模糊数学的应用

基于对模糊数学综合评判法的研究

（河西学院数学与应用数学专业2013届甘肃张掖 734000）摘要分析及评判常用的毕业论文评价方法,分析了其存在的弊端,如可操作性不强、主观性大、评价标准不合理等.针对以上问题，提出了模糊综合评价法,通过数学模型和科学计算为检测环境提供了一种较为可靠、方便、简洁的评估方法.

关键词模糊数学评判法;室内环境质量分析;毕业论文成绩综合分析

中图分类号G642. 475

0 引言

模糊数学是运用数学方法研究和处理模糊性现象的一门数学新分支。它以“模糊集合”论为基础。它提供了一种处理不肯定性和不精确性问题的新方法，是描述人脑思维处理模糊信息的有力工具。

模糊数学由美国控制论专家L.A.扎德（L.A.Zadeh,1921--）教授所创立。他于1965年发表了题为《模糊集合论》（《FuzzySets》）的论文，从而宣告模糊数学的诞生。L.A.扎德教授提出了“模糊集合论”。在此基础上，现在已形成一个模糊数学体系。模糊数学产生的直接动力，与系统科学的发展有着密切的关系。在多变量、非线性、时变的大系统中，复杂性与精确性形成了尖锐的矛盾，它给描述模糊系统提供了有力的工具。L.A.扎德教授于1975年所发表的长篇连载论著《语言变量的概念及其在近似推理中的应用》，提出了语言变量的概念并探索了它的含义。模糊语言的概念是模糊集合理论中最重要的发展之一，语言变量的概念是模糊语言理论的重要方面。语言概率及其计算、模糊逻辑及近似推理则可以当作语言变量的应用来处理。人类语言表达主客观模糊性的能力特别引人注目，或许从研究模糊语言入手就能把握住主客观的模糊性、找出处理这些模糊性的方法。有人预言，这一理论和方法将对控制理论、人工智能等作出重要贡献。

二、数学模型

1. 模糊集（Fuzzy set）

定义1设X是论域，称映射A：X→[0,1]为X上的模糊集合（Fuzzy set）

简称F 集，记为A 。称A(x)为元素x 相对于F 集的隶属度。称A(·)为F 集A 的隶属函数。

（1）

模糊集合的表示：U= u 1,u 2⋯，u n ，A(u)称为元素u 属于模糊

A 的隶属度；则模糊集可以表示为：A=

A(u 1)u 1

+

A(u 2)u 2

+⋯

A(u n )u n

，或

A= A u 1 ，A u 2 ,⋯，A(u n ) 。A= (u 1，A u 1 )， u 2，A u 2 ，⋯，(u n ，A u n ) 。

（2）设指标集为F={F 1，F 2，⋯,F n }评价集为A={A 1，A 2，⋯，A m }；指标权重系数模糊子集为{ω1,ω2,⋯,ωi }且 ωi =1n i=1.

对指标集内诸因素做出各种评定是一种模糊映射.对单因素的评定,由于不同的评价人员有可能做出员有做出不同的评定,因此,描述评价的结果只能用对F i 做出A j 评定的可能性大小来表示,这种可能的程度称为隶属度,记作r ij 对于某个确定的i,j 可由1到m 优取值．F 的第i 个指标对应的F i 评价集A 中的评价A 1，A 2，⋯,A m 的隶属度r i1, r i2,⋯ r im 分别为F 的一指标对于A 中的每一种评价的隶属度组成了A 上的模糊子集,记为R i ={r i1, r i2,⋯， r im }．对于每一指标F i (i=1，2，⋯,n)都求出对应的R i ,就构成了一个F ×A 上的模糊矩阵,

R= R 1

R

2⋮

R n

= r 11 r 12 ⋯ r 1m r 21 r 22 ⋯ r 2m ⋮

⋮ ⋯ ⋮ r n1 r n2 ⋯ r nm

对矩阵W 和R 做模糊矩阵乘法得：

B=W •R=(ω1,ω2,⋯,ωi )• r 11 r 12 ⋯ r 1m r 21

r 22 ⋯ r 2m ⋮

⋮ ⋯ ⋮r n1

r n2

⋯ r nm

=(b 1, b 2, ⋯,b m ) 式中“ • ”为Zadeh 积合成运算,其法则为：

(1)积矩阵的行数=W 矩阵的行数,积矩阵的列数=R 矩阵的列数. (2)积矩阵的每个元素按照先取小∧,后取大∨的规则确定,即

b j = (ωi n i=1∧r ij )=( ω1∧r 1j )∨(ω2∧r 2j ) ⋯(ωn ∧r ij ),(j=1,2, ⋯,m). 对B 进行归一化处理,既得

B ∗=(b 1∗ ,b 2∗,⋯,b m ∗),

b ij ∗=b j

b

1+b 2+⋯+b m

,(j=1,2, ⋯,m).

为了便于综合分析,可利用双权法把上述结果转化成相应的综合评价值.

对于第i种评价赋以新的权系数C j(即对评价再加权,j=1,2,⋯,m),得到新的权重向量C,且C=（c1,c2,⋯,c m）,将其乘以综合评价向量B,即求得综合评价值为:S=C•B=c1b1∗+ c2b2∗+⋯,+c m b m∗。

三、问题分析

在某市儿童医院血液病研究所10年中收治的1800多名儿童白血病患儿中,有46.7%的孩子家里在半年内进行过房屋装修.

随着国家室内空气质量标准GB/T1883-2002的发布和实施,判断室内环境获取质量的优劣有了可靠的依据.但至今没有一个简单易行和有效方法.鉴于模糊数学在质量评价等方面的广泛应用,考虑引入模糊数学综合评判法来评价室内空气质量的优劣.

实例：某客户要装修房屋,现有甲、乙两个装潢公司可供选择。为了使装修后污染较低，分别对其已装修房屋进行检测其室内空气污染物含量如下,试判断甲、乙污染程度。

甲公司：甲醛： 0.32mg/m3；苯：0.18mg/m3；甲苯：0.23mg/m3；二甲苯：0；氨：0.27mg/m3；可吸入物：0.21mg/m3.

乙公司：甲醛： 0.33mg/m3；苯：0.16mg/m3；甲苯：0.22mg/m3；二甲苯：0；氨：0.25mg/m3；可吸入物：0.24mg/m3.

3.1 评价因子的确定

为准确评价室内空气质量的优劣,我们依据模糊数学评价模式,首先确定评价参数.影响室内环境空气质量的因子很多,GB/T18883-2002中列出了19项指标.但从新装修的房屋来看,其主要的污染物有甲醛、笨系列、可吸入物、氨等.将上述几项因子构成评价因素集：X={ x1,x2,x3,…}.同时这几项因子的权重构成权重集：W={w1,w2,w3,…}

根据长期的现场监测经验,采用主观方法将GB/T18883-2002中的甲醛、苯系物、可吸入物、氨、这四项因子的标准分为四个等级.将GB/T18883-2002中的标