第十六章压杆稳定

第十六章 压 杆 稳 定

一、内容提要

1. 概念

稳定平衡 构件受力作用且经干扰后能保持原有平衡状态，称之为稳定平衡。

失稳 构件受力作用且经干扰后不能保持原有平衡状态，构件为不稳定平衡，即为压杆丧失稳定性，简称失稳。

临界力 临界平衡状态时作用在压杆上的压力。

2. 临界力或临界应力

细长压杆用欧拉公式

22)(l EI F cr μπ= 22λ

πσE cr = 中长压杆用经验公式

σcr =a －b λ

2 3. 压杆稳定计算

稳定条件

σ=A

F N ≤ϕ[σ] 利用稳定条件可解决三方面问题

1. 压杆稳定校核

2. 计算压杆或结构的许用荷载

3. 确定压杆截面尺寸

二、典型例题解析

例16-1 图16-1所示压杆均为圆形截面细长压杆，各杆所用的材料及直径均相同。当压力从零开始以相同的速率增加时，问哪根杆最先失稳？

图16-1

知识点 压杆的临界力与失稳

解 临界力小的杆首先失稳。各杆均为细长压杆，临界力均用欧拉公式计算

A E F cr ⋅λ

π=22 由已知条件可知各杆EA 均相同。所以λ最大者临界力最小，杆最先失稳。

λ=i

l μ 各杆i 均相同，只需比较μl 的大小。 a 杆：μl =2a

b 杆：μl =1.3a

c 杆：μl =1.12a

a 杆的μl 最大，即λ最大，a 杆最先失稳。

例16-2 图16-2a 为一螺旋千斤顶，最大承载压力F P =120kN ，材料为Q235钢，[σ]=80MPa ，丝杠长l =500mm ，丝杠为圆形截面（轧制），直径D=52mm ，试校核其稳定性。

图16-2

知识点 压杆稳定性校核

解 （1）计算柔度

丝杆可简化为下端固定上端自由的压杆，见图16-2b

μ=2

i=mm mm d 134524== 柔度λ=13

5002⨯=i l

μ=77＜100 属于中长杆 (2) 稳定性校核

查教材表16-4得 ϕ=0.801

ϕ[σ]=0.801×80MPa=64.08MPa

工作应力 σ=2

35214.3410120⨯⨯⨯=A F P MPa=56.5MPa ＜64.08MPa 稳定性满足要求.

三、思考题提示或解答

16-1 图示矩形截面杆，两端受轴向压力F 作用。设杆端约束条件是：在xy 平面内两端视为铰支；在xz 平面内两端视为固定端。试问该压杆的b 与h 的比值等于多少时，才是合理的？

思 16-1图

提示 在xy 平面内弯曲时z 为中性轴；在xz 平面内弯曲时y 为中性轴。使b 与h 的比值最合适时两个平面内的临界力相等。b/h=0.5

16-2 有一圆截面细长压杆，试问：（1）杆长增加一倍；（2）直径d 增加一倍。临界力各有何变化？

提示 按欧拉公式分析。

（1）杆长增加一倍时，临界力为原来的1/4

（2）直径d 增加一倍时，临界力为原来的16倍。

16-3 根据柔度大小，可将压杆分为哪些类型？这些类型压杆的临界应力σcr 计算式是什么？分别属于什么破坏？

解答 根据柔度大小，可将压杆分为细长、中长、短粗三类；

细长压杆临界应力用欧拉公式 σcr =22λ

πE 中长压杆临界应力用经验公式 σcr =a －b λ

2 短粗压杆临界应力用极限应力 σcr =σs 或σcr =σb

16-4 图示各种截面形状的中心受压直杆两端为球铰支承，试确定在压杆失稳时，将绕横截面的哪根轴转动。

思 16-4图

提示 压杆失稳时将绕惯性矩最小的轴转动。

16-5 图示四根压杆的材料及截面均相同，试判断哪个杆的临界力最大？

思16-5图

解答 柔度λ与临界力成反比，柔度λ最小的杆临界力最大。

λa =4l/i λb =5l/i

λc =4.9l/i λd =4.5l/i

λmin =λa =4l/i

所以a 杆的临界力最大.

16-6 试判断以下两种说法是否正确？

（1）临界力是使压杆丧失稳定的最小荷载。

（2）临界力是压杆维持直线稳定平衡状态的最大荷载。

解答 （1）正确；（2）不正确

16-7 何为折减系数？它随哪些因素变化？

提示 折减系数就是稳定系数；它随材料、柔度、截面类型而变。

16-8 何为柔度？柔度表征压杆的什么特性？它与哪些因素有关？

提示 柔度表征压杆的长细特性；它与压杆的支承情况、长度、截面形状及尺寸有关。

四、课后习题解答

题16-1～16-5为计算临界力

16-1两端铰支的№22a 工字钢的细长压杆。已知杆长l =6m ，材料Q235钢，其弹性模量E=200GPa 。试求该压杆的临界力。

题16-1图

解 细长压杆的临界力用欧拉公式计算 两端铰支 μ=1

查型钢表得 I min =225cm

4 F cr =N l EI 2

34

3222)1061(102251020014.3)(⨯⨯⨯⨯⨯⨯=μπ=123kN 16-2 一端固定一端铰支的圆截面细长压杆。已知杆长l =3m ，d =50mm ，材料Q235钢，其弹性模量E =200GPa 。试求该杆的临界力。

题16-2图

解 细长压杆的临界力用欧拉公式计算

一端固定另一端铰支 μ=0.7 圆截面的惯性矩 I=

644d π F cr =N l EI 234

3222)

1037.0(645014.31020014.3)(⨯⨯⨯⨯⨯⨯=μπ=137kN 16-3 图示结构由两个圆截面杆组成，已知二杆的直径d 及所用材料均相同，且二杆均为细长杆。问：当F P 从零开始逐渐增加时，哪个杆首先失稳？（只考虑图示平面）

题16-3图

解 (1) 求每根杆的压力

取B 点研究，如题解16-3图。