从观察者与事件的对应关系的角度来认识伽利略变换和洛伦兹变换.

从观察者与事件的对应关系的角度来认识伽利略变换和洛伦兹变换

引言

客观世界中，世上万物都处在无时无刻的运动中，事物的状态亦无时无刻地变化着。为了定性和定量地描述事物的各种运动形式（尤其是机械运动和物理运动）和事物所处的状态，物理上用事件来记录研究对象的运动形式和所处的状态。因为研究对象是客观的，所以事件也是客观的。可以这样说，研究对象的运动和状态与事件是一一对应的。作为观察者的人，本身也处于一定的运动变化和状态中。由于事件的发生是独立于观察者的, 因此应该建立起观察者和事件间的对应关系。

为了建立这种关系，首先我们得建立起对于二者恒不变（或协变）的度量体系的概念，即所谓的参考系。事件和观察者都是固结在某种参考系中的。我们总能找到这样的参考系，在该参考系中建立起的事件或观察者所符合的物理规律应该能以最简洁的（如果可能的话）数学方式表达出来，我们称这样的参考系为本征参考系。事件和观察者的本征参考系可能相同也可能不相同。这里我们忽略了一个问题，就是时空与参考系的关系。因为时空是客观实在，而参考系如上所述只是为了人们利用方便所做的数学化处理。这就要求科学家们在客观实在和实用性间找到恰当的切入点。这一点也正是广义相对论的基础。这里我们不讨论它。在狭义相对论及之前的经典物理，我们选取的参考系被称为惯性系。

惯性系具有如下几个特点：

1． 自然定律对所有的惯性系都是一致的，即不可能通过在一个惯性系内部进行实验和

观测来判断该惯性系的运动和状态，也称相对性原理；

2．惯性系中物理学定律可以表述为某种最简洁的数学形式，即事件和观察者的一种本征参考系为惯性系；

3．如果K 是惯性系，那么任何一个相对于K 系做匀速无转动运动的参考系K ′也是惯性系。

可见通过研究某个惯性系中的物理规律，即可将其推广到所有相对于该参考系做匀速运动的任意惯性系中。经典物理和狭义相对论正是建立在这样的参考系下的，即观察者和事件的本征参考系均为惯性系。经典物理和狭义相对论研究的观察者和事件的关系就是二者的本征参考系（即惯性系）相互间做匀速无转动运动时两惯性系的关系。我们称观察者的本征参考系为相对参考系，事件的本征参考系为绝对参考系。这样我们就可将绝对参考系中的事件通过一定的变换转换到相对参考系中。人们看到的就是事件通过某种变换转换到相对参考系中的现象。人们首先提出的变换关系就是著名的伽利略变换。

1． 伽利略变换

以现在的人类所掌握的知识来看伽利略变换(Galilean Transformation)，它或许只是洛伦兹变换(Lorentz Transformation)在一定范围内的近似罢了。也就是说伽利略变换已经是一种被淘汰了的物理理论。对于这种已经被取代了的理论，我们是否还有研究的必要呢？答案是肯定的。通过研究这些已经过时的理论，我们能找到发现新理论的正确的方向和有效的途径。正是建立在一代代科学先驱者的探索中，人类的科技水平才能取得今天所见到的突飞猛进的成就。这也正是本文的出发点之一。

1.1 欧几里德几何和时间的同时性

在讨论具体的变换形式前，必须建立起该变换所基于的空间和时间概念。伽利略变换就是建立在欧几里德几何学(Euclidean geometry)和时间的同时性的基础上。

1.1.1欧几里德空间和笛卡儿坐标系

欧几里德空间(Euclidean space)可以表述如下：选取参考系使其可以将空间内的点标记为（x,y,z ）或（321,,x x x ），而空间中的间隔两端的坐标差可以表示为dx ，dy ，dz 或

321,,x x x ∆∆∆，对该间隔所取的各个方向都有相同的平方和（即间隔2s 为不变量）

： 2222dz dy dx s ++= （1）

或，)3,2,1(,2322212

2=∆+∆+∆=∆=∑v x x x x s v

（2） 则称这样的空间为欧几里德空间，这样的坐标为笛卡儿坐标。[]1

在欧几里德几何学中（对于一个给定的空间）存在一种优先坐标系，即笛卡儿坐标系(Descartes Coordinate system)。欧几里德空间中任意两点a 和b 对应在笛卡儿坐标系中任意两坐标（111,,z y x ）和（222,,z y x ）是可以通过线性变换来彼此变换的。[]1有了欧几里德空间和与之相合的笛卡儿坐标系就建立起了相对论前物理的空间概念。

1.1.2时间同时性

为了确定时间关系，假设在笛卡儿坐标系（或参考系）的原点放置一个标准时钟。如果某处发生一个事件，只要在事件发生的同时，我们确定了原点处的时钟所记录下的时间，我们就能我们就能赋予某事件三个空间坐标（x,y,z ）和一个时间坐标t 。[]1很明显，此处时间同时性是指单个参考系内任意空间坐标上的点的时间与该参考系的原点的时间是同时的。可见，这里的空间坐标与时间坐标是相互独立的。处于不同位置的事件的同时性就被赋予了客观意义。这样确定的时间与参考空间中坐标系的位置无关。

1.1.3伽利略变换中事件的表示

以上我们确定了如何在欧几里德空间（一种惯性系空间）中标记事件在笛卡儿坐标系下的坐标，即某事件P 记为（r ,t ）或（x,y,z,t ）。然而要对两个空间进行变换，还要找到两个参考系的联系。伽利略变换是两个做匀速无转动的惯性系下的变换，也是说满足相对性原理。同时，还要建立这两惯性系的笛卡儿坐标系的联系，即假设了时间和空间间隔的绝对性。

1.2时间和间隔的绝对性

1.2.1时间的绝对性

根据本文中1.1.2中关于时间的同时性的定义，观察者和事件所处的惯性系的时间可以用它们的本征参考系的原点的时间来衡量。又因为这两惯性系的原点之间做匀速运动，所以两惯性系的原点同样构成了一个惯性系，可见两原点的时间也具有同时性。由此推广，任意惯性系的原点的时间都具有同时性。这样对于惯性系这种参考系而言事件的时间都具有同时性，也就是在惯性系中时间具有了绝对性。时间的绝对性就被表述为一个事件相对于K ′系的时间t ′与它相对于K 系的时间t 是相同的。

1.2.2几何间隔的绝对性

时间的绝对性建立了两惯性系间的时间变换关系。间隔构成了两惯性系间的空间变换关系。经典物理中的间隔实际上是根据本文1.1.1中的欧几里德几何学定义的几何间隔。欧几里德空间中的几何间隔具有协变性，也就是说几何间隔在任意惯性系间是不变的即几何间隔的绝对性。这里的几何间隔可以用不变量、矢量和张量来表示。事实上，现代物理学中用运动学间隔与几何间隔相对应。所谓运动学间隔是指实际条件下测得的研究对象的几何间隔（因为研究对象总是处在一定的运动中）。运动学间隔不具有协变性[]2。

1.3 基于欧几里德空间和时间的同时性的伽利略变换

有了以上的欧几里德空间基础和时间、间隔绝对性的假设，只要运用简单的数学知识