黄冈中学2020年春自主招生数学模拟试题(附答案)

黄冈中学2020年春自主招生模拟试题
数 学 试 题
（考试时间：120分钟 总分120分）
一、选择题（每题3分，共24分）
1.一元二次方程x 2+bx +c =0的一实根是另一实根的2倍，则以下结论错误的是（ ）
A .b 2-4c ≥0
B .b ≤0
C .c ≥0
D .2b 2=9c
2.关于x 的不等式组15
32
223
x x x x a ⎧+>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩，只有4个整数解，则a 的取值范围是（ ）
A .-5≤a ≤143
-
B .-5≤a ≤14
3
-
C . -5<a ≤143-
D . -5≤a <143
- 3.双曲线y =k x (k <0)上有A ，B 两点，直线AB 交y 轴于点D ，交x 轴于点C ，且OD =OC ，若A （4
3
-，1），
则点B 的坐标为（ ）
A .（-1，
4
3
） B .（-1，
34
） C .（-1，23） D .（-1，32
）
4.已知函数f (x )=x 2+λx ,p ,q ,r 为△ABC 的三边，且P <q <r ，若所有的正整数p ,q ,r 都满足f (p )<f (q )<f (r ),则λ的取值范围是（ ）
A . λ>-2
B . λ>-3
C . λ>-4
D . λ>-5
5.如图，△ABC 的面积为60，点D 在BC 上，BD =2CD ，连接AD 点E 为AD 中点，连接BE 并工交AC 于点，则△AEF 的面积为（ ）
A . 2
B . 4
C . 5
D . 8
6.记S n =a 1+a 2+…+a n , 令T n =12n
S S S n
+++，称T n 为a 1，a 2…，a n 这列数
的
“理想数”．已知a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为2004，那么8，a 1，a 2，…，a 500的
“理想数”为（ ）
A . 2004
B .2006
C . 2008
D . 2010
7.如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB =AC ，直线AD 交BC 于点E ，F 是OE 的中
点，如
果BD ∥CF ，BC =25，则线段CD 的长为（ ）
A . 2
B .5
C .6
D . 23
8.已知x ,y ,z ，a ,b 均为非零的实数，且满足
331xy x y a b =+-，31yz y z a
=+，331xz x z a b =++，1
12
xyz xy yz zx =
++，则a 的值为（ ） A . 2 B .-2 C .1 D . -1
二、填空题（每题3分，共24分）
9.已知a+b+c=0, a 2+b 2+c 2=6,那么a 4+b 4+c 4的值为_________
10.用三种边长相等的正多边形地转铺地，其顶点在一起，刚好能完全铺满地面，已知正多边形的边数为x 、y 、z ，则111
x y z
++的值为 ．
11. 将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组322
ax by x y +=⎧⎨+=⎩，
只有正数解的概率为 ．
12.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是平行四边形，顶点B 在的比例函数y =2
(0)x x
-<上，点A 在反比例函数3
(0)y x x
=
>上，C ，D 在x 轴上，则平行四边形ABCD 的面积是_______. 13. 设[x ]表示不超过x 的最大整数（例如：[2]=2，[1.25]=1），则方程3x -2[x ]+4=0的解为________ .
14.使不等式|2x 3-|+k <x 有解的实数k 的取值范围是______.
15.如图，⊙O 中，直径AB =10，C ，D 是上半圆⌒AB
上的两个动点，弦AC 与BD 交于
点E ，则AE ·AC +BE ·BD =__________
16.如图所示，点A 、C 都在函数y =2
(0)x x
>的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等腰直角三
角形，则D 点的坐标为________ 三、解答题
17.（8分）已知实数x ,y
满足(2x +1)2+y 2+(y -2x )2=
1
3
,求x +y . 18.(8分)设m 是不小于-1的实数，关于x 的方程x 2+2(m -2)x +m 2-3m +3=0有两个不相等的实数根x 1,x 2 （1）若2
2
126x x +=，求m 的值.
（2）求22
12
12
11mx mx x x +
--的最大值. 19.（8分）如图，已知△ABC ，D 是BC 的延长线上的点，F 是AB 延长线上的点，∠ACD 的平分线交BA
的延长线于点E ，∠FBC 的平分线交AC 的延长线于点E ，∠FBC 的平分线交AC 的延长线于点G ，若CE =BC =BG ，求∠ABC .
2
y x =-
3y x
=
第5题图
第7题图
第16题图
第15题图
第12题图
20.（8分）如图，已知A，B 两点的坐标分别为A（0，23），B（2，0），
直线AB与反比例函数y=m
x
的图象交于点C和点D（-1，a）．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式．（2）求∠ACO的度数．
21.（9分）如图，在锐角△ABC中，AC是最短边，以AC的中点O为圆心，1
2
AC长为半径作⊙O，交BC
于点E，过O作OD∥BC交O于点D，连结AE、AD、DC．（1）求证：D是⌒
AE的中点；
（2）求证：∠DAO=∠B+∠BAD；
（3）若=
1
2
CEF
OCD
S
S
∆
∆
=，且AC=4，求CF的长.
22.（9分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。

在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。

当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数，以x为自变量，以y为函数值变量的函数可以记作y(x).
（1）当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式;
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）f(x)=x·v(x)可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
23.（10分）在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点的坐标分别为A(3,0),B(0,4),以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD，记旋转角为α，∠ABO为β。

（I）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系；
（Ⅲ）当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式（直接写出即如果即可）。

24.（12分）如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，且经过点
（2，-3a），对称轴是直线x=1，顶点是M.
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存
在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边
形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设直线y=-x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E
（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，
试判断△AEF的形状，并说明理由；
（4）当E是直线y=-x+3上任意一点时，（3）中的结论是否成立
（请直接写出结论）．
黄冈中学2020年春自主招生模拟试题
数学答题卡
一、选择题(每小题3分，共24分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
二、填空题(每小题3分，共24分)
9. 10. 11. 12.
13. 14. 15. 16.
三、解答题（共72分）
17.（8分）
20.（8分）
18.（8分）
19.（8分）
21.（9分）
22.(9分)
23（10分）.
24.（12分）
黄冈中学2020年春自主招生模拟试题
数学试题参考答案
（考试时间：120分钟总分120分）
一、选择题（每题3分，共24分）
1、B
2、C
3、A 4 、D5、B6、C7、C8、A
二、填空题（每题3分，共24分）
9、18 10、
2
1
11、13
36
12、5
13、-4或14
3
-或
16
3
-14、
2
3
<
k15、100 16、（4,0）
三、解答题
17、解：由（2x+1）2+y2+（y-2x）2=13，得（3x+1）2+3（x-y）2=0，则3x+1＝0，x−y＝0，解得x＝-1/3，y＝-1/3，故x+y=-2/3．
18、解：方程有两个不相等的实数根，
19、解：设∠ABC的度数是x度，∵CE=BC，∴∠DCE=2x度，
∵∠ACD的平分线交BA延长线于点E，∴∠DCA=4x度，
∴∠BCG=4x度，∵BC=BG，∴∠G=4x度，∴∠BAC=3x度，
∴∠FBG=7x度，∵∠FBC的平分线交AC延长线于点G，
∴∠DBG=7x度，∴7x+7x+x=180，解得x=12．
20、解：（1）设直线AB 的解析式为y =kx +b ，将A （0，32），B （2,0）代入解析式得⎭
⎬
⎫
⎩⎨
⎧=+=0232b k b ，解得⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=-=323b k ，∴直线AB 的解析式为323+-=x y 将D （-1，a ）代入323+-=x y 得：a =33，∴点D 坐标为（-1，33）
将D （-1，33）代入y =
m x 中得，m =-33，所以反比例函数的解析式为y =x
3
3-。

（2）解方程组⎪⎩⎪
⎨⎧-=+-=x y x y 333
23得：⎩⎨⎧-==3311y x ，⎩⎨⎧=-=3
3122
y x ，∴C 点坐标为（3，3-），过点C 作CM ⊥x 轴于点M ，则在Rt △OMC 中，CM =3，OM =3，∴3
3
tan =
∠COM ∴∠COM =30°，在Rt △AOB 中，32
3
2tan ===∠OB AO ABO ，∴∠ABO =60°
， ∴∠ACO =∠ABO -∠COB =30° 21
、（
1）证明
：∵AC 是⊙O 的直径
，∴∠AEC =90°， ∴
AE
⊥
BC ，
∵
OD
∥
BC
，
∴
AE
⊥
OD
，
∴D 是弧AE 的中点；
（2）证明：方法一：
如图，延长OD 交AB 于G ，则OG ∥BC ，
∴∠AGD =∠B ∵∠ADO =∠BAD +∠AGD ，又∵OA =OD ， ∴∠DAO =∠ADO ， ∴∠
DAO =
∠
B +
∠
BAD
； 方法
二： 如图，延长AD 交BC 于H ， 则∠ADO =∠AHC
，
∵∠
AHC =
∠B +∠
BAD ， ∴
∠ADO =
∠
B +
∠
BAD
，
又
∵
OA =OD
，
∴∠DAO =∠B +∠BAD ； （3）∵AO =OC ，∴S △OCD =
2
1
S △ACD ， ∵ 2
1
OCD CEF =△△S S ∴4
1
ACD CEF =△△S S ， ∵∠
ACD =∠
FCE ，∠
ADC =∠
FEC =90°， ∴
△
ACD
∽
△
FCE
，
∴2
ACD CEF AC CF ⎪⎭⎫
⎝⎛=△△S S ， 即：2
441⎪⎭
⎫ ⎝⎛=CF ，∴CF =2． 22、（Ⅰ） ；
（2）当 为增函数，故当 时，其最大值为60×20=1200；
当 时，
当且仅当
，即
时，等号成立。

所以，当 在区间[20，200]上取得最大值 .
综上，当
时，
在区间[0，200]上取得最大值
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.
23、解：（1）过点D 作DM ⊥OA ，有旋转的性质可知，AD =AO =3，在Rt △ABO 中，由勾股定理得：AB =
5432
2
2
2
=+=+BO AO ，在Rt △ABO 中由三角函数得：5
3
cos ,54sin ====
AB AO AB BO αα，在Rt △AMD 中，由三角函数得：
59533cos =⨯=•=αAD AM ，5
12543sin =⨯=•=αAD DM ，∴OM =OA -AM =56，∴点D 的坐标为（56
，
5
12） （2）由题意得，∠BAC =α，∵AB =AC ，所以∠ABC =∠ACB ，∴α=180°-ABC -∠ACB =180°-2∠ABC ，∵BC //x 轴，所以∠OBC =90°，∴β=90°
-∠ABC ，∴βα2=
24、解：（1）由题意得
⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-123243a
b b a a ，解得：⎩⎨
⎧
-==2
1b a
∴抛物线的解析式为322--=x x y
（2）存在，连接AP 、CP ，在322--=x x y 中，令x =0得，y =-3,令y =0得，
322
=--x x ，解得x 1=-1，x 2=3，∴A （-1,0），B （3,0），C （0，-3），又y =(x -1)2
-4,∴顶点M （1，-4），容易求得直线CM 的解析式为y =-x -3，在y =-x -3中，令y =0得，x =-3，所以N （-3,0），∴AN =2，在322--=x x y 中，令y =-3得x 1=0，x 2=2，∴CP =2，∴AN =CP ，∵AN //CP ，∴四边形ANCP 为平行四边形，此时P （2，
-3）。