第二章 信号的时域分析

第二章信号的时域分析

1、主要内容：本章主要介绍信号与系统分析中常用的连续时间基本信号和离散时间基本信号及其特性。信号的基本运算及时域分解。

2、学习目标：掌握常见基本信号的定义及特性，能对信号进行基本的运算和时域分解。

3、学习重点：掌握冲击信号和单位脉冲信号及其特性。掌握信号的翻转、平移和尺度变换运算。掌握信号分解为单位脉冲序列的线性组合。

4、应用：信号的MATLAB表示和利用MATLAB实现信号的基本运算。

5、教案：

2.1连续时间信号的时域描述

2.1.1 典型普通信号

1.指数信号

数学表达式：

R

t

Ae

t

f t∈

=,

)(α

图2-1 实指数信号

2. 复指数信号

函数表达式：

由欧拉公式可得：

图2-2 复指数信号实部与虚部的波形

根据α和

0ω的不同取值，复指数信号可以表示为以下信号：

当0()j t

f t Ae ω=，00ω=时，()f t A =为直流信号； 当0α=，00ω≠时，0

()j t

f t Ae ω=为正弦指数信号；

当0α≠，00ω=时，()t f t Ae α=为实指数信号；

3.抽样信号

抽样函数定义为：

（a ）增幅正弦振荡信号 （b ）等幅正弦振荡信号 （c ）衰减正弦振荡信号sin ()()t

f t S t α==

0()()j t f t Ae αω+=

00()[cos()sin()]t

f t Ae t j t αωω=+

可以看出，抽样函数满足以下性质： （1）(0)1a S =； （2）()0,

1,2,a S k k π==±±；

（3）()a S t dt π+∞

-∞

=⎰

（4）抽样函数为偶函数；

（5）当t 趋近±∞时，抽样函数的振幅趋近于零。

2.1.2 奇异信号

奇异信号：是指函数本身或其导数（或积分）具有不连续点的函数。 1. 单位阶跃信号

单位阶跃信号的定义为：

10

()00

t u t t >⎧=⎨

<⎩ 单位阶跃信号的波形如图2-4，单位阶跃信号又称为开关信号，其示意图如图2-5。

图2-4 单位阶跃信号 图2-5 开关电路

单位阶跃信号具有单边性，可以用来截断某个信号。

【例2-1】已知正弦函数()sin f t t =的图形如图2-6所示，试画出0()()f t t t ε-和00()()f t t t t ε--的波形。其中()t ε为单位阶跃信号。

t

V

1

【 解 】

图2-7 例2-1答案波形图

2. 单位冲激信号

单位冲激信号的引入：冲激信号的概念来源于某些物理现象，如自然界中的雷电、电力系统中开关启闭产生的瞬间电火花、通信系统中的抽样脉冲等。图2-8所示为一无初始储能的充电电路，直流电压源的电压为E ，当电容容量C 不变，电阻R 减少时，充电速率提高，当时，开关闭合后，电容两端电压由原来的0值突变到电源电压值E ，此时电流值为无限大，如何来表示这一无限大的电

图

2-8 无初始储能的充电电路

图2-6 正弦信号的波形

单位冲激信号的定义： 其图形如图2-9。

（a ）冲激信号

（b ）延迟的冲激信号

（c ）冲激强度K

图2-9 单位冲激信号

单位冲激信号的性质：

（1）筛选特性：设有一函数()f t ，它在0t t =处连续，则有：

'''0000

0()()()()

()()

f t t t f t t t f t t

t δδδ-=--+-

（2）取样特性：设有一函数()f t ，它在0

t t =处连续，则有：

00()()()

f t t t dt f t δ+∞

-∞

-=⎰

（3）展缩特性：''

1()()at t a a

δδ=

推论1：冲激信号是偶函数。 推论2：1()()b at b t a a

δδ+=

+ （4）卷积特性：

00()()()

f t t t f t t δ*-=-

（5）冲激信号和阶跃信号的关系：

10

()()00

t

t t d u t t δτ-∞>⎧==⎨

<⎩⎰

()

()du t t dt

δ= ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰∞

∞

-100dt )t ()t ()t (δδ

【例2-2】计算下列各式的值。 （1）sin()()4t t dt π

δ+∞

-∞-⎰

（2）6

24

(8)t e t dt δ+-+⎰

（3）2

1(22)t e t dt δ+---⎰

（4）32(23)(2)t t t δ++-

【 解 】

（1

）sin()()sin()442

t t dt ππδ+∞-∞-==⎰

（2）0t t =

（3）221111

(22)(1)22t t e t dt e t dt e

δδ++-----=-=⎰⎰

（4）3232(23)(2)(2223)(2)19(2)t t t t t δδδ++-=+⨯+-=- 【分析】

利用了单位冲激信号的取样特性；

积分区间不包括冲激信号0()t t δ-的0t t =时刻，积分结果必为零； 先利用冲激信号的展缩特性，再利用其取样特性； 利用冲激信号的筛选特性。 3. 单位冲激偶信号

单位冲激信号的求导称为单位冲激偶信号，又称二次冲激信号，用符号表示。冲激偶信号顾名思义是有两个上下对称的冲激信号，如图2-10（a ）所示，或简单表示为图2-10（b ）所示的形式。

图2-10单位冲激偶信号