三角函数最值或值域的求法
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三角函数最值或值域的
求法
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
三角函数最值或值域的求法
三角函数的最值问题是本章的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。 类型一：利用1cos 1sin ,≤≤x x 这一有界性求最值。
例1：求函数x
x y sin 21sin --=
的值域。
解：由x
x y sin 21sin --=
变形为(1)sin 21y x y +=+，知1y ≠-，则有21sin 1y x y +=+，由21|sin |||11y x y +=≤+22221||1(21)(1)1y y y y +⇒≤⇒+≤++203
y ⇒-≤≤，则此函数的值域是2[,0]3y ∈-
类型二：x b x a y cos sin +=型。此类型通常可以可化为sin cos )y a x b x x ϕ=++求其最值（或值域）。
例2：求函数)3
sin()6sin(ππ++-=x x y （R x ∈）的最值。
解法1：)12
sin(2]4)6sin[(2)6cos()6sin(πππππ+=+-=-+-=x x x x y ，∴函数的最大值为2，最小值为2-。
分析2：运用公式sin (α±β) = sin αcos β ± cos αsin β
解法2：x x y cos 2
13sin 213-++= ∴函数的最大值为2，最小值为2-。 分析3：观察发现角)3(π+x 与角)6(π-x 的差恰好为2π，故将)6
(π-x 看成基本量，将函数化归为同一角)6
(π-x 的函数式。 解法3： （运用和差化积公式 ） )4cos()12sin(2ππ-+=x y )12
sin(2π+=x ∴函数的最大值为2，最小值为2-。
类型三：)0(sin sin 2≠++=a c x b x a y 型。此类型可化为)0(2≠++=a c bt at y 在区间
]1,1[-上的最值问题。
例3：求函数1sin 3cos 2++=x x y （R x ∈）的最值
分析：转化为一个角的同一种函数sinx ，将问题化归为“二次函数”的最值问题，用配方法。 解：4
9)23(sin 1sin 3sin 122+--=++-=x x x y ∴函数的最大值为4
9，最小值为4325-
例4：求函数1sin 3cos 2++=x a x y （R a ∈，
R x ∈）的最大值。
解：1sin 3cos 2++=x a x y
转化为2sin sin 2y x x =-+配方得：
24
3)23(sin 22++-
-=a a x y ①当123>a ，即332>a 时，在sinx=1，即)(22