柏努利方程式的应用

阻力对管内流动的影响
解：（1）管内流量变化分析 论证：在两槽液面1—1 1 与2—2间列机械能衡算 式：
l l u E1 E2 1 2 d 2 p1 u12 E1 z1 g 2
2 u2 E2 z 2 g 2 2
阀门关小后管内流量将变小 1 A
a
a
A b b 1.0m 0.5m
空气
R
1 1
2
在两截面间列柏努利方程式：
2 u12 p2 u 2 gz1 gz2 hf 2 2
2
p1
柏努利方程式的应用
u1

qV d12

13 .57 3m / s 2 0.785 0.04 3600
4 d u 2 ( 1 ) 2 u1 0.75 m / s d2
t
求出：t 565 s
阻力对管内流动的影响
如图所示，高位槽A内的液 1 体通过一等径管流向槽B， 在管线上装有阀门，阀 门前后M、N处分别安装 压力表。假设槽A、B液 面维持不变，阀门前后 管长分别为L1、L2。现将 阀门关小，试分析管内 流量及M、N处压力表读 数如何变化。 1 A
2 B
2
L1 L2 M N

E3
pa

101 .3 J / k g
E3 >E2 ，支管中流体将向上流动。
柏努利方程式的应用
5.流体从高位槽流出 例：有一高位槽，水从底部的接管流 出，如图所示。高位槽直径D=1m， 槽内水深2m，底部接管管长4m，管 径d=20mm，液体流过该系统的能量 损失可以按 h f 2.25u 2 计算， 问槽内液面下降1m所需要的时间。 解：由于高位槽的液面在流体流动过程 中不断下降，故接管出口处的流速u随 时间变化，属于不稳定流动问题 2 2
2 l 1.262 1000 uA p真 z2 g 1 2 1000 9.81 1 7.02 2.60 104 Pa d 2 2
2) 又取水箱液面为3-3截面，在 1-1与3-3截面间列柏努利方程
h e z 3 z1 g p3 p1
3
0.2MPa
3
25m
由图2-13查得摩擦系数:
A 0.022
B 0.021
A 2m
1 2
1
由表3-2查得管件局部阻力系数如下： 5.2 水泵吸水底阀 0.17 闸阀（全开） 0.75 90°标准弯头
1）取水池液面1-1截面为基准面，泵吸入点 处A为2-2截面，在两截面间列柏努利方程
又管路质量流量 故泵的轴功率
w V
150 1000 41.7 kg s 3600
h w 501.4 41.7 N e 32.2kW 0.65
问： 在2-2与3-3截面和在1-1与 3-3截面间列柏努利方程算出的 he相同否？
柏努利方程式的应用
4.流向判断 例：水以7m3/h的流量流过 如图所示的文丘里管，在 1 喉颈处接一支管与下部水 槽相通。已知截面1—1处 u1 内径为50mm，压力为 1 3m 0.02MPa（表压），喉颈 内径为15mm，试判断垂 3 直支管中水的流向。（假 设流动无阻力损失，水的 密度取1000 kg/m3）
阻力对管内流动的影响
二. 分支管路中阻力对管内流动的影响
1.阀门A关小，阻力系数 A 增 大，支管中u2将下降，O点处静 压强将上升； 2.O点处静压强上升将使总流速 下降；
3. O点处静压强上升将使另一支 管流速出现上升趋势。
1 1
p0 u0 o
A
u2 2 3
B u3
阻力对管内流动的影响
三.汇合管路中阻力对管内流动的影响
2 B
2
L1 L2
p2
M N 因z1、z2、p1、p2均不变，而u1=u2=0，所以E1、E2不变
阻力对管内流动的影响
2 l1 l2 u E1 E2 d 2 2 p1 u1 E1 z1 g 2 2 u2 E2 z 2 g 2
2
L1 L2 M N
当阀门关小时，上式中除 u减小外，其余量均不变， l 1 恒大于零， 而 d 故pN减小。
2 N ~2
阻力对管内流动的影响
一.简单管路内阻力对管内流动的影响
1.任何局部阻力的增大将使管内各处的流 速下降； 2.下游的阻力增大将导致上游的静压强上 升； 3.上游的阻力增大将使下游的静压强下降。
2.管道内流体的压力及压差计指示
例题：如图所示，大管直径为80mm， 小管直径为40mm ，水在管路中的流 量为13.57m3/h。两管上均有一测压 点与一倒U型管相连，指示剂为空气， 若两测压点所在截面之间的摩擦损失 为260 mmH2O，求倒U型压力计的读 数R值。 解：如图选取截面，z1=0，z2=0
2
4
2
d2 0.05 u 2 u1 0.99 11 .0m / s d 0.015 1
柏努利方程式的应用
若取大气压为 .0133 10 5 pa 则 1 p1 1.0133 10 5 0.02 10 6 1.2133 10 5 pa
当下游阀门关小时，上游O 点处的静压强将出现上升 趋势，总管流速u3下降， 各支管流速u1、u2也下降， 当阀门继续关小时，可能 会出现O点处的静压强上升 到某一程度，使得u2=0， 若阀门继续关小，则流体 将反向流入低位槽中。
u1 O
u2
u3
例题
如图所示，用泵将水从水池同 时送至开口高位槽A及B中， 已知通往A槽的直径为 76×3mm，管道中各种管 件、阀门的当量长度之和为 7.7m，通往B槽的直径为 57×3mm，管道中各种管 件、阀门的当量长度之和为 5m，以上当量长度不包括 管子的出口的当量长度，管 路中的流量为60m3/h。试 求通往A槽、B槽的流量为 若干。（可取 =0.022， 凉水池及高位槽的液面均恒 定不变） 1.8m 2.3m
p2 p1


Rg ( 0 )

2 u12 u 2 hf 2
2 p2 p1 u12 u 2 1 R hf g 2g g
32 0.75 2 0.26 0.17 mH 2O 170 mmH 2O 2 9.81
柏努利方程式的应用
3.功率的计算
例3-4 用水泵向高位密闭水箱供水， 水箱中液面上方压力为0.2MPa，管 路流量为150m3/h，泵轴中心线距 水池液面和水箱液面的垂直距离分 别为2.0m和25m，泵吸入管与排出 管分别为内径205mm和内径 180mm的钢管。吸入管管长10m， 管路上装有一个吸水底阀和一个 90°标准弯头；排出管管长200m， 其间有全开的闸阀1个和90°标准 弯头1个。试求泵吸入口处A点的真 空表读数和泵的轴功率，设泵的效 率为65%。
2 2
25m
V
？
A 2m
1 2
？
1
Re A
d Au A

d Bu B
0.205 1.26 1000 2.58 105 1.0 103
Re B

0.18 1.63 1000 2.93 105 1.0 103
例3-4
取管壁绝对粗糙度0.3mm，则
0.3 1.46 103 d A 205 0.3 1.67 103 d B 180
3
0.2MPa
3
p1


p2
z 2g u 2 h f 1 2 2
2 A
2
25m
l u h f 12 d A 2
A 2m
1 2
1
2 2 10 1.262 l uA 1.26 h f 12 d A 2 0.022 0.205 5.2 0.75 2 7.02 2 5.57 J kg
1
1
z
z1
柏努利方程式的应用
对于本题，以1—1和2—2间为划定体积，则

dz d u D 4 4 dt
2 2 2

1
1
D dz 整理得： dt d u
列柏努利方程：
z
z1
u2 gz 2.25u 2 2 gz u 2.75
2
2
柏努利方程式的应用
代入微分衡算式： D 2 2.75 5 1 t dt ( ) 6 z dz 0 d g
2 u12 p2 u 2 gz1 gz2 2 2
2
150
2 0.16MPa
p1
1.5m 1
选取1—1截面为基准水平面，则z1=0， z2=1.5m，根据连续性方程，有
300
0.2MPa 1
柏努利方程式的应用

4 d12u1

4
2
2 d 2 u2
d u1 2 u 2 0.25u 2 d 1
2 2
u2 Pa 3
柏努利方程式的应用
4.流向判断
解：假设支管中水为静止状态， 在截面1—1和2—2截面间列 柏努利方程：
p1
u p2 u 2 2

qV d2
2 1
2 2
u1
1
1 3 3m
2 2
u2 Pa 3
式中：u1
7 / 3600 0.99 m / s 2 0.785 0.05
柏努利方程式的应用
1.管道中流体流量的确定
例题：有一垂直管道，内径由d1=300mm渐缩至
d2=150mm，水从下而上自粗管流入细管。测得水在粗管 和细管内的静压力分别为0.2MPa和0.16MPa（表压）。测 压点的垂直距离为1.5m。如两测压点之间的摩擦阻力不计， 试求水的流量为多少m3/h？ 解：如图选取截面列柏努利方程式
L1 L2 M N
当阀门关小时，上式中除 u减小外，其余量均不变， 故pM增大
阻力对管内流动的影响
（2）N处压力表读数变化分析
由N点和2—2所在的截 面列机械能衡算式： pN E2 z N g 1 A
2
1

l u 2 N ~ 2 1 d 2
2 B
p2
而管径、管长不变， 变化不大， 可视为常数，当阀门关小时， 阀 增大， 增大，由上式得u减 小，即qV减小
阻力对管内流动的影响
（2）M处压力表读数变化分析 由1—1和M点所在的截 面列机械能衡算式：
pM
1 A
1

E1 z M g
2 B
2
2 l1 u 1~ M 1 d 2
取水的密度为1000kg/m3，则
2 0.2 10 6 (0.25u2 ) 2 0.16 10 6 u2 1.5 9.81 1000 2 1000 2 解得：u 2 7.3m / s
qቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

4
0.15 2 7.3 3600 464 m 3 / h
柏努利方程式的应用
25m
3
0.2MPa
3

h f 1 3
A 2m
1 2
h
f 1 3
h f 1 2 h f 2 3
1
0.2 106 200 1.632 5.57 0.021 501.4 J kg he 25 2 9.81 1000 0.18 2
则 p2 p1

u 2
2 2
u12

u1
1000 11 .0 2 0.99 2 2 6.09 10 4 pa (绝压) 1.2133 10 5
1
1 3 3m
2 2
u2 Pa 3
取水槽液面3——3截面为基准面 p E2 2 z 2 g 90 .3 J / k g
0.2MPa
3
3
25m
A 2m
1 2
1
3
0.2MPa
3
解：取水的密度为1000 kg/m3，粘 度为1.0×10-3 Pa﹒s，设泵的吸入和 排出管路水的流速分别为uA和uB， 则
150 3600 uA 1.26 m s 2 2 d 0.785 0.205 A 4
d 0.205 u B u A A 1.26 1.63m s 0.180 dB