第11讲 反比例函数(含答案点拨)

第11讲 反比例函数

定，也经常与一次函数、二次考查形式以选择题、填空题为主.

知识梳理

一、反比例函数的概念

一般地，形如________________(k 是常数，k ≠0)的函数叫做反比例函数．

1．反比例函数y ＝k x 中的k

x

是一个分式，所以自变量________，函数与x 轴、y 轴无交点．

2．反比例函数解析式可以写成xy ＝k (k ≠0)，它表明在反比例函数中自变量x 与其对应函数值y 之积，总等于已知常数k .

二、反比例函数的图象与性质 1．图象

反比例函数的图象是双曲线． 2．性质

(1)当k ＞0时，双曲线的两支分别在________象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而________；当k ＜0时，双曲线的两支分别在________象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而________．注意双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交．

(2)双曲线是轴对称图形，直线y ＝x 或y ＝－x 是它的对称轴；双曲线也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．

三、反比例函数的应用

1．利用待定系数法确定反比例函数解析式

由于反比例函数y ＝k

x

中只有一个待定系数，因此只要一对对应的x ，y 值，或已知其图

象上一个______的坐标即可求出k ，进而确定反比例函数的解析式．

2．反比例函数的实际应用 解决反比例函数应用问题时，首先要找出存在反比例关系的两个变量，然后建立反比例函数模型，进而利用反比例函数的有关知识加以解决．

自主测试

1．如图，是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是( )

A ．y ＝x 2

B ．y ＝4

x

C ．y ＝－3x

D ．y ＝1

2

x

2．已知点P (－1,4)在反比例函数y ＝k

x

(k ≠0)的图象上，则k 的值是( )

A ．－14

B ．1

4

C ．4

D ．－4

3．若点A (1，y 1)，B (2，y 2)是双曲线y ＝3

x

上的点，则y 1__________y 2(填“＞”“＜”或“＝”)．

考点一、反比例函数的图象与性质

【例1】反比例函数y ＝m －1

x

的图象在第一、三象限，则m 的取值范围是__________．

解析：∵函数的图象在第一、三象限，∴m －1＞0，∴m ＞1. 答案：m ＞1

方法总结 1．.由于双曲线自变量的取值范围是x ≠0的实数，故其性质强调在每个象限内y 随x 的变化而变化的情况．

2．反比例函数图象的分布取决于k 的符号，当k ＞0时，图象在第一、三象限，当k ＜0时，图象在第二、四象限．

触类旁通 1 若双曲线y ＝2k －1

x

的图象经过第二、四象限，则k 的取值范围是

__________．

考点二、反比例函数解析式的确定

【例2】如图，直线y ＝2x 与反比例函数y ＝k

x

的图象在第一象限的交点为A ，AB 垂直

于x 轴，垂足为B ，已知OB ＝1，求点A 的坐标和这个反比例函数的解析式．

解：∵AB 垂直x 轴于点B ，OB ＝1，且点A 在第一象限，∴点A 的横坐标为1.又∵直线y ＝2x 的图象经过A ，∴y ＝2x ＝2×1＝2，即点A 的坐标为(1,2)．

∵y ＝k x 的图象过点A (1,2)，∴2＝k

1

.∴k ＝2.

∴这个反比例函数的解析式为y ＝2

x

.

方法总结 反比例函数只有一个基本量k ，故只需一个条件即可确定反比例函数．这个条件可以是图象上一点的坐标，也可以是x ，y 的一对对应值．

触类旁通2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝－2x 的图象与反比例函数y ＝k

x

的图象的一个交点为A (－1，n )．

(1)求反比例函数y ＝k

x

的解析式；

(2)若P 是坐标轴上一点，且满足P A ＝OA ，直接写出点P 的坐标． 考点三、反比例函数的比例系数k 的几何意义

【例3】已知点P 在函数y ＝2

x

(x ＞0)的图象上，P A ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为A ，B ，

则矩形OAPB 的面积为__________．

解析：矩形OAPB 的面积等于|xy |＝|k |＝2. 答案：2

方法总结 过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为|k |；过双曲线上

任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积S ＝1

2

|k |.

触类旁通3 一个反比例函数的图象如图所示，若A 是图象上任意一点，AM ⊥x 轴于M ，O 是原点，如果△AOM 的面积是3，那么这个反比例函数的解析式是__________．

1．(2012浙江台州)点(－1，y 1)，(2，y 2)，(3，y 3)均在函数y ＝6

x

的图象上，则y 1，y 2，

y 3的大小关系是( )

A ．y 3＜y 2＜y 1

B ．y 2＜y 3＜y 1

C ．y 1＜y 2＜y 3

D ．y 1＜y 3＜y 2

2．(2012湖南常德)对于函数y ＝6

x

，下列说法错误的是( )

A ．它的图象分布在第一、三象限

B ．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形

C ．当x ＞0时，y 的值随x 的增大而增大

D ．当x ＜0时，y 的值随x 的增大而减小