专题强化训练13

专题强化训练(十三)

一、选择题

1．(2020·江西红色七校第一次联考)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 8－S 3＝45，则a 6的值是( )

A ．3

B ．5

C ．7

D ．9

[解析] 解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则S 8－S 3＝8a 1＋

8×72×d －⎝ ⎛⎭⎪

⎫

3a 1＋3×22×d ＝5a 1＋25d ＝45，即a 1＋5d ＝9，即a 6＝9，

故选D.

解法二：因为S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝45，所以a 6＝9，故选D.

[答案] D

2．(2020·广东珠海模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ，且S 4

＝15，a 2＋a 4＝10，则a 2＝( )

A ．1

B ．－2

C ．2

D ．－1

[解析] 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)．

∵⎩⎨

⎧

S 4＝15，a 2＋a 4＝10，

∴⎩⎨

⎧

a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝15，a 1q ＋a 1q 3＝10，

解得a 1＝1，q

＝2，∴a 2＝1×2＝2.故选C.

[答案] C

3．(2020·大同高三调研)若等差数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，且a 11

a 10

<－1，则S n 取正值时项数n 的最大值为( )

A ．15

B ．17

C ．19

D ．21

[解析] 由等差数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，且a 11

a 10

<－1，可

知等差数列{a n }的公差d <0，a 10>0，a 11<0，且a 11<－a 10，则a 10＋a 11<0.由a 10>0，得2a 10＝a 1＋a 19>0，所以S 19>0，由a 10＋a 11<0，得a 1＋a 20＝a 10＋a 11<0，所以S 20<0，所以S n 取正值时项数n 的最大值为19，故选C.

[答案] C

4．(2020·山东青岛一模)设{a n }是等差数列．下列结论中正确的是( )

A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0

B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0

C ．若0a 1a 3

D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0

[解析] 若{a n }是递减的等差数列，则选项A ，B 都不一定正确．若{a n }为公差为0的等差数列，则选项D 不正确．对于C 选项，由0

2>a 1a 3，选项C 正确．故选C.

[答案] C

5．(2020·江苏徐州期中)在公比q 为整数的等比数列{a n }中，S n

是数列{a n }的前n 项和．若a 1·a 4＝32，a 2＋a 3＝12，则下列说法错误的是( )

A ．q ＝2

B ．数列{S n ＋2}是等比数列

C ．S 8＝510

D ．数列{log 2a n }是公差为2的等差数列

[解析] 因为数列{a n }为等比数列，又a 1·a 4＝32， 所以a 2·a 3＝32，又a 2＋a 3＝12，

所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，

a 3

＝8，

q ＝2，

或⎩⎪⎨

⎪⎧ a 2＝8，a 3

＝4，q ＝12.

又公比q 为整数，则⎩⎪⎨⎪

⎧

a 2＝4，

a 3

＝8，

q ＝2，

即a n ＝2n ，S n ＝2×(1－2n )

1－2

＝2n ＋1－2.

对于选项A ，由上可得q ＝2，即选项A 正确；

对于选项B ，S n ＋2＝2n ＋1，S n ＋1＋2S n ＋2＝2n ＋2

2n ＋

1＝2，则数列{S n ＋2}是

等比数列，即选项B 正确；

对于选项C ，S 8＝29－2＝510，即选项C 正确；

对于选项D ，log 2a n ＋1－log 2a n ＝(n ＋1)－n ＝1，即数列{log 2a n }是公差为1的等差数列，即选项D 错误．

[答案] D

6．(2020·郑州二中期末)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则

2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为( )

A ．4

B ．3

C ．23－2

D.92

[解析] ∵a 1＝1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴(1＋2d )2＝1＋12d .得d ＝2或d ＝0(舍去) ∴a n ＝2n －1，

∴S n ＝n (1＋2n －1)

2＝n 2

， ∴2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2

.令t ＝n ＋1， 则2S n ＋16a n ＋3＝t ＋9t －2≥6－2＝4当且仅当t ＝3， 即n ＝2时等号成立，∴2S n ＋16

a n ＋3的最小值为4.故选A.

[答案] A 二、填空题

7．(2020·福建四地六校联考)已知等差数列{a n }中，a 3＝π

4，则cos(a 1＋a 2＋a 6)＝________.

[解析] ∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 6＝a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝34π，∴cos(a 1＋a 2＋a 6)＝cos 34π＝－22.

[答案] －2

2

8．(2020·浙江嘉兴教学测试)已知{a n }是公差为－2的等差数列，S n 为其前n 项和．若a 2＋1，a 5＋1，a 7＋1成等比数列，则a 1＝________，当n ＝________时，S n 取得最大值．

[解析] 因为a 2＋1，a 5＋1，a 7＋1成等比数列，