变分法

变分法综述
1.变分法
1.1.变分法起源
变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，主要是古典变分法，它理论完整，在力学、光学、物理学、摩擦学、经济学、宇航理论、信息论和自动控制论等诸多方面有广泛应用。

20世纪中叶发展起来的有限元法，其数学基础之一就是变分法。

[1]
变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。

譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。

变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。

有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A 到达不直接在它底下的一点B 。

在所有从A 到B 的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。

变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。

它对应于泛函的临界点。

在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。

它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。

变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。

变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。

它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。

而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。

最优控制的理论是变分法的一个推广。

[2]
同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。

变分一词用于所有极值泛函问题。

微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。

极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau 问题。

1.2变分问题类型
固定边界的变分问题，可动边界的变分问题，条件极值变分问题和参数形式的变分问题。

[3]
（1）古典变分问题举例 例1：最速降线或捷线问题（Brachistorone or curve of Steepest descent ）问题。

这是历史上出的第一个变分法问题，1696年约翰·伯努利提出的。

设A 、B 是沿平面上不在同一直线上的两点，在所有连接A 、B 两点的平面直线中，求出一条曲线，使仅受重力作用且初速为零的质点从A 到B 沿该曲线运动时所需时间最短。

解：以A 为原点建立平面指标坐标系，设B 点的坐标11(,)x y ，曲线方程设为()y y x =，10x x ≤≤，且满足端点条件(0)0y =，11()y x y =。

设(,)M x y 为曲线()y y x =上任意一点，由能量守恒定律得
212
m g y
m v
= 则
v =
又
v ===
=
dt =
t C =
+⎰
0,0,0x t C ==∴
= 所需时间为
T =⎰
例2 短程线（测地线：Geodesic ）问题：光滑曲面f(x,y,z)=0上给定000(,,)A x y z 和111(,,)B x y z 两点，求连接这两点的一条最短曲线。

解：连接这两点的曲线方程为
(),(),y y
x z z x ==
01x x x ≤≤ 则其满足
(,,)0f x y z = （1）
长度为 0
x x L =
⎰
（2-1-2）
短程线问题即求（2-1-2）在约束条件（2）下的最小值问题—条件最小值
问题。

例3 等周问题：在平面上给定长度为L 的所有不相交的光滑封闭曲线中，求出一条能围成最大面积的曲线。

解：设封闭曲线的参数方程为
(),(),x x t y y t == 01t t t ≤≤ （1） 中式()x t ，()y t 连续可微，且0101()(),()(),x t x t y t y t ==其长度为
10
t t L =⎰ （2）
所围成的面积为
12
L
A x d y y d
x =
-⎰
（3） 等周问题就是在满足等周条件（2）的所有曲线（1）中，求使积分（3）取
得最大值的曲线。

（2）最简泛函的变分问题求解
设函数1
0[()](,,')x x J y x F x y y dx =⎰的极值曲线()y y x =一端固定，另一端在直
线1x x =上移动，则另一端必满足自然边界条件1'|0x x Fy ==
若极值曲线()y y x =的端点在已知曲线()y x ϕ=上移动，则变分1x δ与1y δ有关。

若设函数1
0[()](,,')x x J y x F x y y dx =⎰的极值曲线()y y x =左端固定，另一端在
已知曲线()y x ϕ=上移动，则另一端在直线1x x =处必满足
1'[('')]|0
y
x x F y F ϕ=
+-=[4] 例4：求泛函1
22[][()'()2()]x x J y p x y q x y f x y dx =++⎰极值问题的自然边界条
件。

其中0x 和1x 均为自由边界，()p x 、()q x 和()f x 均为已知函数，且()0p x ≠。

解：因为0x 和1x 均为自由边界，根据上述定理，故自然边界条件为
00'|2()'|0y x x x x F p x y ====， 11'|2()'|0y x x x x F p x y ====
由于()0p x ≠，故自然边界条件可化为
00'|'()0x x y y x ===，11'|'()0x x y y x ===
（3） 条件极值的变分问题
例5：试求泛函22
1''2J y dx =⎰的最小值。

这里()y y x =满足端点(0)1y =，
'(0)1y =，(2)0y =，'(2)0y =。

解：引入两个变量1y ，2y ，令1y y =，2'y y =于是泛函变为
22
01''2
J y dx =
⎰ （1） 约束条件为
2'0y y -= （2） 做辅助函数
22
22101['(')2
J y y y d x λ*=
+-⎰ （3） 泛函（3）的欧拉方程组为
2
0()0(')0d dx
d y dx λλ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 即2'0''0y λλ=⎧⎨-=⎩ （4）
由式（4）得
32
3
0d y dx = 积分得
22y a x b x c =++ 式中,,a b c 是积分常数，因为21''y y y ==，故 32
122
a b y x x cx d =
+++ 于是有 321321
17124
371
22
y x x x y x x ⎧=+++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩
最后求得最小值为
2201713
(3)224
J x d x =-=⎰
1.3应用
物理学中泛函极值问题的提出促进了变分学的建立和发展，而变分学的理论成果则不断渗透到物理学中。

P.de 费马从欧几里得确立的光的反射定律出发提出了光的最小时间原理：光线永远沿用时最短的路径传播。

他原先怀疑光的折射定律，但在1661年费马发现从他的光的最小时间原理能够推导出折射定律，不仅消除了早先的怀疑，而且更加坚信他的原理。

拉格朗日把变分法用到动力学上。

他引进广义坐标q 1,q 2,…q n 动能T 是 q=(q 1,q 2,…,q n )的函数,q 表示广义速度。

他又假定力有位势V ，V 是q 的函数,又假定T+V 是常量,即系统无耗散,令L=T-V ，称为作用量，拉格朗日的最小作用原理是说真实的运动使作用量取极小值。

通过欧拉方程，拉格
朗日建立他的运动方程，据此推出了力学的主要定律，并解决了一些新的问题。

这些工作都记载在他在1788年出版的《分析力学》一书中。

2.直接法
2.1直接发的概念
各种变分法的最后求解都可归结为解欧拉方程的边值问题。

然而在一些特殊情况之下欧拉方程才能求出精确解，在大多数情况下，欧拉方程的精确解无法求出，因此需要另外的求解方法。

1990年8月，第二届国际数学家代表大会在巴黎举行，希尔伯特在会上作了“数学问题”的报告，提出了23个重大数学问题，其中最后一个问题就是关于变分法的直接问题。

变分法的直接方法是指不通过求解欧拉方程而直接从泛函出发，求出使泛函取得极值的近似表达式。

变分法的近似解法有有限差分法、里茨法、坎托罗维奇法、伽辽金法、最小二乘法、配置法和分区平均法等。

2.2伽辽金法
伽辽金法是俄国工程师伽辽金于1915年提出来的，它属于加权余量法，是解算子方程的一种近似计算方法，也称为加权残数法或加权残值法。

1. 基本原理
设算子方程及边界条件分别为
0T u f -= V ∈ (1)
0Bu g -= S ∈ (2)
式中，u 为待求的点的函数，T 和B 分别为域内V 上和边界S 上的算子；f 和g 分别为定义在域内和边界上不含u 的已知函数。

[5]
一般情况下，方程（1）、方程（2）较难求得精确解，所以方程（1）的近似解为
121(,,
,)n
n i i m i u a x x x ϕ==∑ （3）
其中n u 是近似解函数，i a (1,2,,)i n =为待定参数，12(,,,)i m x x x ϕ是基函数。

由于（3）式中n u 是近似解，将其代入微分方程（1）和边界条件中，一般来说不会精确满足，（1）和（2）将产生残余值v R 和s R ，它们分别为域内残值和边界残值，均简称为残值、残差、残数或余量，即
v n R Tu f =- （4）
s n R Bu g =- （5）
显然如果式（4）、式（5）中的n u 为精确解u ，则余量v R 和s R 应等于零。

加权残数法的基本思想是：适当的选择两个函数vi W 和si W ，他们分别称为域内权函数和边界权函数，均简称为权函数，是的残值v R 和s R 与其相应的权函数的乘积在某种意义上等于零，即可令余量与加权的内积满足正交条件：
(,)()0v vi v v vi n vi V V
R W R W dV Tu f W dV ==-=⎰⎰ (6a)
(,)()0s si s s si n si S
S
R W R W dS Bu g W dS ==-=⎰⎰ (5b)
式中(,)v vi v R W 和(,)s si s R W 分别域内内积和边界内积，均简称为内积。

如果恰当的选择近似函数n u ，使其满足边界条件（2），则方程（6a ）就退化为
(,)()0v vi v v vi n vi V
V
R W R W dV Tu f W dV ==-=⎰⎰ （7）
此时（7）为加权残数法的内部法。

如果近似函数n u 满足算子方程（1），则内积（6b ）就退化为
(,)()0s si s si n si S
S
R W R W dS Bu g W dS ==-=⎰⎰ （8）
此时（8）为加权残数法的边界法。

如果近似函数n u 既不满足算子方程（1）也不满足边界条件（2）必须同时应用式（6a ）和（6b ）消除残余值，则其称为加权残数法的混合法。

将近似解（3）代入式（6a ）中并选择n 个权函数vi W (1,2,,)i n =，可建立
以i a (1,2,
,)i n =为未知量的方程组
求解上面代数方程组，可得到参数i a (1,2,,)i n =，代回到式（3），便得到
（1）式。

()=(u)0n
vi n vi V V
Tu
f W dV Tu T W dV --=⎰⎰
=u n
vi
vi
V
V
Tu W dV T W dV ⎰⎰
{}12,,
,v v v vn W span W W W = 权函数空间
从上述加权残值法的基本原理的叙述可见，加权残值法的应用可按三个步骤进行 [6]
（1） 选取试函数；
（2） 代入算子方程求出残值表达式；
（3） 选取权函数，做残值表达式与权函数的内积，并令其正交以消除残值。

2.算例
1：用伽辽金法求边值问题2y y x ''+=，(0)0y =，(1)0y =。

解：取函数坐标系为
()(1)k k x x x ϕ=- (1,2,)k =
取前两项，则近似解为
2212(1)(1)
y a x x a x x =-+- 于是，有
2
22(26)y a x a ''=-+- 2
23
2212
2(2)(26)2y y x x x a x x
x a x ''+-=-+-+-+-- 伽辽金法方程组为
1
22
321
20
[(2)(26)2]()0x x a x x
x a x x x dx -+-+-+--⨯-=⎰ 1
22
3231
20
[(2)(26)2]()0x x a x x
x a x x x dx -+-+-+--⨯-=⎰
12331
10106a a -
-= 1231312010510
a a --= 解之可得
1142369a =-，214
41
a =- 于是，所求近似解为
2717
2(1)()
36941
y x x x =--+
算例2：用伽辽金法求边值问题
(,)|0
u m
u x y ∆=-⎧⎨Γ=⎩ (),x y D ∈ (1)
的第一、第二次近似解。

其中{(,)|,}D x y a x a b y b =-<<-<<，Γ为矩形域
D 的边界，m 为常数。

解：注意到待求解的问题关于x 、y 对称，选取坐标函数系为 224224111111,,,,,,
x y x x y y ϕϕϕϕϕϕ 因要求第一、第二次近似解，古取满足边界条件的坐标函数
2222
1(,))()x y a x b y
ϕ=--
（
2222222(,))()()x y a x b y x y ϕ=--+（
求第一次近似解。

令
22221111
(,)(,))()u x y a x y a a x b y ϕ==--（ 22
2222
111122
2(),2)u u a b y a a x x y
∂∂=--=--∂∂（ 2222112()u m a a b x y m ∆+=-+--+
将上式代入伽辽金方程，注意到被积函数均是偶函数，得
222222221[2()])()a b
a b a a b x y m a x b y dxdy ---+--+⋅--⎰⎰
（
2
22222221
4[2()])()0
a b a a
b x y m a x b y dxdy
=-+--+⋅--=⎰⎰（
消除积分号前的系数4，伽辽金方程可简化为
2222222210
[2()])()0a b
a a
b x y m a x b y dxdy -+--+⋅--=⎰⎰
（
积分，得
5335331324
()0459
a a
b a b a b m -
++= 约去公因子33a b ，并解出1a ，得 12258()
m
a a
b =
+
于是，得到所给边值问题的第一次近似解为
2222
122
5)()8()m u a x b y a b =--+（ （2） 求第二次近似解，令
21122
222222222
2
12(,)(,)(,))())()()
u x y a x y a x y a a x b y a a x b y x y ϕϕ=+=--+--+（（ 22222222
2122
2()2(6)()u b y a a x y b y a x
∂=--+---∂ 22222222
2122
2()2()(6)y
u a x a a x b x y a ∂=--+---∂ 2222212()u m a a b x y ∆+=-+--+
2222222224422[2712]a b a b x x y a b x y a m -++-+++（）（7）+
伽辽金方程组为
21[]0a b
a b
u m dxdy ϕ--∆+=⎰⎰
22[]0a
b
a b
u m dxdy ϕ--∆+=⎰⎰
因被积函数均是偶数，故可简化成
2
10
04[]0a
b
u
m dxdy ϕ∆+=⎰
⎰ 2
20
4
[]0a
b u
m dxdy ϕ∆+=⎰⎰
将上两式积分，并将结果约去公因子334a b ，得方程组为 22224
41326432()[()]45225315a b a b a a b a ++++ 2244422466124643241632[()][()()]92253151575945m b a a b a a b a b a b a =++++++ 224()45a b m =+ 解出1a 和2a ，得
422466
16226448
8
35[69()5()]
16[280()49825()]
m a b a b a b a a b a b a b a b +++=++++ 44262264488525()
16[280()49825()]
m a b a a b a b a b a b +=
++++ 于是，可到到第二次近似解为
222216226448835)()
16[280()49825()]
m a x b y u a b a b a b a b --=⨯++++（
4224664
42
[69()
5()]15[()()a b a b a b a b x y ++++++ （3）
若b a =，上式可化简为
22222
2
2
24
35)()[74
15(
)]
8864m a x a y a x y u a --++=
（ （4）
3.伽辽金法的优缺点
伽辽金法可广泛用于各种数学物理工程问题，特别是流体力学中的有限元方法，主要采用的就是伽辽金法或其改进方法。

相对于瑞利-里兹法，两者虽然在某个特定的条件是等效的，但是伽辽金法是直接针对原始微分方程推导出来的，也适用于不能给出泛函（需对其求极小值）的那些问题，伽辽金法比瑞利-里兹法更有优势。

但是应当注意的是，伽辽金法虽然具有精度高、适用性较广的优点，但是对它的数学原理研究还不是很清楚，收敛性的许多问题仍有待解决。

虽然有限元方法在流体力学中应用时主要采用的就是伽辽金法，但是对于某些流体力学问题，如对流扩散问题（由于对流扩散方程存在非线性的对流项）会经常因为有限元网格不恰当而造成有限元数值解的失真或振荡。

对于这个缺陷，可以通过加密网格解决，但是这样会导致计算量大大增加，并不实用；此外Heinrich 和Zienkiewicz 等人于1977年提出采用迎风格式优化伽辽金法，从而在不增加计算量的基础上解决了这个问题。

另外伽辽金法及其一系列改进方法，如混合伽辽金法，最小二乘/伽辽金法等，都会产生非正定对称刚度矩阵，从而导致其方程组求解的计算量较大，所以至今未能大范围用于计算流体力学中。

[7]
4.应用及发展
伽辽金法应用很广泛不仅可以来解势量场的边值问题，而且也适用于非势量场的情形。

伽辽金方程组有明确的力学意义。

伽辽金的力学背景是虚功原理。

[8]
在传热学的有限元应用中,与在其它工程领域中一样,较为多见的是沿用了由固体力学领域内建立发展起来的基于泛函变分的有限元法。

这种方法有其局限性,需借助泛函变分计算,因而依赖于泛函的存在,这缺点限制了它在工程上的应用,本文旨在从伽辽金加权的方法,系统地对传热学中的几个典型问题建立有限元模型,给出伽辽金有限元方程,使传热学的有限元分析不必涉及泛函,直接从控制方程求解。

[9]
伽辽金法在悬臂梁大挠度问题中的应用胡辉扁平弹簧一类的柔性杆，即使在载荷不大的情况下，其最大挠度与杆长也是同一数量级的，这时如仍用小挠度理论计算，将会产生很大的误差，因此研究梁的大挠度问题是有重要意义的。

谭德坤等人利用Daubechies 小波的性质．以Daubechies 小波尺度函数作为伽辽金法的基函数，构造了基于结构工程问题的偏微分方程求解方法。

由于Daubechies 小波无明确的解析表达式，为了将其应用于小波伽辽金法中。

关联系
数的求解是关键。

详细讨论了求解步骤。

最后用该方法分析了两端固支轴力杆受
力问题，数值算例表明。

与理论解相比，构造的Daubechies小波伽辽金法具有计
算精度高．收敛比较快的特点。

[10]
文献综述
[1]钱伟长.广义变分原理，上海知识出版社，1995.
[2]胡海昌.变分法，北京：中国建筑出版社，1987.
[3]牛痒均.现代变分原理，北京：北京工业大学出版社，1992.
[4]Robertsson J O A，Chapman C H．An efficient method for calculating finite-difference seismograms after model alterations．Geophysics，2000，
65：907～918.
[5]张肃，陈南，李普，等．基于小波伽辽金法的复杂封闭空腔结构一
声耦合场分析[J]．机械工程学报，2008。

44(6)：155—160．
[6]何正嘉，陈雪峰，李兵．等．小波有限元理论及其工程应用[M]．北
京：科学出版社，2006．
[7]何丽晶，廖福成，沈政伟．基于小波伽辽金法的有限区间关联系数的求
解[J]．北京工商大学学报，2007。

25(3)：73—77．
[8]王勋成．有限单元法[M]．北京：清华大学出版社．2003．
[9] Liu W K，Chen Y，Uras R A，et al． Generalized multiple scale
reproducing kernel particle methods ［J］． Computer Methods in Applied
Mechanics and Engineering，1996，139: 91-157．
[10] Li D，Lin Z． h-Adaptive analysis based on meshless local Petrov-
Galerkin method with B spline wavelet for plates and shells ［J］．Acta
Mechanica Solida Sinica，2009，22( 4) : 337-346．
11。