九年级数学 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系知识要点归纳

圆心弧弦弦心距之间的关系

［知识要点归纳］

1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。

2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。

（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等，

一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角，也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。

注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。而不是角与弧相等，在书写时要防

止出现“∠=⋂

AOB AB ”之类的错误。因为角与弧是两个不能比较变量的概念。相等的弧

一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧。 6. 圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系

（1）在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。

当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。

（2）在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立。

注意：不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。 7. 辅助线方法小结：

（1）有弦的中点时，常连弦心距，进而可利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关系定理；另外，证明两弦相等也常作弦心距。

（2）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。 （3）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：

（I ）连过弧中点的半径；（II ）连等弧对的弦；（III ）作等弧所对的圆心角。 ∴AB ＝CD 弦AB 、DC 若PO 平分∠APC 弦AB 、CD 交于P 点（P

PO 平分∠APC ，求证：

样，利用弦心距等。

（2）在Rt △POM 和Rt ∠=∠∠=∠=⎧⎨⎪

⎩

⎪12OMP ONP OP OP

∴≅∆∆POM PON AAS ()

∴=PM PN

AM AB CN CD AB CD =

==121

2

，， ∴=AM CN

（）把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。222CD CD AB ⋂⋂⋂

解法一：

过点作于，则，O OF AB E AF FB AB AE EB AB ⊥⋂=⋂=⋂==121

2

AB CD AE CD AB =∴==21

2

，

AF FB AF FB ⋂=⋂

∴=，（等弧对等弦）

2

+>∴>∆AFB AF FB AB AF AB 在中，，

∴≅

COF DOE

∆∆

OE OF

∴=

OE OC OD OE DEO =∴=∴∠=︒，，1

2

30 ∴∠=︒-︒=︒EOD 903060

∴⋂

︒EC 的度数是60

∠=∠=︒EOA DEO 30

∴⋂

︒AE 的度数是30

∴∆AOE为等边三角形∴==

AE AO a

又， ∠=∠=︒∴EAO CBA AE BC 60// ∴∆∆AME BMC ~

∴===AM BM AE BC a a 21

2 ∴=AM AB 13

同理，BN AB =1

3

∴=-=MN AB AB AB 231

3

∴==AM MN NB

解析二：

连结，易知，也可求得

，进而可求得与半径的比。OE OE AC AM

MO

AM //

证法二：

如图，连结OE ，设AC ＝2a ，则AC ＝AB ＝2OE ＝2a ∠=∠=︒∴CAM AOE AC OE 60，//

∴

===OM AM OE AC a a 21

2 ∴+==OM AM AM AM OA 3223，即

故AM AB =1

3

3

1

AB BN =同理，

∴==AM MN NB 解析三：

要证AM ＝MN ＝NB ，即证AM ：MO ＝2：1，故联想到三角形的重心性质，若能证明M 是△ACG 的重心，问题得证。（三角形的重心即为三角形三条中线的交点到顶点的距离等于交点到对边中点距离的2倍）

∴AO ⊥CG ，∠CAB ＝∠GAO ＝60°，AO ＝AO ∴△AOC ≌△AOG

∴OC ＝OG ，且AG ＝AC ＝2a ∵AE ＝a ，∴AE ＝EG ＝a

即E 为AG 中点，O 为CG 中点 ∴M 为△ACG 的重心

∴=

==AM AO a AB 23231

3

同理，NB AB =1

3

∴==AM MN NB

【模拟试题】 一. 选择题。

1. 在⊙O 与⊙O'中，若∠=∠AOB A O B '''中，则有（ ）

A. AB A B ⋂

=

⋂

'' B. AB A B ⋂>⋂''

C. AB A B ⋂

<⋂

'' D. AB A B ⋂⋂

与''的大小无法比较

2. 半径为4cm ，120°的圆心角所对的弦长为（ ）

A. 5cm

B. 43cm

C. 6cm

D. 33cm 3. 在同圆或等圆中，如果圆心角∠BOA 等于另一个圆心角∠COD 的2倍，则下列式子中能成立的是（ ） A. AB CD =2

B. AB CD ⋂>⋂2

C. AB CD ⋂<⋂

2

D. AB CD ⋂=⋂2

4. 在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝90°，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长为（ ） A. 42 B. 82 C. 24 D. 16

5. 在⊙O 中，两弦AB ＜CD ，OM 、ON 分别为这两条弦的弦心距，则OM 、ON 的关系是（ ） A. OM ON > B. OM ON = C. OM ON < D. 无法确定