场论 期末考试

同济大学课程考核试卷（A卷）

2009—2010学年第一学期

命题教师签名：审核教师签名：

课号：2102001课名：场论（工科本科生）考试考查：考试

此卷选为：期中考试( )、期终考试( )、重考(√)试卷

（注意：本试卷共四大题，二大张，满分100分．考试时间为120分钟。要求在答题纸上写出解题过程，否则不予计分）

一、填空题（共4小题，每小题6分，总计24分）

1.数量场u=x2y+xz3在点M(2,0,1)处的梯度为

2.数量场u=ln(x2+y2+z2)经过点(1,2,1)的等值面方程为

3.矢量函数rθ=2θ2i+(sinθ+2)j+cosθk的导矢r′θ为

4.矢量场A=x2yi+y2zj+(z2+x)k在点M(4,1,2)处的散度为

5.设矢量场A=xzi+yzj−x2k,则div(rot A )=

6.数量场u=xyz在点M(1,2,3)处的最大方向导数为

二、解答题（共2小题，每小题8分，总计16分）

7.求数量场u=3x2+z2-2xy+2xz在点M(1,2,3)处沿方向l=yzi+xzj+xyk的方向导数

8.求矢量场A=2yzi+xzj+3xyk在点M(1,2,1)处沿方向n=i−j+k的环量面密度

三、解答题（共4小题，每小题10分，总计40分）

9.求矢量场A=xy2i+x2yj+zy2k的矢量线方程

10.已知平面调和场的力函数u=x2 -y2+xy,求该场的势函数V

11.求矢量场A=−yi+xj+ck(c为常数)沿曲线L:x2+y2=R2,z=0正向的环量

12.设曲面S是由上半球面x2+y2+Z2=a2(z>=0)与xoy面围城的封闭曲面，求矢量场r=xi+yj+

zk从穿出曲面S的通量∅

四、证明题（共2小题，每小题10分，总计20分）

，其中L是从13.证明A=2xy+3i+x2−4z j−4yk为保守场，并计算曲线积分A·dl

l

A(3,-1,2)到B(2,1,-1)的任意路径

14.证明矢量场A=x2−2yz i+y2−2xz j+(x2−2xy)k为有势场，并求其势函数全体