重庆市第八中学2020届高三下学期强化训练一数学试题(文)(解析版)

重庆市第八中学2020届高三下学期强化训练一（文）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合2{|560}A x x x =--<，{}20B x x =-≤，则A B ⋂= A ．{}32x x -<≤B ．{}22x x -<≤C ．{}62x x -<≤D ．{}12x x -<≤2.设复数z 满足223i z i =+，其中i 为虚数单位，在复平面内，复数z 对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知命题:p x R ∃∈，210x x -+<；命题:q x R ∃∈，23x x >，下列命题中为真命题的是 A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝4.如图，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 为半圆弧的两个三等分点，则=AB A.AD AC - B. AC AD 22- C.AC AD - D. AD AC 22-5.已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则cos2=αA ．725B ．1225-C ．725-D ．12256.数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，312S =，且1a ，2a ，6a 成等比数列，则10a = A.33B ．28C.4D ．4或287.我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节有六个节气，比如夏季包含立夏、小满、芒种、夏至、小暑以及大暑.某美术学院安排甲、乙两位同学绘制春、夏、秋、冬四个季节的彩绘，每位同学绘制一个季节，则甲乙两名同学绘制不同季节的概率为 A ．116B ．14 C ．34D ．128.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．83 B ．38C ．512D ．11249.已知函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，)2πϕπ<<的部分图象如图所示，其中(0)1f =，5||2MN =，则3()2f = A.3 B.3- C.1- D.110.如图，正方形ABCD 的边长为2，动点P 从A 开始沿A B C →→的方向以2个单位长度/秒的速度运动到C 点停止，同时动点Q 从点C 开始沿CD 边以1个单位长度/秒的速度运动到D 点停止，则AQP ∆的面积y 与运动时间x （秒)之间的函数图象大致是A ．B ．C ．D ．11.若奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，()g x 为R 上的单调函数，对任意实数x R ∈都有[()22]1x g g x -+=，当[0x ∈，1]时，()()f x g x =，则2(log 10)f = A ．35-B ．38-C ．38D ．912.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的两支分别交于A ，B 两点，290AF B ∠=︒，||4AB a =， 则双曲线的渐近线方程为A ．y x =±B ．3y x =±C ．2y x =±D ．2y x =±二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.x ，y 满足约束条件330302x y x y x +-⎧⎪+-⎨⎪⎩，则2x y +的最小值为 ．14.已知抛物线，焦点为，直线，点A 在直线l 上，线段与抛物线的交点为，若5AF BF =，则||BF = ．15.在锐角三角形ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若3a =，且sin sin()2sin 2A B C C +-=，则c 的取值范围为 ．2:16C y x =F :1l x =-AF C B16.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若11202n n n S a ---=，则45a a += ，数列2{}n n a a +-的前n 项和n T = ．三．解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.ABC ∆中，D 是线段BC 上的点，且DC BD =2，2sin sin C B =. （Ⅰ）求证:CAD BAD ∠=∠； （Ⅱ）若2,2==AC DC ，求AD 和AB 的长．18.图1是直角梯形,//,90,2,ABCD AB CD D AB ︒∠==3,2DC AD CE ED ==， 以BE 为折痕将BCE ∆折起，使C 到达1C 的位置，且61=AC ，如图 2.（Ⅰ）证明：平面⊥E BC 1平面ABED ;（Ⅱ）求点B 到平面D AC 1的距离.19．近年来，随着国家综合国力的提升和科技的进步，截至2018年底，中国铁路运营里程达13.2万千米，这个数字比1949年增长了5倍；高铁运营里程突破2.9万千米，占世界高铁运营里程的60%以上，居世界第一位．如表截取了20122016-年中国高铁密度的发展情况（单位：千米/万平方千米）．已知高铁密度y 与年份代码x 之间满足关系式(b y ax a =，b 为大于0的常数）． （Ⅰ）求y 关于x 的回归方程；（Ⅱ）利用（1）的结论，预测到哪一年，高铁密度会超过32千米/万平方千米． 参考公式：设具有线性相关系的两个变量x ，y 的一组数据为(i x ，)(1i y i =，2，)n ⋯⋯，则回归方程ˆˆˆybx a =+的系数：1221ni ii nii x y nx yb xnx∧==-=-∑∑，a y b x ∧∧=-参考数据：51ln ln 5ln ln 0.96i i i x y x y =-≈∑，5221()5() 1.6i i lnx lnx =-≈∑，515i i lnx =≈∑，5114i i lny =≈∑，2.18.2e ≈，323.46ln ≈．20．点M 在圆4:22=+y x O 上运动，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 为MN 的中点，点P 的轨迹记为C .（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点)0,3(F 作OP 的平行线l 交曲线C 于B A ,两点，是否存在常数λ使得||||2AB OP λ=，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.21．设函数1()ln ()f x x a x a R x=--∈ （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个极值点12,x x ；记过点11(,()),A x f x 22(,())B x f x 的直线斜率为k ， 求证：0<k .22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=-=ααααsin 59cos 512sin 4cos 3y x （α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3)3sin(=+πθρ．（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，)0,2(M ，求MQ MP +的值．23．已知函数312)(---=x x x f ． （Ⅰ）解不等式0)(>x f ；（Ⅱ）若不等式)(342x f x m m >-+-对R x ∈恒成立，求实数m 的取值范围．——★ 参 考 答 案 ★——一、选择题1.解：(1,6),(,2],(1,2]A B A B =-=-∞∴⋂=-2.解：23313222i z i i i +==+=-，3(,1)2z ∴-对应的坐标为，在第四象限 3.解：22131()0,24x x x p -+=-+>∴为假命题，231,2x x x q =>∴当，为真命题4.解：22()AB CD AD AC ==-5.解：222222913cos sin 1tan 716tan()tan ,cos 294cos sin 1tan 25116αααπαααααα---+==-∴====+++ 6.解：当0d =时，1104a a ==；当0d ≠时，222161111()(5)3,a a a a d a a d d a =⋅⇒+=+⇒= 311331212S a d a ∴=+==，1101,3,28a d a ∴==∴= 7.解：123164P == 甲 春 春 春 春 夏 夏 夏 夏 秋 秋 秋 秋 冬 冬 冬 冬 乙 春 夏 秋 冬 春 夏 秋 冬 春 夏 秋 冬 春 夏 秋 冬 8.解：111111111112322224V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=9.解：254()6,243T MN T πω==+⇒=∴=，()2sin(),3f x x πϕ∴=+ 5(0)2sin 1,6f ϕϕπ==∴=，535()2sin(),()2sin()336226f x x f ππππ∴=+∴=+=-10.解：当P 在线段AB 上时，2AP x =，1222(01)2y x x x =⋅⋅=≤≤当P 在线段BC 上时，ABCD ABPQCP ADQ y S SS S ∆∆=---2111372222(1)-(42)2(2)()22224y x x x x x ∴=⨯-⋅⋅-⋅⋅--⋅⋅-=-+11.解：因为()g x 为R 上的单调函数，且对任意实数x R ∈都有[()22]1x g g x -+=，故可设()22x g x t -+=即()22x g x t =-+，因为()221t g t t =-+=，故1t =，所以()21x g x =-，因为(2)()f x f x +=-，所以(4)()f x f x +=， 又[0x ∈，1]时，()()21x f x g x ==-，则28log 52222583(log 10)(log 104)(log )(log )(21)855f f f f =-==-=--=-12.解：根据双曲线的定义：122AF AF a -=，212BF BF a -=，则212BF BF a =+，且有1114AF AB BF a BF =+=+，代入可得212AF a BF =+，则22BF AF =， 因为290AF B ∠=，则2245ABF BAF ∠=∠=︒，且22222AB AF BF =+，则22BF AF ==，则12)BF a =，在△12BF F 中，12135BF F ∠=︒，则222121212cos1352BF BF F F BF BF +-︒=，即222-=2223c e a ==，则e =，b a ∴=二、填空题 13.解：114.解：5,AF BF =过B 作x 轴的垂线，垂足为D ，则1DF =，3,47B B x BF x ∴=∴=+=15.解： sin sin cos cos sin 2sin 24sin cos A B C B C C C C +-==， sin()sin cos cos sin 4sin cos B C B C B C C C ∴++-=，sin cos cos sin sin cos cos sin 4sin cos B C B C B C B C C C ∴++-=，2sin cos 4sin cos B C C C ∴=，在锐角三角形ABC 中，cos 0C >，sin 2sin B C ∴=，2b c ∴=，ABC ∆是锐角三角形，∴22222222222209300,930,0590a b c c a c b c b c a c ⎧⎧+->+>⎪⎪+->->⎨⎨⎪⎪+->->⎩⎩代入得c <<16. 解：（1）由于数列{}n a 满足1122n n n S a --=，① 当2n 时，112122n n n S a ----=②,①-②得：11211222n n n n n a a a ----+=-，整理得1121122n n n n a a ---+=-， 所以54431112216a a +=-=-． （2）由于1121122n n n n a a ---+=-,故2111122n n n n a a ++++=-③， 所以111122n n n n a a +-+=-④， ③-④得：211121222n n n n n a a ++--=-+， 所以21032111121121121()()()222222222n n n n T +-=-++-++⋯+-+， 23112011111111111()2()()222222222n n n +-=++⋯+-⨯++⋯++++⋯+， 11111(1)(1)142222()2()()111111222n n n⨯-⨯--=-⨯+---，11122n +=-． 三、解答题17.解(1)法一：在sin sin c BDABD ADB BAD =∠∠中，，sin sin b DC ADC ADC DAC =∠∠中，…..2分 sin sin sin =sin =BD ADB DC ADC BAD DAC c b⋅∠⋅∠∴∠∠，，2sin sin ,2C B c b =∴=，又2,sin sin BD DC ADB ADC =∠=∠…………………4分1sin 2sin ==sin 12DC ADC BAD DAC b ⋅∠∴∠∠…………6分 法二：2,2ABDACDBD DC SS=∴=,2sin sin ,2C B AB AC =∴=………………..2分又11=sin ,sin 22ABDACDSAB AD BAD S AC AD DAC ⋅⋅∠=⋅⋅∠,……………………4分 sin 1,sin sin sin 2ABD ADCS AB BAD BAD DAC SAC DAC ⋅∠∴==∴∠=∠⋅∠DAC BAD ∴∠=∠……………………………………………………………………6分(2)2,2,1DC AC BD AB ==∴==………………………………………..8分 cos cos BAD DAC ∠=∠， 2211+42224AD AD AD AD-+-∴=,1AD ∴=……………………………………………..12分 18.解(1)2,1,2AB DE AD EB EC BC ======连接AC 交EB 与M 点，则ECM BAM ≅,M BE ∴为的中点1C M MA ∴==又16C A =11,,,C M MA C M BE BE AM M ∴⊥⊥⋂=又……..6分(2)设B 到平面1AC D的距离为d ，则1113B AC DAC D V d S -∆=11112132B AC DC ABD V V--===……………………………………….8分11DM C M C D ===112AC DS∴==分 1113B AC D AC D V d S -∆∴===……………………………….12分 19.解:(1) 对(0,0)b y ax a b =>>两边取自然对数，得lny blnx lna =+； 令i i v lnx =，i i u lny =，1i =，2，3，⋯，n ；得u 与v 具有线性相关关系，计算5^12521ln 50.960.61.65i ii i v uvub vv==-===-∑∑，……………………………….2分 ^^14ln ln ln 0.6 2.25i a y b x =-=-=，……………………………….4分 1111,C M ABED C M C EB ABED C EB∴⊥⊂∴⊥平面又平面，平面平面所以^0.6b =，^ln 2.2a =，所以0.6 2.2lny lnx =+，所以y 关于x 的回归方程0.6 2.2ˆlnx ye +=， 即 2.20.6ˆye x =；……………………………….6分 (2) 在(1)的回归方程中，0.6 2.2lnx y e +=，高铁密度超过32千米/万平方千米； 即0.6 2.232lnx e +>，0.6 2.232 3.46lnx ln +>≈， 2.1lnx >． 2.18.2x e >≈，即9x =时，高铁密度超过32千米/万平方千米；所以预测2020年，高铁密度超过32千米/万平方千米．……………………………….12分20.解:（1）设11(,),(,)M x y P x y ，则112x x y y=⎧⎨=⎩，代入22114x y +=，得2214x y += 所以点P 的轨迹为2214x y +=……………….4分 （2）设22:(4)10AB l x my m y =+++-=代入椭圆方程得，……………5分2122444m AB y y m+=-=+…………………8分 222222244:,(4)4,,44OP m l x my m y y x m m =+=∴==++代入椭圆方程得……………11分 22222444m OP x y m +∴=+=+，22222444=1444m OP mm AB m λ++∴==++…………………12分 21.（Ⅰ）x ax x x a xx f 111)(22+-=-+='，令1)(2+-=ax x x h ,42-=∆a ①当0)(,2>'≤x f a 在),0(+∞单调递增;..................2分.②当2>a 时，由24,240)(2221-+=--=⇒=a a x a a x x h 又因为01)0(>=h ，所以01>x)(,0)(,0)(),,(),0(21x f x f x h x x x >'>+∞⋃∈单调递增;)(,0)(,0)(),,(21x f x f x h x x x <'<∈单调递减..................5分.（Ⅱ）由（Ⅰ）知当2>a 时，)(x f 有两个极值点12,x x ，且满足1,2121==+x x a x x . )ln (ln )11()()()(21212121x x a x x x x x f x f -----=-)ln (ln )(22121x x a x x ---=21212121ln ln 2)()(x x x x a x x x f x f k ---=--=........................................8分. 要证：0<k ，即证2ln ln 2121>--x x x x a ，即证2)ln (ln 212121>--+x x x x x x 令21x x t =，)1,0(∈t ,即证112ln +-<t t t . 令222)1(12)1(41)(,112ln )(++-=+-='+--=t t t t t t F t t t t F )(,0)(),1,0(t F t F t >'∈单调递增.0)1(=F ,所以112ln +-<t t t ....................12分 22.解：（1）曲线C 的普通方程：192522=+y x ；…………………………………………3分 直线l 的直角坐标方程：0323=-+y x …………………………………5分（2）设直线l 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 2322（t 为参数）…………………………………6分 带入192522=+y x ，得：225)23(25)22(922=+-t t ， ∴018918212=--t t ………………8分∴=…………………10分23. 解（1）∵⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--<<-≥+=---=21,2321,433,2312)(x x x x x x x x x f ………………………………2分 ∴⎩⎨⎧≥>+302x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<<>-321043x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤>--2102x x ∴34>x 或2-<x ……………………………………………………………………5分（2）∵6212321242---=--->-x x x x m m ………………………………7分 又∵56212≤---x x …………………………………………………………………8分 ∴542>-m m ，∴5>m 或5-<m ……………………………………………………10分。