第二章 物理系统的数学模型

扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
控制系统的主要部件（元件）： 给定电位器、运放1、运放2、功 率放大器、直流电动机、减速器 测速发电机
运放1 运放2 功放 直流电动机
ua K3u2
第二章 控制系统的数学模型
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
减速器（齿轮系）
式中J——转动部分折合到电动机轴上的总转动惯量。 将式中的中间变量ea、ia和m消去，整理得到表示输出量和
输入量ua、mc的关系式为
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
比较: R-L-C电路运动方程与 M-S-D机械系统 电枢控制直 流电动机运动方程
LC
d
2uC (t) dt 2
uo
(t)
ui
(t)
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
Exampl：2. 2级RC无源网络
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
Exampl：3.电枢控制直流电动机图
解 本系统有两个输入量（ua和mc）。设ea为电机旋转时电枢两端的 反电动势；ia为电枢电流；m为电动机的电磁力矩。
系 统 示 意 图
第二章 控制系统的数学模型
Remember 恒温箱自动控制系统?
系 统 框 图
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
Part 2.1.1 数学模型的定义
➢ 由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。 ➢系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用 与相互制约的关系。
自动控制原理
机械平移系统
第二章 控制系统的数学模型
！静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响。
1）微分方程的系数取决于系统的结构参数 2）阶次等于独立储能元件的数量
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
电气系统三元件
电阻
电容
第二章 控制系统的数学模型
电感
电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
扬州大学精品课程系列
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
第二章 物理系统的数学模型
本章主要内容: 2.I 控制系统的数学模型 2.2 非线性数学模型的线性化 2.3 拉氏变换及其反变换 2.4 典型环节及其传递函数 2.5 系统方框图和信号流图
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
多变量函数泰勒级数法
第二章 控制系统的数学模型
增量方 程
静态方程
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
单变量函数泰勒级数法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数展开式为：
略去含有高于一次的增量∆x=x-x0的项，则： 注：非线性系统的线性化 模型，称为增量方程。
自动控制原理
划分环节
第二章 控制系统的数学模型
按功能（测量、放大、执行）
由运动方程式 （一个或几个元件的独立运动方程）
根据元件的工作原理和在系 统中的作用，确定元件的输 入量和输出量(必要时还要考 虑扰动量)，并根据需要引进 一些中间变量。
负载效应
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
建立数学模型的方法： 解析法
依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列 写出相应的数学关系式，建立模型。
实验法
人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并 用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
数学模型的形式
➢时间域： 微分方程 差分方程 状态方程
第二章 控制系统的数学模型
是未知函数h的非线性函数，所以是非线性模型。
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
2.2.2 线性化问题的提出
➢线性系统优点：
✓可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行 分析和设计。
➢线性系统缺点：
✓有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性；
写出每或一环节(元件) 运动方程式
➢ 找出联系输出量与输入量的内部关系，并确 定反映这种内在联系的物理规律。 ➢ 数学上的简化处理，（如非线性函数的线性 化，考虑忽略一些次要因素）。
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
写成标准形式
第二章 控制系统的数学模型
例如微分方程中，
将与输入量有关的各项写在方程的右边；与输出量有关的 各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降幂排列。
注：y = f (x0)称为系统的 静态方程
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
单摆模型(线性化)
第二章 控制系统的数学模型
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
液面系统线性化
第二章 控制系统的数学模型
常数！
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
Part 2.3 拉氏变换及其反变换
第二章 控制系统的数学模型
RC
duC (t) dt
uC
(t)
ur
(t)
相似系统：揭 示了不同物理
d 2 x(t) dx(t)
m
f Kx(t) F(t)
dt 2
dt
现象之间的相 似关系。
便于用简单系
统去研究相似
的复杂系统。
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
Exampl：4.速度控制系统的微分方程
1 i
m
测速发电机
ut Kt
消去中间变量
ut u1 u2 ua m
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
Part 2.2 非线性数学模型的线性化
2.2.1 常见非线性模型 2.2.2 线性化问题的提出 2.2.3 线性化方法
Example 单摆 液面系统 Example 单摆 液面系统
单变量 多变量
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
2.2.1 常见非线性模型
第二章 控制系统的数学模型
➢针对时间变量的常微分方程：
线性方程指满足叠加原理
➢叠加原理：
可加性 齐次性
f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 )
f ( 百度文库) f (x)
不满足以上条件的方程，就成为非线性方程。
2.3.1 拉氏变换的定义 2.3.2 拉氏变换的计算 2.3.3 拉氏变换求解方程
拉氏变换
拉氏反变换
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
Part 2.3.1 拉氏变换的定义
第二章 控制系统的数学模型
设函数f(t)满足：
1f(t)实函数；
2当t<0时 ， f(t)=0；
3当t0时，f(t)的积分
✓非线性系统的分析和综合是非常复杂的。
线性化定义
将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线 性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
2.2.3 线性化方法
第二章 控制系统的数学模型
增量 （微小偏差法）
非线性方程 局部线性增量方程
假设： 在控制系统整个调节过程
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
单位加速度函数拉氏变换
抛物线函数
第二章 控制系统的数学模型
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
幂函数的拉氏变换
第二章 控制系统的数学模型
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
三角函数的拉氏变换
第二章 控制系统的数学模型
（尤拉公式）
扬州大学能源与动力工程学院
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
E.g1 : 图示RLC无源网络，列出以 ui (t) 为输入量，以 uo (t) 为输出量的微分方程。
解：
di(t) 1
L dt C i(t)dt Ri(t) ui (t)
消去中间变量得：
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
中，所有变量与稳态值之间 只会产生足够微小的偏差。
以微小偏差法为基础，运 动方程中各变量就不是它们 的绝对值，而是它们对额定 工作点的偏差。
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
增量方程
第二章 控制系统的数学模型
增量方程的数学含义
将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上， 对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始 点，这时，系统所有的初始条件均为零。
t u2 u ua n v u t
物理量的变换， 物理量之间的相互关系 信号传递体现为能量传递（放大、转化、储存） 由动态到最后的平衡状态--稳定运动
系 统 框 图
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
Part 2.1.1 数学模型的定义
第二章 控制系统的数学模型
数学模型：
描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程
➢复数域： 传递函数 结构图
➢频率域： 频率特性
第二章 控制系统的数学模型
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
Part 2.1.2 建立数学模型的基础
微分方程
（连续系统）
y(t),
dy dt
机械运动： 牛顿定理、能量守恒定理
电学：
欧姆定理、基尔霍夫定律
热学：
传热定理、热平衡定律
0
f
(t)est dt
在s的某一域内收敛
则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数）；
F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数; f(t)称为F(s)的原函数； L为拉氏变换的符号。
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
拉氏反变换的定义
第二章 控制系统的数学模型
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
常见非线性情况
饱和非线性
第二章 控制系统的数学模型
死区非线性
间隙非线性
继电器非线性
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
单摆(非线性)
第二章 控制系统的数学模型
是未知函数 的非线性函数，
所以是非线性模型。
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
液面系统(非线性)
其中L－1为拉氏反变换的符号。
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
Part 2.3.2.1 拉氏变换的计算
➢单位脉冲函数 ➢单位阶跃函数 ➢单位速度函数 ➢单位加速度函数 ➢指数函数 ➢三角函数 ➢幂函数
高等函数初等函数
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
指数函数的拉氏变换
差分方程 （离散系统） y(kT ), y(kT T )
数学模型的准 确性和简化
线性与非线性 分布性与集中性 参数时变性
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
机械运动系统的三要素
质量 M
弹簧 K
第二章 控制系统的数学模型
阻尼 B
机械运动的实质： 牛顿定理、能量守恒定理
实例
机械平移
机械旋转
扬州大学能源与动力工程学院
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
Part 2.1 控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
2.1.1 数学模型的定义 2.1.2 建立数学模型的基础 2.1.3 提取数学模型的步骤
机械系统 Example 电气系统
相似系统
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
Part 2.1.1 数学模型的定义
自动控制原理
RLC 串联网络电路
第二章 控制系统的数学模型
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
Part 2.1.3 提取数学模型的步骤
➢ 划分环节 ➢ 写出每或一环节(元件) 运动方程式 ➢ 消去中间变量 ➢ 写成标准形式
二级减速齿轮传动系统
实例
二级RC无源网络
扬州大学能源与动力工程学院
第二章 控制系统的数学模型
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
单位脉冲函数拉氏变换
第二章 控制系统的数学模型
洛必达法则
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
阶跃函数的拉氏变换
第二章 控制系统的数学模型
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
单位速度函数的拉氏变换
斜坡函数
第二章 控制系统的数学模型
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
Part 2.3.2.3 拉氏变换的主要运算定理
线性定理 微分定理 积分定理 位移定理 延时定理 卷积定理 初值定理 终值定理
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
线性定理 叠加定理
第二章 控制系统的数学模型
比例定理
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
微分定理
第二章 控制系统的数学模型
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
多重微分
第二章 控制系统的数学模型
原函数的高阶导数 像函数中s的高次代数式
扬州大学能源与动力工程学院
根据电动机的动态特性写出输入量、输出量和中间变量之间的数学 方程。
电动机电枢电路的电压方程为：
式中La、Ra——电枢回路的电感和电阻。 反电动势方程为
式中Ce——电动机的电动势常数。
扬州大学能源与动力工程学院
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
电动机的电磁转矩方程为 m＝ Cmia 式中Cm ——电动机的转矩常数。 电动机轴上的动力学方程为