常微分方程课件

RL电路
基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律
在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零
RLC电路
数学摆
人口模型
• 马尔萨斯(Malthus)假设：在人口自然增长的过程 中，净相对增加率（单位时间内人口的净增长数与 人口总数之比）是常数，记为r
人口模型的改进
• Verhulst：引入常数Nm（环境最大容纳量），假 设：净相对增长率为
• 9月3日
1.2 基本概念
• 1.2.1 常微分方程基本概念
微分方程
定义（微分方程） 联系自变量、未知函数及未知函数 导数（或微分）的关系式称为微分方程 例1：下列关系式都是微分方程
dy (1) 2x ; dx
d x dx (3) tx x 0 ; 2 dt dt
SIS模型
• 对无免疫性的传染病，假设病人治愈后会再次被 感染，设单位时间治愈率为mu
SIR模型（R：移出者（Removed））
• 对有很强免疫性的传染病，假设病人治愈后不会在 被感染，设在时刻t的愈后免疫人数为r(t)，称为移出 者，而治愈率l为常数
两生物种群生态模型
• 意大利数学家沃特拉(Volterra)建立了一个 关于捕食鱼与被食鱼生长情形的数学模型 • 假设在时刻t，被食鱼的总数为x(t)，而捕食 鱼的总数为y(t) • 假设单位时间内捕食鱼与被捕食鱼相遇的 次数为bxy • 捕食鱼的自然减少率同它们的存在数目y成 正比
(c1e x c2e x 2c3e2 x ) 2(c1e x c2e x c3e2 x 3) x (-c 2c c 2c )e x (c1 2c1 c1 2c1 )e 2 2 2 2
d k (k ) 其中 表示 k . dx
例
验证y c1e c2e c3e 3是微分方程
x ' 2x '" "
x
y 2 y y 2 y 6 的通解. ' x x 2x 证明: 由于 y c1e c2e 2c3e '' x x 2x y c1e c2e 4c3e , ''' x x 2x y c1e c2e 8c3e '" " ' 故 y 2y y 2 y x x 2x x x 2x (c1e c2e 8c3e ) 2(c1e c2e 4c3e )
• 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物 理学，以及其他科学技术的发展密切相关的 • 数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、 组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深 刻的影响 • 当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理 论研究提供了非常有力的工具
1.1 常微分方程模型
• • • • • • RLC电路 数学摆 人口模型 传染病模型 两生物种群生态模型 Lorenz方程
Volterra被捕食-捕食模型
两种群竞争模型
Lorenz方程
Lorenz吸引子，蝴蝶效应
对初值的敏感性
分形（fractal）
吸引盆
总结
• 微分方程反映量与量之间的关系，与时间 有关，是一个动态系统 • 从已知的自然规律出发，考虑主要因素， 构造出由自变量、未知函数及其导数的关 系史，即微分方程，从而建立数学模型 • 数学模型的建立有多种方式 • 研究微分方程的解和解结构的性质，检查 是否与实际相吻合，不断改进模型 • 由微分方程发现或预测新的规律和性质
显式解与隐式解
如果关系式 ( x, y ) 0所确定的隐函数 y (x),x I为方程 dy d y F(x,y, ,, n ) 0 dx dx 的解, 则称 ( x, y ) 0是方程的一个隐式解
n
注:显式解与隐式解统称为微分方程的解
dy x 例如 对一阶微分方程 dx y
• Dynamical system describes the evolution of a state over time • http://www.scholarpedia.org/article/History _of_dynamical_systems • Curator: Dr. Eugene M. Izhikevich, Editorin-Chief of Scholarpedia, the free peer reviewed encyclopedia
dy d y F(x,y, ,, n ) 0 dx dx
n
(1)
dy dny dy dny 这里F(x,y, , , n ) 0是x, y, , , n 的已知函数, dx dx dx dx dny 而且一定含有 n , y是未知函数, x是自变量. dx
线性和非线性
dy dny 如果方程 F(x,y, ,, n ) 0 dx dx n dy d y 的左端为y及 ,, n 的一次有理式 , dx dx 则称其为n阶线性方程 .
c1 ' c1 c2 ' c2 cn ' cn
( , ' ,, ( n 1) ) (c1 , c2 ,, cn )
0
c1
( n 1)
c2
( n 1)
cn
( n 1)
N (t ) r (1 ) Nm
logistic模型
传染病模型
• 假设传染病传播期间其地区总人数不变， 为常数n，开始时染病人数为x0，在时刻t的 健康人数为y(t)，染病人数为x(t) • 假设单位时间内一个病人能传染的人数与 当时的健康人数成正比，比例系数为k
SI模型 易感染者：Susceptible 已感染者：Infective
• 基本思想: 把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系 找出来，从列出的包含未知函数及其导数的一个 或几个方程中去求得未知函数的表达式，即求解 微分方程
• 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的 • 牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用 级数来求解 • 瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家 克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究 和丰富了微分方程的理论 • 法国数学家Poincare及前苏联数学家Lyapunov等 对现代微分方程理论的建立做出了巨大的贡献
"
证明: 对y sinx,由于
y y sin x sin x 0
"
y cosx,y sin x 故对x (, ), 有
' "
故y sinx是微分方程 " y 0在(,)上的一个解 y . 同理y cosx是微分方程 " y 0在(,)上的一个解 y .
n阶线性微分方程的一般形式
d y d y a1 ( x) n1 an ( x) y f ( x) n dx dx
这里a1 ( x),an ( x), f ( x)是x的已知函数 .
n
n 1
(2)
微分方程的解
定义
如果函数y ( x), x I , 满足条件: y ( x)在I上有直到n阶的连续导数 ;
常微分方程 Ordinary Differential Equation 2009-2010学年第一学期
曹鸿钧 hjcao@bjtu.edu.cn 51682056 (O)
• 第一周 • 9月1日
教材及参考资料
• 教 材： 常微分方程，(第三版）（07年精品教材）， 王高雄等 （中山大学), 高教出版社
如
dy (2) xdy ydx 0 ; (1) 2 x; dx 3 2 d x dx (3) tx x 0; 2 dt dt
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t; 4 dt dt
都是常微分方程
偏微分方程
如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两 个以上,称为偏微分方程 如
有显式解
y 1 x 和y 1 x .
2 2
和隐式解:
x y 1.
2 2
通解与特解
定义 如果微分方程的解中含有任意常数,且所 含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的 阶数相同,则称这样的解为该方程的通解
例如: y c1sinx c2cosx,c1 , c2为任常数
如 (1) dy 2 x
dx
(2) xdy ydx 0
是线性微分方程
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t 4 dt dt
不是线性方程的方程称为非线性方程
如
d x dx (3) tx x 0 2 dt dt
2
3
是非线性微分方程
2 3
(2) xdy ydx 0 ;
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t ; 4 dt dt
z z (5) z ; x y
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 Biblioteka Baidux y
常微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个， 则这样的微分方程称为常微分方程
第一章 绪论
• 线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对 数方程、三角方程和方程组 • 这些方程都是要把研究问题中的已知数和未知数 之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个 未知数的一个或者多个方程式
• 在实际工作中，常常出现一些特点和以上 方程完全不同的问题 • 比如：某个物体在重力作用下自由下落， 要寻求下落距离随时间变化的规律 • 火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求 它飞行的轨道等 • 研究这些问题所建立的数学方程不仅与未 知函数有关，而且与未知函数的导数有关， 这就是我们要研究的微分方程
是微分方程 " y 0的通解 y .
n阶微分方程通解的一般形式为
y ( x, c1 ,, cn )
其中c1,, cn为相互独立的任常数 .
, 注: 称函数y ( x, c1 ,, cn )含有n个独立常数 是指 存在( x, c1 ,, cn )的某一邻域 使得行列式 ,
• 参考书目： [1] 常微分方程, 东北师大数学系编，高教出版社 [2] 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社 [3] 常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社 [4] 微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。
教学安排
• 第1周——第12周，共48学时 （第5周四，第6周国庆，实际授课时42学时） • 考试安排：在结课后一周考试， • 总成绩=平时（40%）+期末（60%），有 小论文可以加分，每周四课后交作业 • 答疑时间：周四晚7：00-9：00，地点7112
n
(1)
(2) 对x I有 : F ( x, ( x), ' ( x), n ( x)) 0,
dy d y 则称y (x)为方程 F(x,y, ,, n ) 0 dx dx 在I上的一个解 .
y (x) 称为方程的显示解
例
验证y sinx,y cosx都是微分方程 y y 0在(,)上的一个解 .
z z (5) z ; x y
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
都是偏微分方程
注: 本课程主要研究常微分方程，同时把常微分 方程简称为微分方程或方程
微分方程的阶 定义 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微 分的阶数称为微分方程的阶数.
如:
dy (1) 2x dx
(2) xdy ydx 0
是一阶微分方程
d 2x dx (3) tx x 0 2 dt dt
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t 4 dt dt
3
是二阶微分方程 是四阶微分方程
n阶微分方程的一般形式为
第一章 绪论
常微分方程是现代数学的一个重要分支，是 人们解决各种实际问题的有效工具，它在几 何、力学、物理、电子技术、航空航天、生 命科学、经济领域等都有广泛的应用
随着计算技术和计算机的快速发展，常微分 方程已经渗透到自然科学、社会科学、工程 技术等学科的任何一个领域，正发挥着越来 越大的作用
动力系统