1.5事件的独立性
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§1.5 事件的独立性 一般地 P ( A B ) P(A) 但在有些情况下，事件B发生与否并不影响事件 A发生的机会.
一、两个事件的独立性
当事件B对事件A发生的概率 没有任何影响时,
应有 PAB P(A) 其中P(B)0
当事件A对事件B发生的概率 没有任何影响时,
应有 PBA P(B) 其中 P(A)0
A1ຫໍສະໝຸດ BaiduA2,...,An相互独立 A1,A2,...,An两两独立.
定义1.6 对n个事件A1,A2,...,An( n2)如果对其中
任意k 个事件 Ai1,Ai2,...,Aik (2kn)都有
P(A i1A i2...A ik)P (A i1)P (A i2)...P (A ik)
则称这 n 个事件 相互独立.
P (BC )
1
4
P(B)P(C)
A,B,C两两独立.
P ( A B C ) 1 P (A )P (B )P (C ) A,B,C不相互独立.
此时,
4 P(C AB) PP((CAABB))
1
P(C)同样 P(B
P( A
AC) P(B) BC) P(A)
即AB同时发生影响了C发生的机会.
思考： 两事件相互独立与它们互斥这两个概念有何联系?
当 P(B)时0,
P ( A B ) P(A) PP((ABB) ) P(A) P(AB) P(A)P ( B )
当 P(A)时0,
P ( B A) P(B)
P( AB) P(A)
P(B)
P(AB) P(A)P ( B )
定义1.4 如果两个事件 A,B满足等式
P(AB)P(A)P(B)
则称事件A 与 B 是相互独立的,简称 A与 独B 立. 推论1 对于两个事件A与B
性质2 如果 n 个事件 A1,A2,...,An相互独立. 则有
P A 1 A 2 A n 1 P A 1P A 2 P A n
例 一个袋中装有4个球,其中全红、全黑、全白色
的球 各一个,另一个是涂有红、黑、白三色的彩球.
从中任取一个,事件A、B、 分别表示取到的球上 有红色、黑色、C白色,判别A,B,C的独立性.
解P(A ) 2
4
P (B )
2
4
P(AB )
1
4
P(A)P(B)
P (C )
2
4
P(AC )
1
4
P(A)P(C)
B表示“点数为奇数”则 5”,
P(A)
4 6
P(B) 3 6
P(AB)
2
6
2
P(A )P(B)3
1 2
1 3
P(AB)
所以A,B独 立.
(2)A表示“点数小于 B表示“点数为奇数”则
4”,
P(A)
3
6
P(B) 3 6
P(AB)
2
6
P(A )P(B)1
2
1 2
1 4
P(AB)
所以A,B不独立.
定义1.6 对n个事件 A1,A2,...,An( n2)如果对其中
任意k 个事件 Ai1,Ai2,...,Aik (2kn)都有
P(A i1A i2...A ik)P (A i1)P (A i2)...P (A ik)
则称这 n 个事件 相互独立.
这里共有 C
2 n
C
3 n
C
4 n
...
Cnn
个等式.
例 从一副不含大小王的扑克牌中 随意抽出一张,
记A为“抽到K ”B,为 “抽到的牌是黑色 则
P(A) 4 52
P ( B ) 25的62 ” ,12
P(AB) 2
52
4 P(A )P(B)
1
2
P(AB)
52 2 52
所以A,B独 立.
二、有限个事件的独立性
定义1.5 对n个事件 A1,A2,...,An( n2)如果其中 两任意个都互相独立, 即对于 i,j1,2,...,n, i j
A、B独立 事件A发生与否不影响B发生的概率; 事件B发生与否也不影响A发生的概率.
A、B互斥 A B
事件A与B不能同时发生.
当 P(A)0, P(B)0 时,
A,B互斥 ABP(AB)0 P(A)P(B) A,B不独
A,B独 P(AB)P(A)P(B) 0 A B立A,B不互
立
斥
三、相互独立的性质 性质1 如果 n 个事件 A1,A2,...,An相互独立. 则它们 中的任意一部分事件 换成各自的对立事件后, 所得 的n个事件也相互独立. n=2时， A与B独立 A 与B 独立 A 与B 独立 A 与B 独立 n=3时， A,B,C相互独立 A, B ,C 相互独立
可以证明, n个事件相互独立,即其中任何一个 事件是否发生 都不受另外一个或几个事件是否发 生的影响. 如
P(A2
A1A5A6)
P(A2A1A5A6) P(A1A5A6)
P (A 2 )P (A 1 )P (A 5 )P (A 6 ) P(A1)P(A5)P(A6)
P(A2)
A1,A2,...,An相互独立 A1,A2,...,An两两独立.
有
P( Ai Aj ) P(Ai)P(Aj)
则称这 n 个事件 两两独立.
这里共有C
2 n
个等式.
当P(Aj )时0,
P( Ai Aj ) P(Ai)P(Aj)
P P
( Ai (A
Aj j)
)
P(
Ai
)
PAi A j P(Ai )
n个事件两两独立,即其中任何一个事件发生的
概率都不受另一个事件是否发生的影响.
若P(B) 0则 A 与 B 独立 若P(A) 0则 A 与 B 独立
P ( A B ) P(A) P ( B A) P(B)
定义 两个事件 A 与 B , 如果其中任何一个 事件发生的概率，都不受另一个事件发生与否 的影响, 则称事件 A 与 B 是相互独立的.
例 掷一枚均匀的骰子, (1)A表示“点数小于
A, B ,C 相互独立
A, B ,C 相互独立
A与B独立 A 与B 独立 A 与B 独立 A 与B 独立
证 设A与B独立,
P AB P(AB)PAABP A P A B
PAPAP(B) P A 1P(B) P AP B
A与B 独立.
反之, 若 A 与B 独立, 则由上面证明,
A与 B 独立, 即A与B独立.
k 2 时， P(AiAj)P(Ai)P(Aj)
k 3 时， P(Ai1Ai2Ai3)P (A i1)P (A i2)P (A i3)
k 4 时， P(A i1A i2A i3A i4)P (A i1 )P (A i2 )P (A i3 )P (A i4 )
k n时，P(A 1,A 2,...,A n) P (A 1 )P (A 2 ) ...P (A n )
一、两个事件的独立性
当事件B对事件A发生的概率 没有任何影响时,
应有 PAB P(A) 其中P(B)0
当事件A对事件B发生的概率 没有任何影响时,
应有 PBA P(B) 其中 P(A)0
A1ຫໍສະໝຸດ BaiduA2,...,An相互独立 A1,A2,...,An两两独立.
定义1.6 对n个事件A1,A2,...,An( n2)如果对其中
任意k 个事件 Ai1,Ai2,...,Aik (2kn)都有
P(A i1A i2...A ik)P (A i1)P (A i2)...P (A ik)
则称这 n 个事件 相互独立.
P (BC )
1
4
P(B)P(C)
A,B,C两两独立.
P ( A B C ) 1 P (A )P (B )P (C ) A,B,C不相互独立.
此时,
4 P(C AB) PP((CAABB))
1
P(C)同样 P(B
P( A
AC) P(B) BC) P(A)
即AB同时发生影响了C发生的机会.
思考： 两事件相互独立与它们互斥这两个概念有何联系?
当 P(B)时0,
P ( A B ) P(A) PP((ABB) ) P(A) P(AB) P(A)P ( B )
当 P(A)时0,
P ( B A) P(B)
P( AB) P(A)
P(B)
P(AB) P(A)P ( B )
定义1.4 如果两个事件 A,B满足等式
P(AB)P(A)P(B)
则称事件A 与 B 是相互独立的,简称 A与 独B 立. 推论1 对于两个事件A与B
性质2 如果 n 个事件 A1,A2,...,An相互独立. 则有
P A 1 A 2 A n 1 P A 1P A 2 P A n
例 一个袋中装有4个球,其中全红、全黑、全白色
的球 各一个,另一个是涂有红、黑、白三色的彩球.
从中任取一个,事件A、B、 分别表示取到的球上 有红色、黑色、C白色,判别A,B,C的独立性.
解P(A ) 2
4
P (B )
2
4
P(AB )
1
4
P(A)P(B)
P (C )
2
4
P(AC )
1
4
P(A)P(C)
B表示“点数为奇数”则 5”,
P(A)
4 6
P(B) 3 6
P(AB)
2
6
2
P(A )P(B)3
1 2
1 3
P(AB)
所以A,B独 立.
(2)A表示“点数小于 B表示“点数为奇数”则
4”,
P(A)
3
6
P(B) 3 6
P(AB)
2
6
P(A )P(B)1
2
1 2
1 4
P(AB)
所以A,B不独立.
定义1.6 对n个事件 A1,A2,...,An( n2)如果对其中
任意k 个事件 Ai1,Ai2,...,Aik (2kn)都有
P(A i1A i2...A ik)P (A i1)P (A i2)...P (A ik)
则称这 n 个事件 相互独立.
这里共有 C
2 n
C
3 n
C
4 n
...
Cnn
个等式.
例 从一副不含大小王的扑克牌中 随意抽出一张,
记A为“抽到K ”B,为 “抽到的牌是黑色 则
P(A) 4 52
P ( B ) 25的62 ” ,12
P(AB) 2
52
4 P(A )P(B)
1
2
P(AB)
52 2 52
所以A,B独 立.
二、有限个事件的独立性
定义1.5 对n个事件 A1,A2,...,An( n2)如果其中 两任意个都互相独立, 即对于 i,j1,2,...,n, i j
A、B独立 事件A发生与否不影响B发生的概率; 事件B发生与否也不影响A发生的概率.
A、B互斥 A B
事件A与B不能同时发生.
当 P(A)0, P(B)0 时,
A,B互斥 ABP(AB)0 P(A)P(B) A,B不独
A,B独 P(AB)P(A)P(B) 0 A B立A,B不互
立
斥
三、相互独立的性质 性质1 如果 n 个事件 A1,A2,...,An相互独立. 则它们 中的任意一部分事件 换成各自的对立事件后, 所得 的n个事件也相互独立. n=2时， A与B独立 A 与B 独立 A 与B 独立 A 与B 独立 n=3时， A,B,C相互独立 A, B ,C 相互独立
可以证明, n个事件相互独立,即其中任何一个 事件是否发生 都不受另外一个或几个事件是否发 生的影响. 如
P(A2
A1A5A6)
P(A2A1A5A6) P(A1A5A6)
P (A 2 )P (A 1 )P (A 5 )P (A 6 ) P(A1)P(A5)P(A6)
P(A2)
A1,A2,...,An相互独立 A1,A2,...,An两两独立.
有
P( Ai Aj ) P(Ai)P(Aj)
则称这 n 个事件 两两独立.
这里共有C
2 n
个等式.
当P(Aj )时0,
P( Ai Aj ) P(Ai)P(Aj)
P P
( Ai (A
Aj j)
)
P(
Ai
)
PAi A j P(Ai )
n个事件两两独立,即其中任何一个事件发生的
概率都不受另一个事件是否发生的影响.
若P(B) 0则 A 与 B 独立 若P(A) 0则 A 与 B 独立
P ( A B ) P(A) P ( B A) P(B)
定义 两个事件 A 与 B , 如果其中任何一个 事件发生的概率，都不受另一个事件发生与否 的影响, 则称事件 A 与 B 是相互独立的.
例 掷一枚均匀的骰子, (1)A表示“点数小于
A, B ,C 相互独立
A, B ,C 相互独立
A与B独立 A 与B 独立 A 与B 独立 A 与B 独立
证 设A与B独立,
P AB P(AB)PAABP A P A B
PAPAP(B) P A 1P(B) P AP B
A与B 独立.
反之, 若 A 与B 独立, 则由上面证明,
A与 B 独立, 即A与B独立.
k 2 时， P(AiAj)P(Ai)P(Aj)
k 3 时， P(Ai1Ai2Ai3)P (A i1)P (A i2)P (A i3)
k 4 时， P(A i1A i2A i3A i4)P (A i1 )P (A i2 )P (A i3 )P (A i4 )
k n时，P(A 1,A 2,...,A n) P (A 1 )P (A 2 ) ...P (A n )