圆锥曲线中的最值和范围问题方法

专题14 圆锥曲线中的最值和范围问题

★★★高考在考什么

【考题回放】

1．已知双曲线122

22=-b

y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直

线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C )

A.( 1,2)

B. (1,2)

C.[2,)+∞

D.(2,+∞)

2． P 是双曲线

22

1916

x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2

＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为（ B ）

A. 6

B.7

C.8

D.9

3．抛物线y=-x 2

上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( A )

A ．

43 B ．75 C ．8

5

D ．3 4．已知双曲线22

221,(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲

线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（B ）

(A)

4

3

(B)

5

3

(C)2 (D)

73

5．已知抛物线y 2

=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12

+y 2

2

的最小值是 32 .

6．设椭圆方程为142

2

=+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足OP (21=OA +)OB ，点N 的坐标为)2

1

,21(，当l 绕点M 旋转时，

求（1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP 的最小值与最大值.

【专家解答】（1）法1：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为y=kx+1.

记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由题设可得点A 、B 的坐标 (x 1,y 1)、 (x 2,y 2)是方程组 ⎪⎩

⎪⎨⎧=++=141

2

2y x kx y 的解. 将①代入②并化简得(4+k 2)x 2

+2kx -3=0， 所以⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

+=++-=+.48,42221221k y y k k x x

于是).44

,4()2,2()(212

22121

k k k y y x x ++-=++=+= ① ②

设点P 的坐标为(x,y ), 则

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧+=+-=.44,422k y k k x 消去参数k 得4x 2+y 2

-y =0 ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，

所以点P 的轨迹方程为4x 2+y 2

-y =0

解法二：设点P 的坐标为(x ,y )，因A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上，所以

,14212

1

=+y x ④ .14

2

22

2=+y x ⑤

④—⑤得0)(4

12

2212221=-+-y y x x ，

所以.0))((4

1

))((21212121=+-++-y y y y x x x x

当21x x ≠时，有.0)(41

2121

2121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥ 并且⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨⎧--=-+=+=.

1,2,2212121

21x x y y x y y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x 2+y 2-y =0 ⑧ 当x 1=x 2时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为

（0，0）也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21

(1612

2

=-+y x （2）由点P 的轨迹方程知.4

141,1612

≤≤-≤x x 即所以 12

7

)61(3441)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=x x x y x NP

故当41=

x ，||取得最小值，最小值为1;4

当1

6

x =-时，||取得最大值，最大值为.621

★★★高考要考什么

【考点透视】

与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。

【热点透析】

与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；

（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；

（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；

（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：

① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；

② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式∆≥0。

★★★突破重难点

【范例1】已知动点P 与双曲线13

22

2=-y x 的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为9

1

-．

（１）求动点P 的轨迹方程；

（２）若已知D (0,3)，M 、N 在动点P 的轨迹上且DN DM λ=，求实数λ的取值范围．

讲解 (１)由题意c 2

=5．设|PF 1|+|PF 2|=2a （5>

a ），由余弦定理, 得

1|

|||10

2||||2||||||cos 21221221222121-⋅-=⋅-+=∠PF PF a PF PF F F PF PF PF F ．

又||1PF ·

22

212)2

||||(||a PF PF PF =+≤，

当且仅当|PF 1|=|PF 2|时，|PF 1|•|PF 2| 取最大值，

此时cos ∠F 1PF 2取最小值110222--a a ，令91

11022

2-=--a

a ， 解得a 2=9，5=c ，∴

b 2

=4，故所求P 的轨迹方程为14

922=+y x . （２）设N (s,t )，M (x,y )，则由DN DM λ=，可得(x ，y-3) =λ(s ，t-3)，

故x=λs ，y=3+λ(t-3). ∵M 、N 在动点P 的轨迹上，