空间向量与立体几何PPT课件1 (人教课标版)
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l m ,l n , a b ,a b 0 .同理ac0.
m ,n ,且 m ,n 相 交 ，
内 任 一 向 量 p 可 以 表 示 为 如 下 形 式 ：
。 p x b y c ,x ,y R .
a p a ( x b y c ) x a b y a c 0 ,
当 . a2,b 2,c20 时 ,a//u a a 1 2b b 1 2c c1 2 （二）例题探析
例1、用向量法证明：一条直线与一个平面内两条相
交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
已知：直线m，n是平面 内的任意两条相交直线， 且 l m,l n. 解 ： 设 直 线 l , m , n 的 方 向 向 量 分 别 为 a , b , c .
l 与 内 的 任 一 直 线 垂 直 . 即 l .
例2、已知点P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，如
果 AB(2,1,4)，AD(4,2,0)，AP(1,2,1)
（1）求证： A P 是平面 ABCD 的法向量；
（2）求平行四边形 ABCD 的面积．
（1）证明：∵ A P A B ( 1 ,2 , 1 )(2 , 1 , 4 ) 0 ， A P A D ( 1 ,2 , 1 )(4 ,2 ,0 ) 0
，
∴ APAB，APAD，又 AB ADA，AP 平面
，
∴ AB是C平D面
பைடு நூலகம்
的法向量．
AP
ABCD
。|A B |( 2 ) 2 ( 1 ) 2 ( 4 ) 22 1|A D |4 2 2 2 0 2 25
。A B A D ( 2 , 1 , 4 ) ( 4 ,2 ,0 ) 6
cos(AB,AD)
叫。做平面
n
⊥ ，如果 n ⊥
的法向量.
，那 么 向 量n
l
给定一点A和一个向量 n ,那么
过点A,以向量 n 为法向量的平面是
n
完全确定的.
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都
互相平行;
3.向量n 是平面的法向量，向
量m 是与平面平行或在平面
内，则有 nm0
求法：在空间坐标系中,已知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) ,
注意：这里的线线平行包括线线重合，线 面平行包括线在面内，面面平行包 括面面重合.
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
线面垂直 l ⊥ a ∥ u a k u ；
面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
设 直 线 l 的 方 向 向 量 为 a ( a 1 ,b 1 ,c 1 ) ,平 面 的
法 向 量 为 u ( a 2 ,b 2 ,c 2 ) ,则
l / / a u 0 a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 0 ;
.若 a ( a 1 , b 1 ,c 1 ) , u ( a 2 , b 2 ,c 2 ) , 则
l a / / u a k u a 1 k a 2 , b 1 k b 2 , c 1 k c 2 .
任一点 P ,存在实数 t
使得 APtAB
P
或APta
a
⑶平面
A
空间中平面 的位置可以由 内两
条相交直线(两个不共线向量)来确定.
对于平面 上的任
。
一点 P ,存在有序实数
对 ( x, y) ,使得
b
O Pxayb
O a
2、直线的向量参数方程
l
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一
个定点 A 以及一个定方向确定.对 于 直 线 l 上 的 任 一 点 P,
O a
O Pxayb
这样，点O与向量 a 、b 不仅可以确定平面 的位 置，还可以具体表示出 内的任意一点。
除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量 (这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在 直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平
面 ,记作
(一）、知识梳理，方法定位 1、点、直线、平面的位置的向量表示
⑴点 在空间中，我们取一定点O 作 为基点，那么空间中任意一点 P 的位 置就可以用向量OP 来表示，我们把 向量OP 称为点 P 的位置向量.
⑵直线
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上。一个定点 A 以及一个定方向确定.
对于直线 l 上的
6 3105 2125 105
sinBAD
1 9 105
32 35
S A B C D |A B ||A D |s i n B A D 8 6 P
例3：如图在四棱锥P—ABCD中
底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥
F
E
底面ABCD，PD=DC，E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F。
(1)求证PA∥平面EDB
C(0, 0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
步骤：⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量
的坐标 a (a1, b1, c1 ), b (a2 , b2 , c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的
方程组
n
a
0
n b 0
存 在 实 数 t 使 得 APtAB
a
P此方程称为直线的向量参数方程。这
样点A和向量 不仅可以确定直线 l
的位置，还可以具体写出l上的任意一
A
点。
3、平面的法向 量
OPOAta， OPxOAyOB(xy1）
. 空间中平面 的位置可以由 内两条相
交直线来确定.
对于平面 上的任一点 P ,
b
P
存在有序实数对 ( x, y) ,使得
第十三章
《空间向量与立体几何》
立体几何中的向量方法(一)
一、复习目标：1、理解直线的方向向量与平
面的法向量并会求直线的方向向量与平面的法向 量。2、理解和掌握向量共线与共面的判断方法。 3、用向量法会熟练判断和证明线面平行与垂直。
二、重难点：概念与方法的运用
三、教学方法：探析归纳，讲练结合。 四、教学过程
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
4、用方向向量和法向量判定位置关系
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ；
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
面面平行 ∥ u ∥ v u k v.
m ,n ,且 m ,n 相 交 ，
内 任 一 向 量 p 可 以 表 示 为 如 下 形 式 ：
。 p x b y c ,x ,y R .
a p a ( x b y c ) x a b y a c 0 ,
当 . a2,b 2,c20 时 ,a//u a a 1 2b b 1 2c c1 2 （二）例题探析
例1、用向量法证明：一条直线与一个平面内两条相
交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
已知：直线m，n是平面 内的任意两条相交直线， 且 l m,l n. 解 ： 设 直 线 l , m , n 的 方 向 向 量 分 别 为 a , b , c .
l 与 内 的 任 一 直 线 垂 直 . 即 l .
例2、已知点P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，如
果 AB(2,1,4)，AD(4,2,0)，AP(1,2,1)
（1）求证： A P 是平面 ABCD 的法向量；
（2）求平行四边形 ABCD 的面积．
（1）证明：∵ A P A B ( 1 ,2 , 1 )(2 , 1 , 4 ) 0 ， A P A D ( 1 ,2 , 1 )(4 ,2 ,0 ) 0
，
∴ APAB，APAD，又 AB ADA，AP 平面
，
∴ AB是C平D面
பைடு நூலகம்
的法向量．
AP
ABCD
。|A B |( 2 ) 2 ( 1 ) 2 ( 4 ) 22 1|A D |4 2 2 2 0 2 25
。A B A D ( 2 , 1 , 4 ) ( 4 ,2 ,0 ) 6
cos(AB,AD)
叫。做平面
n
⊥ ，如果 n ⊥
的法向量.
，那 么 向 量n
l
给定一点A和一个向量 n ,那么
过点A,以向量 n 为法向量的平面是
n
完全确定的.
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都
互相平行;
3.向量n 是平面的法向量，向
量m 是与平面平行或在平面
内，则有 nm0
求法：在空间坐标系中,已知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) ,
注意：这里的线线平行包括线线重合，线 面平行包括线在面内，面面平行包 括面面重合.
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
线面垂直 l ⊥ a ∥ u a k u ；
面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
设 直 线 l 的 方 向 向 量 为 a ( a 1 ,b 1 ,c 1 ) ,平 面 的
法 向 量 为 u ( a 2 ,b 2 ,c 2 ) ,则
l / / a u 0 a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 0 ;
.若 a ( a 1 , b 1 ,c 1 ) , u ( a 2 , b 2 ,c 2 ) , 则
l a / / u a k u a 1 k a 2 , b 1 k b 2 , c 1 k c 2 .
任一点 P ,存在实数 t
使得 APtAB
P
或APta
a
⑶平面
A
空间中平面 的位置可以由 内两
条相交直线(两个不共线向量)来确定.
对于平面 上的任
。
一点 P ,存在有序实数
对 ( x, y) ,使得
b
O Pxayb
O a
2、直线的向量参数方程
l
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一
个定点 A 以及一个定方向确定.对 于 直 线 l 上 的 任 一 点 P,
O a
O Pxayb
这样，点O与向量 a 、b 不仅可以确定平面 的位 置，还可以具体表示出 内的任意一点。
除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量 (这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在 直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平
面 ,记作
(一）、知识梳理，方法定位 1、点、直线、平面的位置的向量表示
⑴点 在空间中，我们取一定点O 作 为基点，那么空间中任意一点 P 的位 置就可以用向量OP 来表示，我们把 向量OP 称为点 P 的位置向量.
⑵直线
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上。一个定点 A 以及一个定方向确定.
对于直线 l 上的
6 3105 2125 105
sinBAD
1 9 105
32 35
S A B C D |A B ||A D |s i n B A D 8 6 P
例3：如图在四棱锥P—ABCD中
底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥
F
E
底面ABCD，PD=DC，E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F。
(1)求证PA∥平面EDB
C(0, 0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
步骤：⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量
的坐标 a (a1, b1, c1 ), b (a2 , b2 , c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的
方程组
n
a
0
n b 0
存 在 实 数 t 使 得 APtAB
a
P此方程称为直线的向量参数方程。这
样点A和向量 不仅可以确定直线 l
的位置，还可以具体写出l上的任意一
A
点。
3、平面的法向 量
OPOAta， OPxOAyOB(xy1）
. 空间中平面 的位置可以由 内两条相
交直线来确定.
对于平面 上的任一点 P ,
b
P
存在有序实数对 ( x, y) ,使得
第十三章
《空间向量与立体几何》
立体几何中的向量方法(一)
一、复习目标：1、理解直线的方向向量与平
面的法向量并会求直线的方向向量与平面的法向 量。2、理解和掌握向量共线与共面的判断方法。 3、用向量法会熟练判断和证明线面平行与垂直。
二、重难点：概念与方法的运用
三、教学方法：探析归纳，讲练结合。 四、教学过程
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
4、用方向向量和法向量判定位置关系
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ；
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
面面平行 ∥ u ∥ v u k v.