北师大版高一数学必修第一册4.对数函数的概念PPT全文课件

有一个交点(x0，y0)，又因为指数函数
y
(
1
)
5
x 730
2
y
(1)5 2
x≥ 0
x
730 x ≥ 0 至少
为减函数，所以
这个交点是唯一的交点．这个交点的意义是，已知死亡生物体内碳14的
含量为y0，则可以找到与其对应的唯一的一个死亡时间x0．这说明对任 意一个y∈(0，1]，在[0，＋∞)上都有唯一确定的数x和它对应．所以x也
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新知探究
追问2 若已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间
呢？如右图，观察
y
(
1
)
5
x 730
x≥
0
的图象，过y轴正半轴上任意一点
2
(行0，线y与0)（y 0＜(1y)05≤7x301）x 作≥x0轴 的的图平象行有线几，个结交合点指？数这函说数明的对单任调意性一，个这y条∈平(0，
对于（1），先写出x关于y的函数，再根据对数与指数间的关系，转换 为y关于x的函数．
解：（1）由题意可知，经过y年后物价x为
x＝(1＋5%)y，即x＝1.05y(y∈[0，＋∞))．
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由对数与指数间的关系，可得y＝log1.05x，x∈[1，＋∞)．
根据指数函数的性质，当0＜a＜1时，y＝ax单调递减；当a＞1时，y＝ ax单调递增．所以考虑一般的指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，对任意一 个y∈(0，＋∞)，都有唯一确定的数x和它对应．因此，x也是y的函数．
通常，我们用x表示自变量，y表示函数．为此，可将x＝logay(a＞0，且 a≠1)改写为：y＝logax(a＞0，且a≠1)．这就是对数函数．
（1）本节课我们先通过4.2.1的问题2中所阐述的实际问题，利用图象 上x与y的对应关系，并结合指数函数的单调性，理解x也是y的函数， 再利用指数与对数的运算关系依据函数的定义，从交换自变量与函数 值“地位”的方向进行研究，得到对数函数的概念．
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根据指数函数的定义域可知，在对数函数中，自变量x的取值范围是(0， ＋∞)．于是就得到了：
定义：一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数 （logarithmic function），其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
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追问1 解决这个问题，显然要依据函数的定义．那么依据定义应该 怎样进行判断呢？
函数的定义：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应， 那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．
所以要判断死亡时间x是否是碳14的含量y的函数，就要确定，对于任意 一个y∈(0，1]，是否都有唯一确定的数x和它对应．
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新知探究
例1 求下列函数的定义域： （1）y＝log3x2； （2）y＝loga(4－x)(a＞0，且a≠1)．
解：（1）因为x2＞0，即x≠0， 所以函数y＝log3x2的定义域是{x|x≠0}．
（2）因为4－x＞0，即x＜4， 所以函数y＝loga(4－x)的定义域是{x|x＜4}．
由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大
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约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小．
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归纳小结
问题3 回顾本节课，谈谈我们是怎么得到对数函数概念的？ 对数函数的现实背景是什么？
物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数y 0
对于（2），利用计算工具，快速填好表格，探索发现，随着x的增长， y的增长在减缓．
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对数函数的概念
整体感知
在4.2节中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的 问题．对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对 其蕴含的规律作进一步的研究．
新知探究
问题1 在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14
的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律是函数
y
新知探究
例2 假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的 物价为x． （2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律．
物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数y 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47
解：（2）根据函数y＝log1.05x，x∈[1，＋∞)，利用计算工具，可得表：
① y 2x ； ② y x2 ； ③ y log2 x； ④ y 2x ．
再见
2
1]，都有几个x与其对应？能否将x看成是y的函数？
所以要判断死亡时间x是否是碳14的含量y的 函数，就要确定，对于任意一个y∈(0，1]， 是否都有唯一确定的数x和它对应．
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从图象上看，这条平行于x轴的直线，与 的图象
是y的函数．
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新知探究
追问3 能否求出生物死亡年数随体内碳14含量变化的函数解析式？
根据指数与对数的运算关系，可以将
y
(
1
)
5
x 730
x≥
0
这种对应关系，
2
改写为 x log y 0 y ≤1． 习惯上用x表示自变量，用y表示函数值，
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例2 假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的 物价为x． （2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律．
物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数y 0
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新知探究
例2 假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的 物价为x． （1）该地的物价经过几年后会翻一番？
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例2 假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的 物价为x． （1）该地的物价经过几年后会翻一番？ （2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律．
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目标检测
1 求下列函数的定义域：
（1）y ln 1 x ；
（3）y
log7
1
1 3x
；
（2）y
1 lg x
；
（4）y loga x (a＞0，且a≠1)．
答案：（1），1 ．
（3）(，1) ． 3
（2）0，1 1， ． （4），0 0， ．
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新知探究
追问：如果用解析式法表示一个函数，除了要确定其解析式，还要确 定其定义域，才能确定下来这个函数．现在我们已经确定了一般的对 数函数的解析式为y＝logax(a＞0，且a≠1)，那么通过与指数函数对比， 你能给出一般的对数函数的定义域吗？
5730 1
2
于是就得到函数
y
log
5730
1
x，x
0，1，它刻画了时间y随碳14含量x的
2
衰减而变化的规律．
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新知探究
问题2 对一般的指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，根据指数与对 数的运算关系，转换成x＝logay(a＞0，且a≠1)，能否将x看成 是y的函数？
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例2 假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的 物价为x． （1）该地的物价经过几年后会翻一番？ 对于（1），先写出x关于y的函数，再根据对数与指数间的关系，转换 为y关于x的函数．
解：由计算工具可得，当x＝2时，y≈14． 所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番．
目标检测
2 画出下列函数的图象： （1）y lg10x ； （2）y 10lg x ；
答案：（1）图略，定义域为R，图象是一条直线y＝x．
（2）图略，定义域为 0， ，图象是y＝x的直线在第一象限
的部分．
目标检测
3 已知集合A＝{1，2，3，4，…}，集合B＝{2，4，8，16，…}，下列 函数能体现集合A与集合B对应关系的是__①__，__③__．
(
1
)
5
x
73（0 x≥
2
0）．进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？你能设计
一个方案来研究这个问题吗？
要判断其是否为函数，首先要从函数的定义进行思考，然后考察其是 否符合函数的定义．在考察的时候，一方面可以观察图象上进行定性 的分析，另一方面可以依据函数的定义和性质进行定量的推理判断．
新知探究
新知探究
例1 求下列函数的定义域： （1）y＝log3x2； （2）y＝loga(4－x)(a＞0，且a≠1)．
追问：求解的依据是什么？据此求解的步骤是什么？
求解的依据是对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的定义域(0，＋∞)．那 么（1）中的x2和（2）中的(4－x)的取值范围就是(0，＋∞)，于是得到 不等式，将定义域问题转化为解不等式问题，进而求出定义域．
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归纳小结
问题3 回顾本节课，谈谈我们是怎么得到对数函数概念的？ 对数函数的现实背景是什么？
（2）对数函数与指数函数是密不可分的．对于呈指数增长或衰减变 化的问题，我们可以用指数函数进行描述，还可以从对数函数的角度 进行描述，从而能够更全面地研究其中蕴含的规律．