7）
f（x）的全部实根包含在（c，d）中，x* 为方 程 的 任 意
∧
花）总数是 K'=n+m+m 。 在 k 个烟花（火花）中按照浓度 原则选择新的 n 个火花，参与下一轮爆炸。 第 i（i=1，2， …，k）个烟花（火花）被选中的概率由公式给出：
Σ R（xi）= d（xi-xj）
（5）
j∈K
p（xi）= R（xi）
（6）
Σd（xj）
j∈K
公 式 （5）中 d（xi-xj）表 示 第 i 个 烟 花 或 火 花 与 第 j 个烟花或火花之间的距离，可以是欧氏距离，也可以是
量 ，形 式 如 式 （9）所 示 ：
ΣΣf1=（x1，x2， … ，xn）=0
Σ
f = Σ
Σ Σ
2
（x1，x2，
…
，xn）=0
Σ
ΣΣ…
Σ
Σ
ΣΣfn=（x1，x2， … ，xn）=0
其 中 ，fn=（x1，x2，… ，xn）=0 （i=1，2， … ，n） 为 非 线 性 方
程 ，X=［x1，x2，… ，xn］为 方 程 组 的 未 知 向 量 ，ai≤xi≤bi，ai
花和火花中按照公式选取 n-1 个烟花或火花， 上述总
共 n 个烟花或火花作为新的烟花，参与下一轮爆炸；
（5）若满足停机条件则结束，否则转（2）继续执行。
3 实验
本文与文献[5]进行了比较，所有例子都运行 50 次 取平均结果。 由于不同的算法计算的原理不同，为了公 平起见，本文采用同样机器条件下，同样运行时间内， 看哪种算法所求结果更精确的原则。 本文采用的机器
第 i（i=1，2，…，n）个烟花产生火花的过程：假设待
优化的目标函数是 D 维函数， 随机选取 D 维中的 z 维
坐 标 进 行 更 新 ， 则 第 i （i=1，2， … ，n） 个 烟 花 的 第 j （j=
1，2，… ，si）个 火 花 的 第 k（k=1，2，… ，z）维 坐 标 更 新 公 式：
关键词： 烟花算法； 非线性方程； 非线性方程组； 变量耦合
0 引言
在工程技术、 科学研究等领域经常会有大量的实 际问题需要最终转化为非线性方程组来求解。 传统的 求解非线性方程组的方法多使用目标函数的导数信 息，速度较快，但具有初值敏感性，局部收敛。 很多文献 提出采用智能算法求解非线性方程组，例如遗传算法、 粒子群算法、蜂群算法等[1~2]，取得了一定的成果。 但是 对于变量个数较多且变量耦合度比较高的方程组，往 往效果并不理想。 烟花算法[3]是 2010 年刚刚提出的一 种算法，优化效率较高，搜索方式不同于其他进化算法 [4]。 本文尝试将烟花算法引入非线性方程组的求解，实 验证明该算法对求解变量个数较多、 变量耦合度较高 的复杂非线性方程组存在一定优势。
的粒子群算法[J]. 计算机工程与应用,2006，42（21） [2]欧 阳 艾 嘉,刘 利 斌,乐 光 学,李 肯 立[J]. 求 解 非 线 性 方 程 组 的
混合粒子群算法. 计算机工程与应用，2011,47（9） [3]Tan Y., Zhu Y. C.. Fireworks Algorithms for Optimization[C].
1 烟花算法原理
烟花算法来自于对烟花爆炸过程的模拟。 当烟花 爆炸后产生大量的火花， 火花又作为新的烟花继续爆 炸，从而逐步充满整个天空。 把烟花爆炸过程看做搜索 最优解的过程，用算法实现，如图 1 所示（求最小值）。 具体算法中， 需要解决的问题是每个烟花爆炸产生多 少个火花，爆炸的半径是多少，如何从爆炸产生的烟花 和火花中选取一定数量的个体参与下次爆炸。
i=1
（10）
考虑两种情况。 第一种情况：假设某时刻函数坐标
为 （3，2），函 数 值 为 4904,在 某 单 维 优 化 算 法 的 作 用 下
在另一时刻坐标变成（3，3），函数值变成 3604，函 数 值
减小了，所以该算法认为这是一个正确的方向，因而向
坐标（3，3）移 动 ，然 而 这 个 移 动 方 向 恰 恰 是 错 误 的 ，因
∈ x3
x1
x∈∈
∈
1
+x3
-x2
-2=0
其中：0≤x1 ，x2 ，x3 ≤10，理论解为：x*=（4，3，1）T
表 1 两种算法对例 1 和例 2 的求解结果
表 2 两种算法对例 3 求解结果
表 3 两种算法对例 4 求解结果
目前出现的用于优化连续函数的群体智能算法，
按照更新方式大体可以分为两类： 单维更新和整体更
∈
1 4
2
x2 x4 x6 +0.75=0
∈
∈
∈∈∈f2（x
）=x2+0.405e
（1+x1
x2
）
-1.405=0
∈
例
3：
∈
∈∈∈f3（x）=x3-
∈ ∈
1 4
x4 x6 +1.25=0
∈ ∈
∈∈∈f4（x
）=x4-0.605e
2
（1-x3
）
-0.395=0
∈
∈
∈∈f5（x）=x5-
∈ ∈
1 2
x2 x6 +1.5=0
现代计算机 2013.02 上 趤趽
研究与开发
条件是：处理器：Intel Corei 3 CPU M350@ 2.27GHz，内
从表 1 可以看出，对于变量个数较少，变量耦合度
存 4GB，32 位 Win7 操作系统。 表 1、表 2 和表 3 是实验
较低的方程组，两种算法差别不大。 从表 2 和表 3 可以
最小正常数，用于防止上式出现除零错误。
第 i（i=1，2…，n）个烟花爆炸的半径是：
∧
Ai=A
f（xi）-ymin+ζ
n
（2）
Σ（f（xi）-ymin）+ζ
i=1
∧
式（2）中A 表示预先设定的最大爆炸半径，ymin=max
（f（xi））表 示 n 个 烟 花 代 表 的 目 标 函 数 的 最 小 值 （即 最
计算该烟花应产生的火花数 si，对于每个火花，随机选 取 D 维中的 z 维坐标按照公式（3）进行更新；
∧
（3）随机选取m 个 烟 花 ，每 个 烟 花 产 生 一 个 火 花 ，
该火花按照公式进行坐标更新；
（4）在 当 前 所 有 的 烟 花 和 火 花 当 中 ， 首 先 选 取 当 前
最优的一个烟花直接进入下一次爆炸， 并从剩下的烟
结果，其中较好的值用黑体标出。
看出，对变量个数较多、变量耦合度较高的例 3 和例 4，
例 1： f（x）=x3-2x-5=0，x∈［－4，4］
烟花算法得到的结果要明显比文献[5]的算法精度更高。
例 2： f（x）=x3-3x2-6x+8，x∈［0，2］
4 实验结果分析
ÁÂÃÁÂÃÄÅÆ∈
∈∈∈f1（x）=x1+
研究与开发
文 章 编 号 ：1007-1423（2013）04-0018-04
DOI：10.3969/j.issn.1007-1423.2013.04.005
烟花算法求解非线性方程组
杜振鑫
（韩山师范学院陶瓷学院信息工程部， 潮州 521041）
摘 要： 烟花算法是最近提出的一种效率较高的优化算法，已被用于求解众多的优化问题。 给出利 用烟花算法求解非线性方程组的方法。 实验表明，所提出的算法对于求解变量耦合的非线 性方程组比其他算法占有优势，进一步分析存在优势的原因。
Proc.of Int. Conf. on Swarm Intelligence （ICSI2010）, Part II, LNCS 6145,pp.355-364, Beijing, China（12~15, Jun. 2010） [4]Y. Pei, S.Q. Zheng, Y. Tan, Hideyuki Takagi. An Empirical Study on Influence of Approximation Approaches on Enhancing Fireworks Algorithm[C].IEEE International Conferencce on System, Man and Cybernetics （SMC 2012）, Seoul, Korea. October 14~17, 2012 [5]张 姣 玲. 求 解 非 线 性 方 程 及 方 程 组 的 人 工 蜂 群 算 法 [J]. 计 算 机 工 程 与 应 用 ,2012,48（22）
式中 rand（-1，1）表示[-1，1]之间的随机数。上面的
过程中，由 n 个烟花总共产生了 m 个火花。 另外，为了
∧
增加种群多样性，按照高斯分布额外产生m 个火花，其
∧
中 第 j（j=1，2，… ，m ）个 火 花 的 第k（k=1，2，… ，si）维 坐
标更新如下：
∧j ∧j
x k =x k·Gaussian（1，1）
研究与开发
5 结语
本文给出了利用烟花算法求解非线性方程组的方 法 ，并 与 文 献[5]进 行 了 对 比 ，证 明 在 求 解 变 量 数 目 较 多、变量耦合度高的方程组方面，烟花算法存在优势， 并分析了其中的的原因。 当然， 本文算法只是初步尝 试，期待进一步的改进。
参考文献 [1]张建 科,王晓 智,刘 三阳,张 晓 清. 求 解 非 线 性 方 程 及 方 程 组
xk=xk+A·i rand（-1，1）
（3）
收稿日期：2012-11-20 修稿日期：2013-01-10 作 者 简 介 ：杜 振 鑫 （1976-），男 ，山 东 临 沂 人 ，硕 士 ，助 教 ，研 究 方 向 为 计 算 机 应 用 、人 工 智 能
趤趻 现代计算机 2013.02 上
研究与开发
和 bi 为 xi 的上下限。 同样，非线性方程组的解等价于：
n
Σ F（x）= fi2（x1，x2，…，xn）ai≤xi≤bi 的最小值。 i=1
2.2 算法步骤
选取 F（x）作为烟花算法待优化的目标函数。
（1）随机选择 n 个烟花并初始化其坐标；
（2）爆炸 n 个 烟 花 ：对 每 个 烟 花 首 先 按 照 公 式 （1）
优位置更远了。 这说明，整体更新算法也存在局限性，
虽然整体函数值下降了，却使某一维变差了。 比较好的
办法是采用折中的方法，烟花算法就是这种算法，每次
随机从 D 维中选取 z 维更新， 处于单维更新和整体更
新算法之间， 所以烟花算法适合求解变量耦合的非线
性方程组，实现了进化速度与精度的较好平衡。
趥趭 现代计算机 2013.02 上
∈
∈
∈∈∈f6（x）=x6-x1 x5 +1.5=0
其 中 ：-2≤x1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ，x 5 ，x 6 ≤2， 理 论 解 为 ：
（-1，1，-1，1，-1，1）T
x∈
∈
Fra Baidu bibliotek
x2
∈ ∈
1
x1
+x2
-5x1
x2
x3
-85=0
∈
例
4：
∈∈ 3
x≤
∈1
x3
x2
-x2 +x3 -60=0
∈
∈
（4）
式 中 ，Gaussian（1，1）是 一 个 均 值 和 方 差 都 为 1的 服从高斯分布的随机数。
"
按高斯
分布
产
生
∧
m
个新火
花
。
在所有
烟花（火花）中，按浓度原则重新选择
n 个新烟花
!
图 1 烟花算法流程图
上述 n 个烟花全部爆炸完成以后，当前烟花（火
一个固定的实根。 在[a，b]内只包含方程（7）的一个实根
x*，[a，b]∈（c，d）。 则方程（7）在[a，b]中的根 x* 等价于函
数：
V（x）=（f（x））2
（8）
在[a，b]中的最小值。 当 V（x）最小值为 0 的时候，
所对应的 x 即为方程（7）的根。
设非线性方程组由 n 个方程组成， 涉及 n 个未知
新。 单维更新如蜂群算法，每更新个体的一维就评价该
个体的适应度。 整体更新算法如粒子群算法，只有该个
体的所有维同时更新以后，才去评价该个体的适应度。
两种更新方式各有优缺点。 以 Rosenbrock 函数为例，该
函数是一个很难优化的函数，其表达式见公式：
D-1
Σ2
2
2
f4（x）= （100（xi -xi+1 ） +（xi -1） ）
第 i（i=1，2，… ，n）个 烟 花 爆 炸 产 生 的 火 花 数 目 可
以用式表示：
si=m· n ymax-f（xi）+ζ
（1）
Σ（ymax-f（xi））+ζ
i=1
式（1）中 m 表示由 n 个烟花所产生的火花的总数
目 ，ymax=max（f（xi））（i=1，2，… ，n）表 示 n 个 烟 花 对 应 目 标函数的最大值（即最坏值），ζ 表示计算机所能表示的
时刻个体坐标是（5,8），函数值是 28916，在某整体更新
算 法 的 作 用 下 ，另 一 时 刻 个 体 坐 标 整 体 更 新 为 （4,9）， 函
数值是 4909，函数值减小，所以算法以为这是一个正确
的方向，但是分析可发现第一维坐标从 5 变成 4，距离
最优位置 1 更近了，而第二维坐标从 8 变成 9，却离最
为 函 数 最 小 值 在 点 （1，1）， 粒 子 却 向 着 远 离 最 优 点 的 方
向移动。 这说明，单维更新算法不能考虑整体利益，往
往被误导，进入死胡同，特别是对于变量耦合度高的函
数，需要综合考虑各个维同时更新，单维更新算法的缺
陷更加明显，而且，由于更新了一维就要评价函数值，
大大增加了算法的计算代价。 再看第二种情况：假设某
适应度的差值等。 由上式看出， 距离相近的烟花 （火
花 ），被 选 中 的 概 率 较 低 ，这 就 避 免 了 优 势 烟 花 增 长 过
快，增加了种群多样性。
2 烟花算法求解非线性方程组
2.1 模型的建立
设非线性方程组：
f（x）=0
（7）
f（x）的全部实根包含在（c，d）中，x* 为方 程 的 任 意
∧
花）总数是 K'=n+m+m 。 在 k 个烟花（火花）中按照浓度 原则选择新的 n 个火花，参与下一轮爆炸。 第 i（i=1，2， …，k）个烟花（火花）被选中的概率由公式给出：
Σ R（xi）= d（xi-xj）
（5）
j∈K
p（xi）= R（xi）
（6）
Σd（xj）
j∈K
公 式 （5）中 d（xi-xj）表 示 第 i 个 烟 花 或 火 花 与 第 j 个烟花或火花之间的距离，可以是欧氏距离，也可以是
量 ，形 式 如 式 （9）所 示 ：
ΣΣf1=（x1，x2， … ，xn）=0
Σ
f = Σ
Σ Σ
2
（x1，x2，
…
，xn）=0
Σ
ΣΣ…
Σ
Σ
ΣΣfn=（x1，x2， … ，xn）=0
其 中 ，fn=（x1，x2，… ，xn）=0 （i=1，2， … ，n） 为 非 线 性 方
程 ，X=［x1，x2，… ，xn］为 方 程 组 的 未 知 向 量 ，ai≤xi≤bi，ai
花和火花中按照公式选取 n-1 个烟花或火花， 上述总
共 n 个烟花或火花作为新的烟花，参与下一轮爆炸；
（5）若满足停机条件则结束，否则转（2）继续执行。
3 实验
本文与文献[5]进行了比较，所有例子都运行 50 次 取平均结果。 由于不同的算法计算的原理不同，为了公 平起见，本文采用同样机器条件下，同样运行时间内， 看哪种算法所求结果更精确的原则。 本文采用的机器