挠曲线的近似微分方程
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概述梁的挠曲线近似微分方程及其积分用积分
x 0 时， ， wA 0 A w A 0
当
求得：
C 0; D 0
y
L
P
B
B
wB
x
写出挠曲线方程并画出挠曲线的大致形状
Px 2 w( x) ( x 3L) 6EI
最大转角及最大挠度（绝对值最大）
max
PL2 B （ ） 2 EI
wmax
PL3 wB （ ） 3EI
C
x1
x2
AB段 (0 x1 a)
a
a
M1 Px1
BC段 (0 x2 a)
M 2 P(a x2 )
写出挠曲线微分方程并积分 AB段
M1 Px1 EIw1
P 2 EI1 x1 C1 EIw1 2 P 3 EIw x1 C1 x1 D1 6
1
y
M<0
d2w 0 2 dx
d2w M ( x) 2 EI dx
o
x
d 2 w M ( x) (2) 2 EI dx
式（2）就是挠曲线近似微分方程。
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
d w M ( x) 2 EI dx
二、求转角方程、挠曲线方程 1.微分方程的积分
最大挠度及最大转角
dw( x 2 ) Pa 2 ( x2 ) dx 2 2 EI
2
y
a
P
C
C
max C CB
wmax
Pa 2 2EI
L
B
x
wB
Pa 2 wB (3L a) 6EI
例2 求图示梁自由端的转角和挠度。
挠曲线近似微分方程
C1
Fb 6l
l2 b2
,
C2
Fab 6l
l
a
Page 14
材料力学 第六章 弯曲变形
四 积分法总结
❖ 优点：适用范围广、精确 ❖ 缺点：计算繁琐
五 刚度条件
w
max ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱax
w
练习：写边界条件和连续性条件
A
B
C
D
边界条件 wA 0; wB 0
连续性条件 wC wC;C C 或wC' wC' wD wD;D D 或wD' wD'
Mi EI wi" M EIw" M
w
wi
Page 19
材料力学 第六章 弯曲变形
例一：求图示简支梁C点挠度
y A
l/2
F
C l/2
x B
=
y
y
F
A
C
+ x
B
A
x
C
B
l/2
l/2
l/2
l/2
wC
wC q
wC F
5ql4 384EI
Fl 3 48EI
材料力学 第六章 弯曲变形
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材料力学 第六章 弯曲变形
练习（续）
y
a
x
b
l
边界条件 w 0; 0
x0
x0
连续性条件
w w ;
w w ;
xa
xa xa
xa
xb
xb xb
xb
Page 17
材料力学 第六章 弯曲变形
一 叠加§原理6.4 用叠加法求梁的变形
§6-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分(精)
大挠度fmax和最大转角max。
解: 由对称性可知梁的两个支反力为
RA
q
RB
ql RA RB 2
A
B
x
y
l
例题 6 -2 图
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql 1 2 q M ( x) x qx (lx x 2 ) 2 2 2 q 2 EI ' ' M ( x) (lx x ) 2
EI ' ' M ( x) Pl Px (2)
例题 6-1 图
对挠曲线近似微分方程进行积分, 得
Px 2 EI ' Plx C1 (3) 2 Plx 2 Px 3 EI C1 x C 2 (4) 2 6
边界条件为 :
x
A
l x
B x
x 0, 0 x 0, ' 0
EIυ [ M ( x )dx ]dx C1x C2
得
C1 EI '| x 0 EI 0 C2 EI 0
式中，θ 0 和 v0 分别代表坐标原点处截面的转角和挠度。
例题６-３ 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中 力P的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求其最大 挠度和最大转角。
两段梁的挠曲线方程分别为
1 挠曲线方程 转角方程 挠度方程
( 0 «x «a)
2
( a«x « l )
b " P x EIv1 M1 l
b EIv2 " M 2 P x P( x a) l
3 θA ql θ max θB 24 EI
x
q
材料力学-弯曲变形
二、叠加法求梁的变形 梁的刚度校核
1. 叠加法求梁的变形
当梁上同时受几种荷载作用时，我们可用叠加法来计算 梁的变形。其方法是：先分别计算每一种荷载单独作用时所 引起的 梁的变形（挠度或转角），然后求出各种荷载作用下 变形的代数和，即得到这些荷载共同作用下的变形。一般工 程中要找的是特定截面的变形（最大挠度和最大转角）。我 们将一些简单荷载作用下梁变形的计算公式列成教材中表81，以供选用。
2
式(8-2)再积分一次得：
y
1 EI
M( x)dxdx
Cx
D 8
3
式(8-2)、(8-3)为转角方程和挠曲线方程。式中常数C、D
可由边界条件确定。
图8-1a 图8-1b
（图8-1a）的边界条件为：
x 0, yA 0; x l, yB 0
（图8-1b）的边界条件为：
x 0, yA 0;
ql 3 24EI
, B
ql 3 24EI
转角 A 为负值，表明A截面绕中性轴作顺时针方向转动； 转角 B 为负值，表明B截面绕中性轴作逆时针方向转动。
例2：试计算图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求 ymax
例2图
设：a>b
解：（一）分段建立弯矩方程和挠曲线近似微分方程并积分二次
AC 段 (0 x1 a)
C1a D1 C2a D2 将 C1 C2, D1 0 代入上式得：D1 D2 0
将 D2
0 代入式e得：C2
Pbl 6
P(l a)3 6l
化简后得：
C1
C2
Pb 6l
(l 2
b
2)
（三） 列出转角方程和挠曲线方程：将C1,C2, D1, D2代入式 a,b,c,d得：
材料力学-压杆稳定
1．直线型经验公式
对于柔度(λs≤λ<λp)的中柔 度杆（中长压杆），临界应力 与λ的关系采用直线公式：
cr a b 13 8
式(13-8)中的系数a,b可查书中表 13-1。 λ的最低界限：
s
a
s
b
(塑性材料)
b
a
b
b
(脆性材料)
---------(13-9)
图13-3
2．抛物线型经验公式
式中有c1,c2,k三个未知量。根据边界条件：当x=0时， yA=0；代入式(c)得c2=0。式(c)成为
y c1 sinkx (d )
当x=l时，yB=0；代入式(d)后可得 c1 sinkl 0 (e)
要满足式(e)，必然是c1或sinkl等于零，若c1=0，则压杆 上各点的位移都为零，这显然与压杆在微弯状态下保持平衡 的前提不符，故必须是sinkl=0。要满足这一条件的kl值为：
kl 0, ,2 ,L ,n （n为正整数）
由k P n 可得：
EI l
P
n2 2 EI
l2
(
f
)
使压杆可能在微弯状态下保持平衡的最大轴向压力，应
该是式(f) 中n=1时的P值，这就是所求的两端铰支压杆的临
界力Pcr，即
Pcr
2 EI
l2
(13 1)
式(13-1)习惯上称为两端铰支压杆的欧拉公式。当各个 方向的支承情况相同时（如两端为球铰），压杆总是在它的 抗弯能力最小的纵向平面内失稳，所以式(13-1)中的EI是压 杆的最小抗弯刚度，即I应取截面的最小形心主惯性矩Imin。
2
图13-4 对于柔度(λ<λc)的杆件，临界应力与λ的关系采用抛物线公式：
工程力学(天津大学)第11章答案
第十一章 梁弯曲时的变形习 题11−1 用积分法求下列简支梁A 、B 截面的转角和跨中截面C 点的挠度。
解：（a ）取坐标系如图所示。
弯矩方程为：xlM M e=挠曲线近似微分方程为：xlM y EI e-=''积分一次和两次分别得：Cxl My EI e +-='22， （a ）DCx xlMEIy e++-=36 (b)边界条件为：x =0时，y =0，x =l 时，y =0， 代入（a ）、(b)式，得：0,6==D l M Ce梁的转角和挠度方程式分别为：)62(12l M xlMEIy e e+-='，)66(13lx M xlMEIyee+-=所以：EIlM y l EIMθEIl M θe C eB e A 16,3,62=-==（b ）取坐标系如图所示。
AC 段弯矩方程为：)20(11l x x lM M e≤≤=BC段弯矩方程为：)2(22l x l Mx lM M ee≤≤-=两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为：(a)(b)习题11−1图xAC 段：11x lM y EI e-=''12112C x l My EI e+-='， （a ） 1113116D x C x lMEIye++-= (b)BC 段：eeMx lM y EI +-=''2222222C Mx l My EI ee++-='， （c ）22223226D x C x M x lMEIye e+++-= (d)边界条件为：x 1=0时，y 1=0，x 2=l 时，y 2=0， 变形连续条件为：2121212y y y y l x x '='===，时，代入（a ）、(b)式、（c ）、(d)式,得：,8D 0,2411,2422121l M D l M C l MC eee==-==，梁的转角和挠度方程式分别为：AC 段：)242(121l M x lMEIy e e+-='，)246(11311lx Mx lMEIy ee+-=BC 段：)24112(12222l M x M x lMEIy e e e-+-='，)8241126(12222322l M lx M x M x lMEIy e eee+-+-=所以：0,24,24===C eB e A y l EIMθEIl M θ11−2 用积分法求下列悬臂梁自由端截面的转角和挠度。
材料力学 积分法求梁的变形
一、挠曲线近似微分方程
M ( x ) = r EI Z 1
1 = ± r d 2 w dx 2 d w é 2 ù 1 + ( ) ê ú dx ë û
3
±
d 2 w dx 2 d w 2 ù é 1 + ( ) ú ê dx û ë
3
M ( x ) = EI Z
边界条件、连续条件应用举例
弯矩图分三段，共6 个积分常数需6个边界条 件和连续条件 A B
P C D
w
铰连接
ω A点： A = 0, q A = 0
B 点 ： w B 左 = w B 右
C点 ： w C左 = w C右
D点：w D = 0
q C 左 = q C 右
边界条件、连续条件应用举例
y
边界条件
3 qL C1 = 6 EI z
EI zw =
1 (L - x )4 + C q 1 x + C 2 24
x = 0 x = 0 x = L
q = 0 w = 0
qL3 q B = 6 EI z
q =-
3 qL C2 =24 EI z
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F A
a
q
B
EI z
L
共有四个积分常数
C
x
边界条件
x = a x = a + L
连续条件
w B = 0 wC = 0
y
x = a
w B1 = w B 2 q B1 = q B 2
例题 5.4 &
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
M ( x ) = r EI Z 1
1 = ± r d 2 w dx 2 d w é 2 ù 1 + ( ) ê ú dx ë û
3
±
d 2 w dx 2 d w 2 ù é 1 + ( ) ú ê dx û ë
3
M ( x ) = EI Z
边界条件、连续条件应用举例
弯矩图分三段，共6 个积分常数需6个边界条 件和连续条件 A B
P C D
w
铰连接
ω A点： A = 0, q A = 0
B 点 ： w B 左 = w B 右
C点 ： w C左 = w C右
D点：w D = 0
q C 左 = q C 右
边界条件、连续条件应用举例
y
边界条件
3 qL C1 = 6 EI z
EI zw =
1 (L - x )4 + C q 1 x + C 2 24
x = 0 x = 0 x = L
q = 0 w = 0
qL3 q B = 6 EI z
q =-
3 qL C2 =24 EI z
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F A
a
q
B
EI z
L
共有四个积分常数
C
x
边界条件
x = a x = a + L
连续条件
w B = 0 wC = 0
y
x = a
w B1 = w B 2 q B1 = q B 2
例题 5.4 &
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
工程力学第1节 挠曲线近似微分方程
挠曲轴线 近似微分方程 结论
M ( x) y EI
两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，微分 方程式应取正号，即： 挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y EI
梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件：梁的变 形是线弹性的小变形。
M ( x) y EI
微分方程弯矩M与曲线的二阶导数 y的正负号关系
1）如图a所示，梁的挠曲轴线是一下凸曲线，梁的下 侧纤维受拉，弯矩 M >0，曲线的二阶导数 y >0；
2）如图b所示，梁的挠曲轴线是一上凸曲线，梁的下 侧纤维受压，弯矩 M <0，曲线的二阶导数 y <0；
第十章
梁的弯曲变形
一、挠曲轴线近似微分方程
挠曲轴线：图示悬臂 梁在纵向对称面内的 外力 F 的作用下，将 产生平面弯曲，变形 后梁的轴线将变为一 条光滑的平面曲线， 称梁的挠曲轴线。
挠曲轴线方程
y f ( x)
y f ( x)
挠度：截面形心线位移的垂直分量称为该截面的 挠度，用 y 表示。
第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ章
梁的弯曲变形
工程中的很多结构或构件在工作时， 不但要满 足强度条件，同时对于弯曲变形都有一定的要求：
第一类是要求梁的位移不得超过一定的数值。例如 若机床主轴的变形过大，将会影响齿轮的正常啮合 以及轴与轴承的正常配合，造成不均匀磨损、振动 及噪音，缩短了机床的使用寿命，还影响机床的加 工精度。因此，在工程中进行梁的设计时，除了必 须满足强度条件之外，还必须限制梁的变形，使其 不超过许用的变形值。 第二类是要求构件能产生足量的变形。例如车辆钢 板弹簧，变形大可减缓车辆所受到的冲击；跳水起 跳板大变形，以确保运动员被弹起。
转角：横截面绕中性轴转动产生了角位移，此角 位移称转角，用 表示。小变形时，转角 很小， 则有以下关系：
材料力学(土木类)第五章 梁弯曲时的位移(2)
逆时针） （逆时针）
3 3 3
利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁 例5-6 利用叠加原理求图示弯曲刚度为 的悬臂梁 自由端B截面的挠度和转角 截面的挠度和转角。 自由端 截面的挠度和转角。
F A l C EI l F D l B
原荷载可看成为图a和 两种荷载的叠加 两种荷载的叠加， 解：原荷载可看成为图 和 b两种荷载的叠加，对应 的变形和相关量如图所示。 的变形和相关量如图所示。
Fl θ C1 = 2 EI
2
3
由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为： 由位移关系可得此时 截面的挠度和转角为： 截面的挠度和转角为
Fl 3 Fl 2 4 Fl 3 wB1 = wC1 + θ C1 ⋅ BC = + × 2l = 向下） （向下） 3EI 2 EI 3EI Fl θ B1 = θ C1 = 2 EI
q ( x) x 2 dθ B = dθ ( x) = dx 2 EI
范围对q(x)dx的作用进行叠加，相当于 的作用进行叠加， 在x=0, l范围对 范围对 的作用进行叠加 对上两式在前述范围内积分， 对上两式在前述范围内积分，即：
wB = ∫ d wB = ∫
0
l
l
0
11q 0 l q ( x ) x (3l − x ) dx = 6 EI 120 EI
上次课回顾： 上次课回顾：
1、度量梁变形的两个基本位移量：挠度和转角 度量梁变形的两个基本位移量： 2、挠曲线近似微分方程
EIw′′ = − M ( x )
3、挠曲线近似微分方程的积分 、
EIw ' ( x ) = ∫ ( − M ( x )) dx + C1
EIw ( x ) =
3 3 3
利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁 例5-6 利用叠加原理求图示弯曲刚度为 的悬臂梁 自由端B截面的挠度和转角 截面的挠度和转角。 自由端 截面的挠度和转角。
F A l C EI l F D l B
原荷载可看成为图a和 两种荷载的叠加 两种荷载的叠加， 解：原荷载可看成为图 和 b两种荷载的叠加，对应 的变形和相关量如图所示。 的变形和相关量如图所示。
Fl θ C1 = 2 EI
2
3
由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为： 由位移关系可得此时 截面的挠度和转角为： 截面的挠度和转角为
Fl 3 Fl 2 4 Fl 3 wB1 = wC1 + θ C1 ⋅ BC = + × 2l = 向下） （向下） 3EI 2 EI 3EI Fl θ B1 = θ C1 = 2 EI
q ( x) x 2 dθ B = dθ ( x) = dx 2 EI
范围对q(x)dx的作用进行叠加，相当于 的作用进行叠加， 在x=0, l范围对 范围对 的作用进行叠加 对上两式在前述范围内积分， 对上两式在前述范围内积分，即：
wB = ∫ d wB = ∫
0
l
l
0
11q 0 l q ( x ) x (3l − x ) dx = 6 EI 120 EI
上次课回顾： 上次课回顾：
1、度量梁变形的两个基本位移量：挠度和转角 度量梁变形的两个基本位移量： 2、挠曲线近似微分方程
EIw′′ = − M ( x )
3、挠曲线近似微分方程的积分 、
EIw ' ( x ) = ∫ ( − M ( x )) dx + C1
EIw ( x ) =
梁的挠曲线近似微分方程
由边界条件：
x 0，yA 0 ; D 0
xl,
yB 0 ;
C ql3 24
q
A
x θA
θB
y
l
B
x
EIy ql x3 q x4 Cx D 12 24
EIy ql x2 q x3 ql3 4 6 24
q (l3 6lx2 4x3)
ql x3 q x4 ql3 x 12 24 24
24EI
最大转角和最大挠度分别为：
y qx (l3 2lx2 x3) 24EI
ymax
y
x l 2
5ql 4 384EI
max
A
B
ql3 24 EI
外伸梁，承受集中载荷作用，试绘制挠曲线的大致形状图。 设弯矩刚度EI为常数。
§6-3 用积分法求梁的变形
解：1、绘制挠曲线的基本依据
1 y M (x)
(x)
EI z
根据弯矩的正、负、零值点或零值区，确定挠曲线的凹、
凸、拐点或直线区。
在梁的被约束处，应满足位移边界条件；在分段处，则 应满足位移连续条件。
载荷作用。试求此梁的转角方程和挠度方程，并确定最大转角
和最大挠度。
y
q
解：
FRA
FRB
ql 2
A
B
x
M(x) ql x q x2 22
x
l
EIy ql x q x2 22
EIy ql x2 q x3 C 46
EIy ql x3 q x4 Cx D 12 24
§6-3 用积分法求梁的变形
§6-3 用积分法求梁的变形
梁的挠曲线近似微分方程：
d 2 y M (x) dx2 EI
第四篇(弯曲挠度3Lu)
2EI
B
a
C
B
F
B
C
M=Fa
HOHAI UNIVERSITY
A1
Fa 2 2EI
,
A1
Fa 3 3EI
F
A wA1 θA1
A2
B
Fa 2 4EI
A wB
A2
B
Ba
Fa 3 6EI
Fa 3 4EI
5Fa3 12 EI
B a
A3
B
Fa 2 2EI
A
A2
B
Ba
Fa 3 4EI
Fa 3 2EI
ql 3 6 EI
ql 4 wc1(q) 8EI
2 AB变形，BC不变形（刚化）。
c 2 (q)
B (q)
ml 3EI
1 2
qa
2
2a
qa3
A
3 EI
3EI
wc2(q) B (q) a
qa4
3EI
q
B
（c）
q
B
（d）
C
C
wc1(q) c1 (q )
qa2/2
B
（e）
C wc2(q)
c 2 (q)
HOHAI UNIVERSITY
3o 求 c、wc
A
c c (F ) c1(q) c2 (q)
F
C (F)
C (F )
B
C
qa3 qa3 qa3 4EI 6 EI 3EI
qa3 4 EI
（b）
q
B
（d）
C
wc1(q) c1 (q )
wc wc (F ) wc1(q) wc2 (q)
HOHAI UNIVERSITY
材料力学第7章
积分一次： Fb 2 EIw1 x C1 2l 积分二次： Fb 3 EIw1 x C1 x D1 6l
11
CB段（a x l）: 弯矩方程：
Fb M 2 x x F x a l
挠曲线近似微分方程：
Fb EIw2 x F x a l Fb 2 F 2 x x a C2 积分一次： EIw2 2l 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 x 0
Fab l b , B 2 6lEI
Fab l a B = 6lEI
Fl 3 Fl 3 Fl 3 2 EI 6 EI 3EI
7
wmax w x l
例题7.2：图示弯曲刚度为EI的简支梁，受集度为q的均布 荷载作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最 大挠度和最大转角。 解：由平衡方程得支座反力 ql FA FB 2 建立坐标系，得梁的弯矩方程为 1 1 2 M x qlx qx 2 2 梁挠曲线近似微分方程
1 3 C ql ， D 0 24
9
梁的转角方程
q w (4 x3 6lx 2 l 3 ) 24 EI
梁的挠曲线方程
(5)
qx w ( x3 2lx 2 l 3 ) 24 EI
最大转角
(6)
max
ql 3 A B 24 EI
2
最大挠度
M ( x) F l x
1
挠曲线近似微分方程
EIw M x F l x 2 两次积分，得 1 2 EIw Flx Fx C 2 1 1 3 2 EIw Flx Fx Cx D 2 6
材料力学A_(梁弯曲变形的描述,挠曲线近似微分方程,积分法和叠加法)
2
w
(x) 挠曲线(轴) (x) w(x)
x x F (13.9) (13.10)
2.挠曲线近似微分方程 由变形几何关系：
1
( x)
M ( x) EI
平面曲线w = w(x) 的曲率为 小变形简化：
( x)
1
( x)
w( x) [1 (w( x))2 ]2
w M>0
§5.5 弯曲时挠曲线的近似微分方程
1.弯曲变形的描述
第5章 弯曲 弯曲变形
w
(x) 挠曲线(轴) (x) w(x)
x x F
季葆华
北京理工大学宇航学院力学系
弯曲使梁的任意 x 截面产生弯曲位移： （1）截面形心的铅垂位移 ——挠度w(x)(向上为正) （2）截面绕中性轴转过的角度 ——转角(x)(为正)
例题
例 题 5-12
l
a
§5
梁的弯曲
D 求图示结构C点的挠度。 解：该梁由梁AB和 拉杆BD组成 1.BD刚化(拉杆不变 形)，仅AB变形 B点相当于简支座：
(a)AB段刚化,BC段变形
BC段相当于 Fa 3 f CF 1 悬臂梁： 3EI
A
B
F C
(b)BC段刚化，AB段变形 F力向B点平移后， A 仅有M=Fa使AB段弯曲变形： Ml Fal Fa2l fCF 2 B2 a a a 3EI 3EI 3EI f C f Cq f CF 1 f CF 2 A
2.弯曲位移计算的载荷叠加法
17
称为叠加原理 叠加原理 利用基本变形表13.2
18
3
例题
例 题 5-8
求图示梁的 f c ?
w
(x) 挠曲线(轴) (x) w(x)
x x F (13.9) (13.10)
2.挠曲线近似微分方程 由变形几何关系：
1
( x)
M ( x) EI
平面曲线w = w(x) 的曲率为 小变形简化：
( x)
1
( x)
w( x) [1 (w( x))2 ]2
w M>0
§5.5 弯曲时挠曲线的近似微分方程
1.弯曲变形的描述
第5章 弯曲 弯曲变形
w
(x) 挠曲线(轴) (x) w(x)
x x F
季葆华
北京理工大学宇航学院力学系
弯曲使梁的任意 x 截面产生弯曲位移： （1）截面形心的铅垂位移 ——挠度w(x)(向上为正) （2）截面绕中性轴转过的角度 ——转角(x)(为正)
例题
例 题 5-12
l
a
§5
梁的弯曲
D 求图示结构C点的挠度。 解：该梁由梁AB和 拉杆BD组成 1.BD刚化(拉杆不变 形)，仅AB变形 B点相当于简支座：
(a)AB段刚化,BC段变形
BC段相当于 Fa 3 f CF 1 悬臂梁： 3EI
A
B
F C
(b)BC段刚化，AB段变形 F力向B点平移后， A 仅有M=Fa使AB段弯曲变形： Ml Fal Fa2l fCF 2 B2 a a a 3EI 3EI 3EI f C f Cq f CF 1 f CF 2 A
2.弯曲位移计算的载荷叠加法
17
称为叠加原理 叠加原理 利用基本变形表13.2
18
3
例题
例 题 5-8
求图示梁的 f c ?
挠曲线的近似微分方程
Bx FBy
解：弯矩方程 :
M x 1 qlx 1 qx2
22
挠曲线的近似微分方程:
w
1 EI z
1 2
qlx
1 2
qx2
进行一次积分得：
w
1 EI z
1 4
qlx2
1 6
qx3
C
再进行第二次积分得：
w
1 EI z
1 12
qlx3
Tmax 180 [] GIp
一般传动轴， [φ’] = 0.5 ~1/m
例4 图为一圆截面轴 AC ，受扭转力偶矩MA，MB 与Mc作用。 已知MA =90 N·m , MB =160 N·m ， MC =70 N·m ， l=2 m， G=80 GPa ， IP=3.0×105 mm4 ， [φ’] =0.3 (o)/m 。试计算 该轴的总扭转角 φAC （即截面C对截面A的相对转角），并 校核轴的刚度。
F C、D为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。
边界条件：梁截面的已知位移条件 固定端的挠度和转角均为零，铰支座处的挠度为零。
A
wA=0 θA=0
F B
A wA=0
F C
B
wC1=wC2 wB=0 θC1=θC2
$ 挠曲轴在C点连续且光滑 连续条件：分段处挠曲轴应满足的连续、光滑条件
例6 如图所示图形为一外伸梁，承受集中载荷作用，试绘制
B
w xl
ql3 6EI z
ql 4
wB
w xl
8EI z
根据挠度和转角的符号规定，上述结果表明转角为顺时针，挠度方 向为向下。
概述梁的挠曲线近似微分方程及其积分用积分
1
( x)
d 2w dx2
dx
y
M<0
d2w dx2
M (x) EI
d2w dx2
0
x
o
d2w dx2
M (x)(2) EI
式（2）就是挠曲线近似微分方程。
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
d2w dx2
M (x) EI
EI
d2w dx2
M
(x)
二、求转角方程、挠曲线方程 1.微分方程的积分
y
a
P
A x1
C
x2
L
x B
EIw
0
P(a
x1)
(0 x1 a) (a x2 L)
EIw
P 2
x12
Pax1
C1
C2
EIw
P
6
x13
Pa 2
x12
C1x1
D1
C2 x2 D2
确定积分常数 边界条件
EI 0 x1 0
EI w 0 x1 0
C1 0 D1 0
连续性条件
当 x1 x2 a 时，
题一、解：
x
y
L
P
建立坐标系并写出弯矩方程
A
B
M (x) P(L x)
x
写出挠曲线微分方程并积分
EIw M (x) P(L x)
EIw P x2 PLx C 2
EIw P x3 PL x2 Cx D 62
确定积分常数
当 x 0 时，
A wA 0， wA 0
求得：
C 0; D 0
(6a
a)
RC a3 3EI
a
RC a
材料力学第9章 梁的挠度和刚度计算
x
x
0,
l 2
x
l 2
,
3l 2
EIw1
1 24
qx4
C1x
D1
EIw2
1 48
ql
3l 2
3
x
C2 x
D2
x
0,
l 2
x
l 2
,
3l 2
EIw1
1 6
qx3
C1
EIw2
1 16
ql
3l 2
2
x
C2
x
0,
l 2
x
l 2
,
3l 2
4 边界条件、连续条件 5 梁的转角方程和挠曲线方程
2
2 EIw(l) 0
EIw
1 6
qx3
ql 4
x2
C1
1 24
ql 4
ql 12
l3
C1l
D1
0
EIw
1 24
qx 4
ql 12
x3
C1x
D1
C1
ql 2 24
5 梁的转角方程和挠曲线方程
EIq 1 qx3 ql x2 ql3
6
4 24
EIw 1 qx4 ql x3 ql3 x 24 12 24
[f] L ~ L 500 600
普通机车主轴
[q ] 0.30
3，影响变形的因素
L 10时, Q的影响只有M的3% h
由小变形条件， x不计
4，计算变形的方法
积分法、 叠加法、 能量法、
………
9.2 挠曲线近似微分方程
1、挠曲线近似微分方程
1 M z (x)
EI z
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tan lim bac ba 0 2 bc 0
c 切应变特点: •切应变为无量纲量 •切应变单位为 rad
a
2、圆轴的扭转变形与刚度条件
一、圆轴扭转变形公式
d T dx GI P
微段dx的扭转变形 d
T dx GI P
相距l 的两横截面的扭转角
答疑课程：工程力学《一》 2015-11-08
目 录
变形与应变 圆轴的扭转变形与刚度条件 梁的弯曲变形与刚度条件 提高杆件刚度的措施
1、变形和应变
一、变形的概念
物体形状及体积的变化，称为变形。
小变形——变形量远小于构件的原始尺寸。在计算构件 的受力平衡时，可以按构件的原始尺寸进行计算。 二、研究变形的目的
例5 由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比= 0.5 。已知材料的许用切应力[τ] = 40 MPa，切变模量G= 80 GPa。轴的横截面上扭矩的最大值为Tmax = 9.56 kN· m， 轴的许可单位长度扭转角[ ]=0.3 。试选择轴的直径。
解:(1)按强度条件求所需外直径D
二、 圆杆扭转刚度条件 在工程实际中，通常是限制单位长度的扭转角的最大值不超 过某一规定的许用值
[ ] max
Tmax 180 [ ] GI p
d T dx GI p
一般传动轴， [φ’] = 0.5 ~1/m
例4 图为一圆截面轴 AC ，受扭转力偶矩MA，MB 与Mc作用。 已知MA =90 N· m , MB =160 N· m ， MC =70 N· m ， l=2 m，
F
w(x)
F 挠度随坐标变化的方程——挠曲线方程 F 忽略剪切变形
+ 梁的转角一般很小——
w w( x) ' dw dx
二、 挠曲线的近似微分方程 前面在导出纯弯曲正应力公式时，曾得到用中性层曲率 表示的弯曲变形公式为
M EI z
横力弯曲中，如果忽略剪力的影响，则梁轴线的曲率为
1 M ( x) ( x) EI z
1
由微积分的基本知识，挠曲线与曲率满足以下关系
1 ( x)
d2w dx 2 dw 1 d x
1、建立刚度条件，构件的变形应限制在允许的范围之内；
2、求解静不定问题。
三、应变 构件的形状是用它各部分的长度和角度来表示。因此
构件的变形也可以归结为长度的改变和角度的改变，即
线变形和角变形。
棱边长度改变
棱边夹角改变
b’
b
a
b
b’
a
构件整体的变形并不能准确地描述构件的变形程度，为了准确描述杆 件的变形程度，引入另外一个概念：应变。
T2 l 70 N m 2 m 2 0.585 10 rad 9 5 12 4 GI p 80 10 Pa 3.0 10 10 m
AC AB BC 0.75 102 rad 0.585 102 rad 0.165 102 rad
1、正应变
ab ab u m ab x
ab线段的平均正应变
u lim ab 0 x
a
△x b’ b △u
a点沿ab方向的正应变
正应变特点:
• 正应变是无量纲量； • 过同一点，不同方位的正应变一般不同。
2、切应变 b b’
直角bac的改变量——直角bac的切应变
（2）刚度校核： 轴AC为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校
核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为
T1 90 N m 180 0.215( ) / m 9 5 12 4 GI p 80 10 Pa 3.0 10 10 m
max
可见，该轴的刚度符合要求。
内直径则根据a = d/D = 0.5知：
d 62.75 mm源自w3、梁的弯曲变形与刚度条件
一、 挠度与转角
对于平面弯曲问题，梁的轴线变形后成为一平面曲线，且与 外力在同一平面内。
y
θ θ
w
F x
• 梁变形的表示方法：
(x)
(x)
x
A
x
B
F
l
l
2、截面绕形心轴的角位移 —— 转角
描述截面上任一点的位移: 1、形心轴的线位移 —— 挠度 w 变弯的形心轴—— 挠曲线
d
l
T dx l GI P
GIp
圆轴截面扭转刚度。
对于扭矩T、切变模量G及极惯性矩Ip都不随轴线变化
的情况， 相距l的两截面的相对扭转角为:
Tl GI P
若轴上作用几个不同的扭矩，或者横截面面积或剪切
模量在不同的区段发生突变，而在每一个区段内上述参数 为常值，分段求解，然后进行叠加，即:
(2)按刚度条件求所需外直径D
πD 4 πD 4 15 4 Ip 1 32 32 16
32Tmax 180 1 D 4 π [ ] 15 Gπ 16
Tmax
180 [ ] GI p π
32 9.56 103 N m 180 1 125.5 103 m 4 π 0.3 15 80 109 Pa π 16
πD3 πD3 15 4 Wp 1 16 16 16
max
D
3
Tmax [ ] Wp
3
16Tmax 15 π [ ] 16
16 9.56 103 N m 109 103 m 15 6 π 40 10 Pa 16
G=80 GPa ， IP=3.0×105 mm4 ， [φ’] =0.3 (o)/m 。试计算
该轴的总扭转角 φAC （即截面C对截面A的相对转角），并 校核轴的刚度。
解：（1）扭转变形分析：
T1 90 N m
T2 70 N m
AB BC
T1 l 90 N m 2 m 2 0.75 10 rad 9 5 12 4 GI p 80 10 Pa 3.0 10 10 m