变分法

变分法综述

1.变分法

1.1.变分法起源

变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，主要是古典变分法，它理论完整，在力学、光学、物理学、摩擦学、经济学、宇航理论、信息论和自动控制论等诸多方面有广泛应用。20世纪中叶发展起来的有限元法，其数学基础之一就是变分法。[1]

变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A 到达不直接在它底下的一点B 。在所有从A 到B 的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。

变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。

变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。最优控制的理论是变分法的一个推广。[2]

同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau 问题。

1.2变分问题类型

固定边界的变分问题，可动边界的变分问题，条件极值变分问题和参数形式的变分问题。[3]

（1）古典变分问题举例 例1：最速降线或捷线问题（Brachistorone or curve of Steepest descent ）问题。这是历史上出的第一个变分法问题，1696年约翰·伯努利提出的。设A 、B 是沿平面上不在同一直线上的两点，在所有连接A 、B 两点的平面直线中，求出一条曲线，使仅受重力作用且初速为零的质点从A 到B 沿该曲线运动时所需时间最短。

解：以A 为原点建立平面指标坐标系，设B 点的坐标11(,)x y ，曲线方程设为()y y x =，10x x ≤≤，且满足端点条件(0)0y =，11()y x y =。

设(,)M x y 为曲线()y y x =上任意一点，由能量守恒定律得

212

m g y

m v

= 则

v =

又

v ===

=

dt =

t C =

+⎰

0,0,0x t C ==∴

= 所需时间为

T =⎰

例2 短程线（测地线：Geodesic ）问题：光滑曲面f(x,y,z)=0上给定000(,,)A x y z 和111(,,)B x y z 两点，求连接这两点的一条最短曲线。

解：连接这两点的曲线方程为

(),(),y y

x z z x ==

01x x x ≤≤ 则其满足

(,,)0f x y z = （1）

长度为 0

x x L =

⎰

（2-1-2）

短程线问题即求（2-1-2）在约束条件（2）下的最小值问题—条件最小值

问题。

例3 等周问题：在平面上给定长度为L 的所有不相交的光滑封闭曲线中，求出一条能围成最大面积的曲线。

解：设封闭曲线的参数方程为

(),(),x x t y y t == 01t t t ≤≤ （1） 中式()x t ，()y t 连续可微，且0101()(),()(),x t x t y t y t ==其长度为

10

t t L =⎰ （2）

所围成的面积为

12

L

A x d y y d

x =

-⎰

（3） 等周问题就是在满足等周条件（2）的所有曲线（1）中，求使积分（3）取

得最大值的曲线。

（2）最简泛函的变分问题求解

设函数1

0[()](,,')x x J y x F x y y dx =⎰的极值曲线()y y x =一端固定，另一端在直

线1x x =上移动，则另一端必满足自然边界条件1'|0x x Fy ==

若极值曲线()y y x =的端点在已知曲线()y x ϕ=上移动，则变分1x δ与1y δ有关。

若设函数1

0[()](,,')x x J y x F x y y dx =⎰的极值曲线()y y x =左端固定，另一端在

已知曲线()y x ϕ=上移动，则另一端在直线1x x =处必满足

1'[('')]|0

y

x x F y F ϕ=

+-=[4] 例4：求泛函1

22[][()'()2()]x x J y p x y q x y f x y dx =++⎰极值问题的自然边界条

件。其中0x 和1x 均为自由边界，()p x 、()q x 和()f x 均为已知函数，且()0p x ≠。

解：因为0x 和1x 均为自由边界，根据上述定理，故自然边界条件为

00'|2()'|0y x x x x F p x y ====， 11'|2()'|0y x x x x F p x y ====

由于()0p x ≠，故自然边界条件可化为

00'|'()0x x y y x ===，11'|'()0x x y y x ===

（3） 条件极值的变分问题

例5：试求泛函22

1''2J y dx =⎰的最小值。这里()y y x =满足端点(0)1y =，

'(0)1y =，(2)0y =，'(2)0y =。