三维轴对称问题的平面等效解法
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(15 ) 式的实质是将币状裂纹沿径向切开 , 将 二维挤压成一维 。由于 (15 ) 式的提出 , 我们完成 了三维轴对称问题向平面问题的等效 。以下 , 我 们将给出一些算例 , 以充分体现这一等效方法的 有效性 。
3 算例
问题 1 : 币状裂纹面 r < a 内受均布载荷σ0 作 用 , a 为裂纹半径 。
(3)
∫ Φ =
π 2
0
sin2 < +
(
a c
)
2co
s2
<
1/ 2
d<
(4)
式中 , a , c 分别为椭圆裂纹面的半短 、半长轴 , < 为 极角 , E 为弹性模量 ,σ为远场应力 ,ν为泊松比 , r
为裂纹前缘到半长轴的距离 。
由以上几式 , 令 c = a , 立刻得到关于币状
(即圆盘状) Ⅰ型裂纹的裂纹面位移
参考文献
[1 ]L1S1Chen , J1H1Kuang 1a Displacement Extrapolation Method for De2 termining the Stress Intensity Factors along Flaw Border1Int1Jour1of Fracture ,1992 ,57 (4) ,51 - 58
由 (15 ) 式知 , 等效平面问题的分布载荷 pe 为
pe ( r ) = σ0
r a
(17)
利用 (16 ) 式 (即是 (14 ) 式) ,得
∫ K =
r 2σ0 ( x/ a )
0
πa
1
-
1 ( x/
a ) d2 x
=
2σ0
a
π
1-
1-
r2 a
(18)
这正是文献[ 2 ]给出的结果 。 问题 2 : 裂纹面承受旋转型对称法向分布力σ
u
=
u0
2r a
1/ 2
1-
r 2a
1/ 2
(5)
u0
=
4σa
(1 - ν2 ) πE
(6)
将 (5 ) 式利用 R + r = a 的条件 ( R 为自坐标原点 起算的极径 , 参见图 1 ) , 转化为以坐标原点起算 的形式 , 得
u = u0 1 -
R 2 1/ 2 a
(7)
上式同于平面型裂纹面位移表达式 , 即如将含币 状裂纹体沿轴对称面截开 , 其裂纹截面的表观形 状等同于平面问题 。于是 , 做出以下的猜测是自 然的 : 三维轴对称断裂力学问题在某种程度上可 与平面断裂力学问题等效 。
·10 ·
∫ u =
2a E′0
Kp
9 KF 9F
d
a
(8)
E′ = E
平面应力
=
1
E
- ν2
平面应变
式中 , Kp 为远场应力 P 引起的应力强度因子 , KF
为虚拟力 F 引起的应力强度因子 。
对于平面 Ⅰ型裂纹问题 ,由文献[ 2 ]易得
Kp = P πa
(9)
KF =
2F πa
1 1 - ( x/ a ) 2
面上下对称 ,
取一半 ,
令 u0
=
Pa
E′
,
得
u = u0 1 -
x 2 1/ 2 a
(12)
此式与 (7 ) 式完全相同 。 对于币状裂纹 (参见图 2 ) , 文献[ 2 ]给出远场
均布载荷 P 与 r 处作用集中力 p 的应力强度因子 分别为
Kp = 2 P
a
π
(13)
Kp
=
2πrp (πa) 3/ 2
Abstract An equivalent procedure is given which can transform penny - shaped crack problems into straight crack problems1It makes the work of solution of penny - shaped crack problems very simple1Several examples are also provided at the end of the paper ,which show that this new method is effective and reliable .
(20)
同于文献 [ 2 ] 给出的结果 。(20 ) 式的导出具有重 要意义 , 其普适性是显而易见的 。该式实质上表 明了本方法对于求解众多三维轴对称问题的有效 性。
由上下面位移的对称性 , 得
∫ 1 a
u = E′x
2 πζ
1
-
1 (
x/
ζ)
d2ζ·
∫ 1 ζ
(πζ) 3/ 2 0
2πyσ ( y ) 1 - ( y/ ζ)
2πrp = 2πape
(15)
如此 , 只要保证 pe 的一贯性 , 就能满足对 F 的要 求 。将 (15 ) 式代入 (14 ) 式 , 得
Kp = e
2 pe πa
1 1 - ( r/ a ) 2
(16)
这里 , pe 等效于 F (从量纲上也能看出这一点) , 显然 (16 ) 式同于 (10 ) 式 , 于是利用得到 (12 ) 式的 方法 , 可得 (7 ) 式 。
关键词 轴对称 ; 币状裂纹 ; 平面裂纹 ; 应力强度因子
轴对称断裂力学问题 (如币状裂纹受空间对称 载荷问题) 在裂纹面内的性质值取决于一个变量 ———径向距离 , 即属于一维问题 。对于一般的平 面问题 , 在裂纹面内的性质 , 也是一维的 。这两 者是否有内在的联系 , 是否存在数学上的某种等 效关系 , 是否可以利用平面问题的方法和结论来 讨论轴对称问题 (如此 , 将使问题的处理大为简 化 , 众所周知 , 传统的关于三维问题的数学处理 是十分复杂的) 。本文即是就此作一个探索 。
1 问题的提出
文献[ 1 ]针对无限大弹性体内的 Ⅰ型椭圆状裂 纹给出关于裂纹面位移的如下结论 :
u = u0
2 rf ac
1/ 2
1-
acr 2f 3
ca22cos2 < +
c2 a2
sin2
<
1/ 2
(1)
f = ( a2cos2 < + c2sin2 <) 1/ 2
(2)
u0
=
2σa (1 - ν2) ΦE
[2 ]中国航空研究院编著 1 应力强度因子手册 1 北京 :科学出版社 , 1993
A EQUIVAL ENT METHOD TO SOL VE THE AXIS ∃ SYMMETRY PROBL EM
He Lijun1 , LüGuozhi2
(11Department of Physics & Electrical Information Engineering , Ningxia University , Ningxia 750021 , China) (21Northwestern Polytechnical University , Xi’an710072 ,China)
Key words equivalent procedure ; penny - shaped crack ; straight crack
(10 )
式中 , a 为裂纹半长 , x 为 F 作用位置坐标 。
利用 (8 ) 式 , 并将积分过程看作是裂纹由零 开始的准静态扩展过程 , 得
∫ u
=
2a E′0
P
πy
1 πy
1
-
2 ( x/
y ) d2 y
=
2 Pa E′
1
-
x 2 1/ 2 a
(11 )
以上给出了上下裂纹面的相对位移 , 考虑到裂纹
d2
y
=
∫ ∫ 4 a
πE′x
dζ ζ ζ2 - x2 0
yσ ( y ζ2 -
) y2
d
y
(21)
·11 ·
(21 ) 式即为币状裂纹面受任意轴对称载荷时 的裂纹面位移 。令σ = σ0 , 代入之 , 立即得 (6 ) , (7 ) 式结果 。
4 结论
通过以上的分析与应用 , 证明基于 (15 ) 式由 三维轴对称问题向平面问题等效的方法是可行的 。 只要将裂纹面受力边界条件按 (15 ) 式转化为等效 平面问题的受力边界条件 , 然后完全按平面问题 的方法求解 , 即可简单地得到分析结果 。显然 , 本方法尚有进一步挖掘探讨的潜力 。
图 1 坐标转换示意
以下 , 我们将考虑这种等效的形式和 合 理 性 。
Biblioteka Baidu2 等效问题
众所周知 ,对于线弹性体而言 , Paris 公式是研 究受力与变形关系的一个极有效的方法 ,对 Ⅰ型裂 纹 ,其表达式为
收文日期 :2002 03 05 作者简介 :何力军 (1971 —) ,男 ,工学博士 ,主要研究方向 :复合材料断裂力学
看出 , 对 (14 ) 式的直接应用是无法达成目的的 。 如何解决这一矛盾呢 ? 问题的深刻性正在这里 : 设想 , 对于平面问题 , 由于弹性体等厚的原
因 (一般假设具有单位厚度) , 因而距离坐标原点 无论远近 , 所加虚拟集中力 F 的大小均是相同 的 。而对于币状裂纹 , 尽管在不同 r 处所加的 p 是相同的 , 但由于其几何结构的特殊性 , 实质上 在不 同 r 处 所 加 的 集 中 力 是 不 同 的 , 大 小 为 2πrp 。亦即 , 如果直接应用 (14 ) 式 , 其实质是在 不同位置加上大小不同的虚拟集中力 , 这样当然 不会得到我们期待的结果 。为此 , 我们必须对 (14 ) 式进行改造 。我们提出下式 :
1 1 - ( r/ a) 2
(14)
图 2 币状裂纹几何结构示意
由于 (8 ) 式的普适性 (仅对材料的物理性质提 出要求) , 理论上讲 , 利用 (8 ) , (13 ) 和 (14 ) 式 , 就可以得到 (7 ) 式 。但对比 (14 ) 式与 (10 ) 式可以
飞机设计第 3 期 2002 年 9 月
何力军 , 吕国志 : 三维轴对称问题的平面等效解法
·9 ·
三维轴对称问题的平面等效解法
何力军1 吕国志2
(1. 宁夏大学物理与电器工程系 , 银川 , 750021) (2. 西北工业大学飞机系 , 西安 , 710072 )
摘 要 提出一个重要关系 , 由此建立了三维轴对称问题与平面问题的联系 , 得到两者之间的等效关系 。 针对币状裂纹 , 利用平面问题解法给出几种对称受载情形的裂纹面位移和应力强度因子 , 并与文献结果作了 比较 。
( r ) 的作用 , a 为裂纹半径 。 由 (15 ) 式知 , 等效平面问题的分布载荷为
何力军 , 吕国志 : 三维轴对称问题的平面等效解法
pe ( r ) = σ ( r )
r a
(19)
由 (16 ) 式 , 立即得
∫ 1 a
K
=
(πa )
3/ 2 0
2πσr ( r) d r 1 - ( r/ a ) 2
3 算例
问题 1 : 币状裂纹面 r < a 内受均布载荷σ0 作 用 , a 为裂纹半径 。
(3)
∫ Φ =
π 2
0
sin2 < +
(
a c
)
2co
s2
<
1/ 2
d<
(4)
式中 , a , c 分别为椭圆裂纹面的半短 、半长轴 , < 为 极角 , E 为弹性模量 ,σ为远场应力 ,ν为泊松比 , r
为裂纹前缘到半长轴的距离 。
由以上几式 , 令 c = a , 立刻得到关于币状
(即圆盘状) Ⅰ型裂纹的裂纹面位移
参考文献
[1 ]L1S1Chen , J1H1Kuang 1a Displacement Extrapolation Method for De2 termining the Stress Intensity Factors along Flaw Border1Int1Jour1of Fracture ,1992 ,57 (4) ,51 - 58
由 (15 ) 式知 , 等效平面问题的分布载荷 pe 为
pe ( r ) = σ0
r a
(17)
利用 (16 ) 式 (即是 (14 ) 式) ,得
∫ K =
r 2σ0 ( x/ a )
0
πa
1
-
1 ( x/
a ) d2 x
=
2σ0
a
π
1-
1-
r2 a
(18)
这正是文献[ 2 ]给出的结果 。 问题 2 : 裂纹面承受旋转型对称法向分布力σ
u
=
u0
2r a
1/ 2
1-
r 2a
1/ 2
(5)
u0
=
4σa
(1 - ν2 ) πE
(6)
将 (5 ) 式利用 R + r = a 的条件 ( R 为自坐标原点 起算的极径 , 参见图 1 ) , 转化为以坐标原点起算 的形式 , 得
u = u0 1 -
R 2 1/ 2 a
(7)
上式同于平面型裂纹面位移表达式 , 即如将含币 状裂纹体沿轴对称面截开 , 其裂纹截面的表观形 状等同于平面问题 。于是 , 做出以下的猜测是自 然的 : 三维轴对称断裂力学问题在某种程度上可 与平面断裂力学问题等效 。
·10 ·
∫ u =
2a E′0
Kp
9 KF 9F
d
a
(8)
E′ = E
平面应力
=
1
E
- ν2
平面应变
式中 , Kp 为远场应力 P 引起的应力强度因子 , KF
为虚拟力 F 引起的应力强度因子 。
对于平面 Ⅰ型裂纹问题 ,由文献[ 2 ]易得
Kp = P πa
(9)
KF =
2F πa
1 1 - ( x/ a ) 2
面上下对称 ,
取一半 ,
令 u0
=
Pa
E′
,
得
u = u0 1 -
x 2 1/ 2 a
(12)
此式与 (7 ) 式完全相同 。 对于币状裂纹 (参见图 2 ) , 文献[ 2 ]给出远场
均布载荷 P 与 r 处作用集中力 p 的应力强度因子 分别为
Kp = 2 P
a
π
(13)
Kp
=
2πrp (πa) 3/ 2
Abstract An equivalent procedure is given which can transform penny - shaped crack problems into straight crack problems1It makes the work of solution of penny - shaped crack problems very simple1Several examples are also provided at the end of the paper ,which show that this new method is effective and reliable .
(20)
同于文献 [ 2 ] 给出的结果 。(20 ) 式的导出具有重 要意义 , 其普适性是显而易见的 。该式实质上表 明了本方法对于求解众多三维轴对称问题的有效 性。
由上下面位移的对称性 , 得
∫ 1 a
u = E′x
2 πζ
1
-
1 (
x/
ζ)
d2ζ·
∫ 1 ζ
(πζ) 3/ 2 0
2πyσ ( y ) 1 - ( y/ ζ)
2πrp = 2πape
(15)
如此 , 只要保证 pe 的一贯性 , 就能满足对 F 的要 求 。将 (15 ) 式代入 (14 ) 式 , 得
Kp = e
2 pe πa
1 1 - ( r/ a ) 2
(16)
这里 , pe 等效于 F (从量纲上也能看出这一点) , 显然 (16 ) 式同于 (10 ) 式 , 于是利用得到 (12 ) 式的 方法 , 可得 (7 ) 式 。
关键词 轴对称 ; 币状裂纹 ; 平面裂纹 ; 应力强度因子
轴对称断裂力学问题 (如币状裂纹受空间对称 载荷问题) 在裂纹面内的性质值取决于一个变量 ———径向距离 , 即属于一维问题 。对于一般的平 面问题 , 在裂纹面内的性质 , 也是一维的 。这两 者是否有内在的联系 , 是否存在数学上的某种等 效关系 , 是否可以利用平面问题的方法和结论来 讨论轴对称问题 (如此 , 将使问题的处理大为简 化 , 众所周知 , 传统的关于三维问题的数学处理 是十分复杂的) 。本文即是就此作一个探索 。
1 问题的提出
文献[ 1 ]针对无限大弹性体内的 Ⅰ型椭圆状裂 纹给出关于裂纹面位移的如下结论 :
u = u0
2 rf ac
1/ 2
1-
acr 2f 3
ca22cos2 < +
c2 a2
sin2
<
1/ 2
(1)
f = ( a2cos2 < + c2sin2 <) 1/ 2
(2)
u0
=
2σa (1 - ν2) ΦE
[2 ]中国航空研究院编著 1 应力强度因子手册 1 北京 :科学出版社 , 1993
A EQUIVAL ENT METHOD TO SOL VE THE AXIS ∃ SYMMETRY PROBL EM
He Lijun1 , LüGuozhi2
(11Department of Physics & Electrical Information Engineering , Ningxia University , Ningxia 750021 , China) (21Northwestern Polytechnical University , Xi’an710072 ,China)
Key words equivalent procedure ; penny - shaped crack ; straight crack
(10 )
式中 , a 为裂纹半长 , x 为 F 作用位置坐标 。
利用 (8 ) 式 , 并将积分过程看作是裂纹由零 开始的准静态扩展过程 , 得
∫ u
=
2a E′0
P
πy
1 πy
1
-
2 ( x/
y ) d2 y
=
2 Pa E′
1
-
x 2 1/ 2 a
(11 )
以上给出了上下裂纹面的相对位移 , 考虑到裂纹
d2
y
=
∫ ∫ 4 a
πE′x
dζ ζ ζ2 - x2 0
yσ ( y ζ2 -
) y2
d
y
(21)
·11 ·
(21 ) 式即为币状裂纹面受任意轴对称载荷时 的裂纹面位移 。令σ = σ0 , 代入之 , 立即得 (6 ) , (7 ) 式结果 。
4 结论
通过以上的分析与应用 , 证明基于 (15 ) 式由 三维轴对称问题向平面问题等效的方法是可行的 。 只要将裂纹面受力边界条件按 (15 ) 式转化为等效 平面问题的受力边界条件 , 然后完全按平面问题 的方法求解 , 即可简单地得到分析结果 。显然 , 本方法尚有进一步挖掘探讨的潜力 。
图 1 坐标转换示意
以下 , 我们将考虑这种等效的形式和 合 理 性 。
Biblioteka Baidu2 等效问题
众所周知 ,对于线弹性体而言 , Paris 公式是研 究受力与变形关系的一个极有效的方法 ,对 Ⅰ型裂 纹 ,其表达式为
收文日期 :2002 03 05 作者简介 :何力军 (1971 —) ,男 ,工学博士 ,主要研究方向 :复合材料断裂力学
看出 , 对 (14 ) 式的直接应用是无法达成目的的 。 如何解决这一矛盾呢 ? 问题的深刻性正在这里 : 设想 , 对于平面问题 , 由于弹性体等厚的原
因 (一般假设具有单位厚度) , 因而距离坐标原点 无论远近 , 所加虚拟集中力 F 的大小均是相同 的 。而对于币状裂纹 , 尽管在不同 r 处所加的 p 是相同的 , 但由于其几何结构的特殊性 , 实质上 在不 同 r 处 所 加 的 集 中 力 是 不 同 的 , 大 小 为 2πrp 。亦即 , 如果直接应用 (14 ) 式 , 其实质是在 不同位置加上大小不同的虚拟集中力 , 这样当然 不会得到我们期待的结果 。为此 , 我们必须对 (14 ) 式进行改造 。我们提出下式 :
1 1 - ( r/ a) 2
(14)
图 2 币状裂纹几何结构示意
由于 (8 ) 式的普适性 (仅对材料的物理性质提 出要求) , 理论上讲 , 利用 (8 ) , (13 ) 和 (14 ) 式 , 就可以得到 (7 ) 式 。但对比 (14 ) 式与 (10 ) 式可以
飞机设计第 3 期 2002 年 9 月
何力军 , 吕国志 : 三维轴对称问题的平面等效解法
·9 ·
三维轴对称问题的平面等效解法
何力军1 吕国志2
(1. 宁夏大学物理与电器工程系 , 银川 , 750021) (2. 西北工业大学飞机系 , 西安 , 710072 )
摘 要 提出一个重要关系 , 由此建立了三维轴对称问题与平面问题的联系 , 得到两者之间的等效关系 。 针对币状裂纹 , 利用平面问题解法给出几种对称受载情形的裂纹面位移和应力强度因子 , 并与文献结果作了 比较 。
( r ) 的作用 , a 为裂纹半径 。 由 (15 ) 式知 , 等效平面问题的分布载荷为
何力军 , 吕国志 : 三维轴对称问题的平面等效解法
pe ( r ) = σ ( r )
r a
(19)
由 (16 ) 式 , 立即得
∫ 1 a
K
=
(πa )
3/ 2 0
2πσr ( r) d r 1 - ( r/ a ) 2