1.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

基本
在区间 2kπ－π2，2kπ＋π2(k 在区间 [2kπ－π,2kπ]
性质 单调性 ∈Z)上是增加的，在区间 (k∈Z)上是增加，的
2kπ＋π2，2kπ＋32π(k∈Z)上
在区间 [2kπ,2kπ＋π] (k∈Z)上是减少的
是减少的
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例1.写出下列函数取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么.
2
2
2k, k Z 2
例题剖析
例3：2 、函数y
（1）单调区间；
-
1 2
s inx
, x -
5
6
,
Baidu Nhomakorabea3
4
求：
（2）最大值和最小值及相应的x的值。
最大值为1/2，最小值为-1/2；
取得最大值时的x值为π/2，取得最小值时x的值 为-π/2.
1.对于函数与y=-2sin x,当x=_-_2___2_k__,_k___Z__
（2）值域、最大（小）值
观察下图 ，设任意角x的终边与单位圆交于点
P(cos x,sin x)，
P(cos x,sin x) y
当自变量x变化时，点P的横坐 标是cos x，|cos x|≤1，纵 坐标是sin x,|sin x| ≤1
x MO
x
(1,0)
这说明，正弦函数 、余弦函数的值域为[-1,1]
1.4.3 单位圆与正弦函数、余弦 函数的基本性质
新知思议
1、研究正弦函数的基本性质从哪几方面进行的？
四个方面；分别为： （1）定义域； （2）周期性； （3）值 域； （4）单调性．
探究点2：正弦函数 y=sin x、余弦函数y=cos x 的基本性质： （1）定义域 由上节点学习知道：
定义域为全体实数R
使函数 y cos x 取1,得x 最R小值的 的集合为x
x x 2k, k Z,最小值为 11 0.
（2）函数y=sin x，x∈R取得最大值、最小值时，
函数 y 3sin x, x R 则取得最小值、最大值，
所以使函数 y 3sin x, x R 取得最大值的
x(
3

x

5) 6
的值域(用区间表示).
回顾本节课的收获
1.了解周期函数的定义. 2.知道正弦函数、余弦函数都是周期函数，并知
道它的最小正周期为 2π. 3.理解正弦函数、余弦函数的基本性质
当x - π 2kπ（k Z）时，正弦函数取得最小值 1. 2
当x π 2kπ（k Z）时，正弦函数y=sin x取得最大值1； 2
当x 2kπ（k Z）时，余弦函数y=cos x取得最大值1；
当x (2k 1)π（k Z）时，正弦函数取得最小值 1.
时，y取最大值__2___，当x=__2__2_k__,_k___Z__
时，y取最小值_-_2__.
新知检测
1、函数y=sin x的一个增区间为( )
A.( , ) 22
B.(0，)
C.( , 3 ) 22
D.(，2)
2、求函数y 1 的定义域.
1 sinx
3、求函数y=sin
的集合是
x
x


2

2k,
k

Z,
最大值为3.
使函数 y 3sin x, x R取得最小值的
的集合是
x
x

2

k,
k

Z，最小值为-3.
[ 2k, 2k](k Z)
2
2
[ 2k, 3 2k](k Z)
(1)y cos x 1, x R. (2)y 3sin x, x R.
解：(1)因为y=cos x+1，x∈R的最大值、最小值由 y=cosx决定，所以使函数y cos x 1,取x 得R最大
值的 x的集合为 x x 2k,k Z, 最大值为 11 2.
(4)单调性
观察右图 ，在单位圆中，设任 意角x的终边与单位圆交于点
P(cos x,sin x)，
因此，正弦函数在区间
间

[
3
,
]
上是减少的.
[

2
,

2
]上是增加的，在区
22
思考：在单位圆中余弦函数的单调性又是如何呢？
正弦函数、余弦函数的基本性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
定义域
R
值域
[－1,1]
基本 性质
当x＝2kπ＋π2 (k∈Z)时， 当x＝ 2kπ(k∈Z)时，
函数取得最大值 1；
最大 函数取得最大值 1 ；
当x＝ (2k＋1)π(k∈Z) (小)值 当x＝2kπ－π2 (k∈Z)时， 时，函数取得最小值
函数取得最小值 －1 －1
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周期性 周期是 2kπ (k∈Z)，最小正周期为 2π