平面图形翻折与立体图形展开问题

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第 45 讲 平面图形翻折与立体图形展开问题

（第3课时）

将平面图形沿直线翻折成立体图形，实际上是以该直线为轴的一个旋转。

求解翻折问题的基本方法是：先弄清哪些量和位置关系在翻折过程中发生了变化，哪些没有发生变化，然后将没有发生变化的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论均明朗化的立几问题。一般情形下，在同一半平面之内的几何元素之间的关系是不变的，涉及到两个半平面之内的几何元素之间的关系是变的。

例．如图，AD 为ABC ∆

中BC 边上的高，在AD

上取E 点，使AD

AE 3

1

=

，过E 作直线 MN 平行于BC ，交

AB 于M ，交AC 于N ，把A

M N ∆沿

MN 折过去，此时A 点到了A '的位置，成了一个立体图，如果︒='∠60ED A ，求证：A E '⊥平面BC A '。

分析：连接D A '，在DE A '∆中，利用余弦定理可以求出3='D A ，根据勾股定理可知DE A '∆是直角三角形，︒='∠90D A E ，即 E A '⊥D A '，

又∵ E A '⊥MN ，MN ∥BC ，∴ E A '⊥BC ，故有E A '⊥面BC A '。

点评：本题是翻折后证线面垂直。

例．矩形ABCD ，1=AB ，2=BC ，把平面ABC 沿对角线AC 折起，使半平面ABC 和半平面ADC 互相垂直，求B 、D 间的距离。

解：如图，半平面ABC 折起后，B 点到了B '的位置，在平面AC B '内作M B '⊥AC 于M ，则 M B '⊥平面ADC ，∴ M B '⊥MD 。

52521=⨯='∙'='AC C B A B M B ，5

4

2=

'=AC C B CM ， 设 α=∠MCD ，则 5

1

cos ==

AC CD α， ∴ 5

13

5115121516cos 2222=∙∙∙-+=∙∙-+=αCD CM CD CM DM ， ∴ 855

15135422=+=

+'=

'DM M B D B 。 故所求的距离为

855

1

。 点评：本题是翻折后求两点距离。

例．已知ABC Rt ∆，a BC =，b AC =，把这个三角形沿斜边上的高CD 折成60º的二面角，A 点到了A '点，求CB A '∠。

解：∵ CD ⊥D A '，CD ⊥BD ，∴ ︒='∠DB A ，

∴ DB A BD D A BD D A B A '∠∙∙'-+'='cos 2222，

其中 222

2b

a b AB AC AD D A +=

=='， 222

2b

a a AB BC BD +== ，)(232cos 22222

b a ab BC C A B A BC C A DB A +=∙''-+'='∠ ， ∴ )

(23arccos 2

2b a ab

DB A +='∠ 。 点评：本题是翻折后求角。

2．立体图形展开问题

将立体图形展开成平面图形后，弄清几何体中的相关点、线在展开图中的位置是解题的关键。 例．蜘蛛沿长方体的表面从一个顶点爬到过此顶点的对角线上的另一个顶点的最短距离是多少？

解：把长方体侧面展开，立体图形中的A 、B 在展开图中的相应位置如图，线段AB 即为最短距离。

说明：本题是利用立体的侧面展开图把立体表面的位移问题转化为平面内的位移问题。

例.（高二）若四面体ABCD 的一条棱长为x ，其余棱长为1 ，则x 的取值范围是_________。

分析：如图，设AB ＝ x , 其余棱长为1，

固定三角形BCD ，∆ACD 绕CD 转动操作， 当A → B 时，x → 0；

当A → A ’ (A ’∈ 平面BCD)时，x → 3 ； ∴ x ∈( 0, 3) 。

例（2004年高考理科北京题）．如图，在正三棱柱ABC A B C -111中，AB ＝3，AA 14=，M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M

29，设这条最短路线与CC 1的交点为N ，求：

（I ）该三棱柱的侧面展开图的对角线长; （II ）PC 和NC 的长;

解：（I ）正三棱柱ABC A B C -111宽为4的矩形，其对角线长为949722+=.

（II ）如图1，将侧面BB C C 11绕棱CC 1旋转120

使其与侧成AA C C 11在同一平面上，点P 运动到点P 1的位置，连接MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路线.

设PC x =，则P C x 1=，在Rt MAP ∆1中，

由勾股定理得()322922

++=x 求得x =2.

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.

5

4

,5

2

.

2111=∴====∴NC A P C P MA NC C P PC

平面图形的翻折与展开问题

1 2

3 4

5

6 7 8

翻折

空间角

线线夹角

√

线面夹角 √

面面夹角 √ 空间距离 两点距离 √ 点线距离 线线距离 √ 线面距离 面面距离 位置关系 线线平行 线线垂直 线面平行 线面垂直 √ 面面平行 面面垂直 √ 体积 √ 展开 √ √ √

1．已知平行四边形ABCD ，其中a AD =，a AB 2=，︒=∠60A ，沿对角线AC 把它折成直二面角，连接BD 。

⑴ 求三棱锥D -ABC 的体积。 ⑵ 求BD 与平面ACD 所成的角。 ⑶ 求异面直线AD 、BC 所成的角。 ⑷ 求AD 、BC 间的距离。

（分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右图。）

解：⑴ 在ACD ∆中，a a a a a AC 7120cos 22)2(22=︒∙∙∙-+=

，

2

2

3120sin 221a a a S S ADC ABC =︒∙∙=

=∆∆ ， 作DE ⊥AC 于E ，

由 DE AC S ADC ∙=∆21 得 a AC S DE ADC 73

2==∆ ，

∵ 平面ACD ⊥平面ABC ，∴ DE ⊥平面ABC ，∴ 3

14

731a DE S V ABC ABC D =∙=∆-。

⑵ 作BF ⊥AC 于F ，同理 a BF 73

=

，且 BF ⊥平面ACD ， 在ADE ∆中，a DE AD AE 722

2=-=，a CF 7

2=， ∴ a AE AC EF 7

3

2=-=，连接DF ，则 BF ⊥DF